Télécharge Contrôle de Mathématiques : Suites et Applications Économiques et plus Exercices au format PDF de Mathématiques Appliquées sur Docsity uniquement!
NOM Prénom : 05/12/
Classe : T ES
CONTROLE DE MATHEMATIQUES
Exercice 1 : (…… points) Liban, Juin 2000
Partie A - Étude d’une suite
On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 900 et, pour tout entier naturel n , un+1 = 0,6 un + 200.
1. Calculer u 1 et u 2. 2. On considère la suite ( vn ) définie, pour tout entier naturel n , par vn = un − 500. a. Démontrer que ( vn ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison. b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 400 x (0,6) n^ + 500.
c. Déterminer la limite de la suite ( un ).
Partie B - Application économique
Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. Cette année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1000 clients de l’année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes.
1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002. b. On note an le nombre de clients de A l’année (2000 + n ). Établir que an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an ). En déduire que an+1 = 0,6 an + 200. 2. En utilisant le résultat de la partie A, que peut-on prévoir pour l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays?
Exercice 2 : (…… points) Antilles-Guyane, septembre 2001
Un couple dépose au premier janvier de l’an 2000, une somme de 5 000 euros sur un compte rémunéré au taux annuel de 6%. Par la suite, ce couple possède une capacité d’épargne annuelle de 3 000 euros, épargne versée tous les 1er janvier sur le compte précédent. Les intérêts sont capitalisés au 31 décembre de chaque année. On note S (^) n la somme dont le couple dispose au 1er janvier de l’année (2000 + n ).
1. Calculer les valeurs de S (^) 0 , S (^) 1 , S (^) 2.
2. Montrer que l’expression de S n + 1 , en fonction de S n est donnée par la relation : Sn + 1 = 1 , 06 ( Sn )+ 3000.
3. On pose Tn = Sn + 50000.
a. Montrer que ( T (^) n )est une suite géométrique de raison 1,06.
b. Exprimer Tn puis S (^) n en fonction de n.
c. Au 1er janvier de quelle année le couple possédera-t-il une épargne supérieure à 50 000 euros?
docsity.com
CORRECTION DU CONTROLE DU 05/12/
Exercice 1 :
Liban, Juin 2000
Partie A - Étude d’une suite 1.
u^1
= 0,6 x 900 + 200 = 740 u^2
= 0,6 x 740 + 200 = 644
2.
a.
vn
=^
un
− 500
vn+
= u
n+
− 500
vn+
= 0,
u
− 500
vn+
= 0,
u
vn+
= 0,6 (
un
vn+
= 0,
v
n^
De plus,
v
0
=^
u^0
− 500 = 900 – 500 = 400
donc la suite (
vn
) est une suite géométrique de premier terme
v^0
= 400 et de raison 0,6.
b.
vn
=^
v^0
x r
n
vn
= 400
x 0,
n
vn
=^
un
− 500
un
= vn
un
= 400 x (0,6)
n^ + 500
c.
lim
+∞→
n
n^
donc
lim
×
+∞→
n
n^
et
lim
+∞→
n
n^
u
Partie B - Application économique 1. a.
en 2001 :
900 x
(^80100)
(^20100)
= 740
en 2002 :
740 x
(^80100)
(^20100)
= 644
La société A compte 740 clients en 2001 et 644 clients en 2002. b.
Si
a
est le nombre de clients de A pour l’année (2000 + n
n
), alors le nombre de clients de
B pour l’année (2000 +
n
) est : 1000 -
a
. n
d’où
an+
=
(^80100)
a
(^20100)
(1000 −
a
) n
an+
= 0,
a
a
) n
an+
= 0,
a
a
n
an+
= 0,
a
2.
Comme la suite (
an
) est définie par
a
= 900 et, pour tout 0
n
,^ a
n+
= 0,
a
suite (
an
)^ est donc la même suite que celle étudiée dans la partie A.
D’après la question A. 2. c., la limite de la suite (
an
) est donc 500. On peut donc prévoir que,
à long terme, sur 1000 clients, la société A en aura 500. Autrement dit, à long terme, lesdeux sociétés auront autant de clients l’une que l’autre. Exercice 2 :
Antilles-Guyane, septembre 2001
1.
= S 0
1
^
×
S
2
×
S^
.
2.
1
×
^
×
+^
n
n
n^
S
S
S^
.
3. a.
1
1
=^
+^
n
n^
S
T
(^
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
T
S
T
S
T
S
T
S
T
×
^
×
Donc la suite
) n
T^
est une suite géométrique de raison 1,06.
b.
n
n^
q T T^
×
=^
0
avec
0
0
=^
S
T
donc
n
T^ n
×
Comme
=^
n
n^
S
T
=^
n n^
T
S
×
=^
n
Sn
c.
On cherche à résoudre dans N l’équation :
Sn
(^
(^
(^
ln
ln
ln
(^06) , 1 ln
ln
(^06) , 1 ln
×
×
×
n n
n n
n n
(^
ln
ln
≈^ 10,
car la fonction ln est strictement croissantecar ln(1,06) > 0
Donc il faut attendre 11 ans pour que le couple possède une épargne supérieure à 50 000euros, c'est-à-dire à partir du 1
er^
janvier 2011.
docsity.com
CORRECTION DU CONTROLE DU ……/10/2007 Exercice 1 :
(… points) Centres étrangers, juin 2000
1. a.
et
c.
D
2
3
4
5
6
4 3 2 0
1
1
x
y
u^^0
u^^1
u^^2
b.
Les coordonnées
(
) y x ;
du point d’intersection de
ces deux droites vérifient le système :
x
y
y x
donc
=^
x
x
x
x
Et comme
y x^ =
, alors le point d’intersection de ces
deux droites a pour coordonnées (4 ; 4). d.
La suite (
u^ n
) semble croissante et elle semble
converger vers 4. 2. a.
1
2
1
+^
=^
n
n
n^
u
u
v
n
n
n
n
u
u
u
u
^
^
)
n
n
n v
u
u 1 4 1 4
1
=^
Donc (
v^ n
) est une suite géométrique de raison
- 4
Son premier terme est
^
×
=^
0 1 0
u u v^
9 4
b.
D’après la question précédente, alors
n
v^ n
×
=^
c.
n
n n^
u
u v^
=^
+^1
n
n
n^ u
u
u
donc
×^
n
n
u
×
×
^
×
×
n
n
n
n
n
n u u
u
d.
Plusieurs méthodes possibles : Pour tout entier naturel
n
n
v^ n
×
=^
, alors
n
n
n^
u
u^
×
+^
1
et donc
1
+^
n
n^
u
u^
donc
n
n^
u
u^
+^1
.
Donc la suite
(
) n u^
est croissante.
e.
Comme 0 <
(^14)
< 1, alors
lim
+∞→
n
n^
et
donc
lim
lim
=^
+∞→
+∞→
n
n n
n^
u
La suite
(
) n u^
converge donc vers 4.
Exercice 2 : 1.
u^ = 400^1 u^ = 400 – 4 +^2
600 – 400
2
= 496.
2.
Pour tout entier naturel
n
tel que 1
≤
n
≤
6,
1
n
n
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
3. a)
1
1
=^
+^
n
n^
u
v
(^
)
un un^ v^ n 1 2
v^^1
= 400 – 592 = - 192
La suite (
v^ n
) est une suite géométrique de raison
1 2
et
de terme initial
v^^1
= - 192.
b)
1
1
1
−
−
×
×
n
n
n^
v v
×
− n
n n^
v u 4.
1 7
7
×
−
u^
et 600 – 589 = 11,
donc 11 habitants du village n’ont pas vu la finale.
docsity.com
NOM Prénom :
Classe :
CONTROLE DE MATHEMATIQUES
Exercice 1 : Amérique du Sud, Novembre 2003
Monsieur X a placé 2 000 € le 31 décembre 2002 sur son livret bancaire, à intérêts composés au taux annuel de 3,5% (ce qui signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). À partir de l’année suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 700 € supplémentaires sur ce livret. On désigne par Cn le capital, exprimé en euros, disponible le 1er janvier de l’année (2003 + n ), où n est un entier naturel. Ainsi, on a : C 0 = 2000.
1. a. Calculer le capital disponible le 1er janvier 2004. b. Établir, pour tout entier naturel n , une relation entre Cn+1 et Cn. 2. Pour tout entier naturel n , on pose : un = Cn + 20000. a. Démontrer que la suite ( un ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
b. Exprimer un en fonction de n. c. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : Cn = 22000 x (1,035) n^ − 20000. d. Calculer le capital disponible le 1er janvier 2008 (on arrondira le résultat à l’euro près).
3. Le premier janvier 2008, Monsieur X retirera alors le capital disponible de la banque pour financer un voyage dont le coût (supposé fixe) est de 6 000 €. Il paiera cette somme en 4 mensualités qui seront 4 termes consécutifs d’une suite arithmétique de raison 800 €. Calculer le montant de chacune de ces 4 mensualités.
Exercice 2 : Liban, Juin 2000
Partie A - Étude d’une suite
On considère la suite ( un ) définie par u 0 = 900 et, pour tout entier naturel n , un+1 = 0,6 un + 200.
1. Calculer u 1 et u 2. 2. On considère la suite ( vn ) définie, pour tout entier naturel n , par vn = un − 500. a. Démontrer que ( vn ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b. Exprimer vn en fonction de n. En déduire que un = 400 x (0,6) n^ + 500. c. Déterminer la limite de la suite ( un ).
Partie B - Application économique
Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit auprès de B, un contrat d’un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B. Cette année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%. On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A. On considère une population représentative de 1000 clients de l’année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B. On veut étudier l’évolution de cette population les années suivantes.
1. a. Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculer le nombre de clients de A en 2002. b. On note an le nombre de clients de A l’année (2000 + n ). Établir que an+1 = 0,8 an + 0,2 (1000 − an ). En déduire que an+1 = 0,6 an + 200. 2. En utilisant le résultat de la partie A, que peut-on prévoir pour l’évolution du marché des télécommunications dans ce pays?
docsity.com
NOM Prénom :
Classe :
CONTROLE DE MATHEMATIQUES
Exercice 1 : (10 points) Bac ES 2000
La suite (u (^) n) est définie par u 0 = 7 et, pour tout entier naturel n, u (^) n + 1 = 5
2 u (^) n + 6
1) Calculer u 1 , u 2 et u (^) 3. 2) On considère la suite (v (^) n) définie pour tout entier naturel n, par : v (^) n = u (^) n – 2. a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b) Exprimer v (^) n en fonction de n, et en déduire que : un =
n
c) Quelle est la limite de la suite (u (^) n)? 3) Illustration graphique Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique : 2 cm).
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [ 0 ; + ∞ [ par f (x) = 5
2 x + 6
a) Tracer la représentation graphique D de f, ainsi que la droite ∆ d’équation y = x. b) Placer, sur l’axe des abscisses, le point P 0 d’abscisse u 0. En utilisant les droites D et ∆, construire les points P 1 , P 2 , P 3 de l’axe (O ; i) d’abscisses respectives : u 1 , u 2 , u 3. A quoi correspond, sur ce graphique, l’abscisse du point d’intersection des deux droites D et ∆?
Exercice 2 : (8,5 points) BAC ES – Amérique du Nord – juin 2002
Dans tout l'exercice les sommes seront données arrondies au franc le plus proche. Un directeur du personnel propose à l'un de ses employés de choisir entre deux formes d'augmentation de salaire. Sachant que son salaire actuel est de 6 000 F par mois, il lui propose soit une augmentation régulière de 55 F tous les mois (première proposition), soit une augmentation de 0,8% tous les mois (seconde proposition).
1. On se place dans le cadre de la première proposition et on note M n le salaire mensuel en francs au bout de n mois. a. Vérifier que M 1 est égal à 6 055. Montrer que la suite (M n) définie pour tout entier naturel n est une suite arithmétique dont on donnera la raison. b. Donner l'expression de M n en fonction de n. c. Calculer M 12 , M 24 , M 36 , M 48. 2. On se place dans le cadre de la seconde proposition et on note M' n le salaire mensuel en francs au bout de n mois. a. Montrer que la suite (M' n) définie pour tout entier naturel n est une suite géométrique de raison 1,008. Calculer M' 1. b. Donner l'expression de M' n en fonction de n. c. Calculer M' 12 , M' 24 , M' 36 , M' 48. 3. Quelle proposition permet d'obtenir le meilleur salaire mensuel au bout de trois ans? 4. Avant de choisir une des deux propositions, le salarié compare la somme des salaires perçus. Pour la proposition 1, on note S n la somme des salaires sur les n premiers mois, de M 1 à M n. Pour la proposition 2,on note S' n la somme des salaires sur les n premiers mois. a. Exprimer S n et S' n en fonction de n. b. Calculer S 60 et S' 60. c. Le salarié pense rester encore cinq ans dans l'entreprise. S'il s'intéresse au montant total des salaires perçus, quelle proposition doit-il choisir?
Exercice 3 : (1,5 points)
Soit (un) la suite définie par u 0 = 0 et pour tout entier naturel n, un + 1 = 2
3 u (^) n − 1 .
Démontrer par récurrence que : pour tout entier naturel n, un ≤ 1.
docsity.com
docsity.com
