Cours 6 : TESTS
A- Généralités
B- Tests optimaux
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Cours 6 : TESTS
A- Généralités
B- Tests optimaux
A-1 Introduction
^
Soit X une caractéristique dont la distribution dépend de
θ^ inconnu
.
^
Faire un test de la valeur du
paramètre
θ^ consiste à prendre une décision concernant la valeur de
ce paramètre à partir d’un sondage de la population. Ex :
P
X,
1 (^
,...,
) n
x^
x
Au vu de l’échantillon, peut-on confirmer cette hypothèse?
X,
θ=E(X)?
"^
3"? θ^
=
A-2 Principe d’un test
Exemple :
Lors du recensement de l’INSEE , Le ministre du travail a
affirmé après calcul :^ H0 :
» le salaire moyen m des français est de 1000 euros par mois ».
Un statisticien est chargé de vérifier ces dires au vu d’un échantillon de la population. On note le salaire X. Des relevés des salaires depuis depopulation. On note le salaire X. Des relevés des salaires depuis de nombreuses années ont permis d’établir que la dispersion des salaires françaisvaut
. Il prélève un échantillon aléatoire de taille 100 et calcule la valeur de la
moyenne d’échantillonnage1.^
rejet de l’hypothèse du ministre que la véritable moyenne
m=E(X) est de 1000, étant donné l’écart important existant entreet la valeur hypothétique de m.
il semble raisonnable d’accepter l’hypothèse du ministre.
x
100 x^
=^
⇒
x
1001 x^
=^
⇒
A-2 Principe d’un test
la moyenne d’échantillonnage n’est ni très grande
ni très petite par rapport à la valeur hypothétique , de telle sorte que ladécision ne s’impose pas d’elle-même.
980 ou 1010 x^
=^
⇒
^
Il arrive fréquemment que la valeur
ne permette pas de trancher la
décision comme dans 3. ^
De plus, même lorsqu’elle parait s’imposer (1. et 2.)
on n’est jamais sûr
de ne pas être tombé sur un échantillon ayant très peu de chances de seréaliser. Comment être sur de prendre la « bonne » décision? jamais. Toutau plus, on peut prendre la
décision la plus probable.
x
A-2 Principe d’un test
Applications
:
-^
Supposons que l’affirmation du ministresoit vraie (θ=1000) et que la valeurobtenue soit de
.
Avec un écart-type de 100, les chancesd’obtenir une moyenne qui diffère d’aumoins 10 de 1000 , i.e. d’obtenir un écartsupérieur ou égal à 10 en valeur absolue,c'est-à-dire un écart réduit de
1010 x^
=
est de
lorsque
l’hypothèse du ministre est vraie..Cette probabilité est relativement forteet la différence de 10 n’est pas suffisammentsignificative pour réfuter l’affirmation duministre.
x
n
t
=^
(^
1)^
P^
T^
≥^
A-2 Principe d’un test
-^
Supposons l’hypothèse duministre soit vraie et que lamoyenne d’échantillonnage soitde
La probabilité
d’obtenir une différence d’aumoins 20 correspond à un écart-réduit de |z|=2.
980 x^
=
Les chances de réalisation d’unetelle différence sont faibles ; onpeut légitiment réfuter l’hypothèsedu ministre. Il existe une évidencestatistique suffisante pour le faire.
(^
P^
T^
≥^
A-2 Principe d’un test
Règle de Décision
: Supposons que l’on se
fixe un seuil de α=5%. Cela veut dire quel’on considèrera comme rare touteoccurrence dont la probabilitéd’apparition est inférieure ou égale à 5%.Soit z0, la valeur telle que P(|T|>t0)=5% On établira la
règle de décision
suivante
établira la
règle de décision
suivante
^
on rejettera l’hypothèse du ministre dès lors que l’écart réduit observé |t| estsupérieur à t0, c'est-à-dire si z se situedans
W est la
zone de rejet du test ou région
critique
^
on l’acceptera si |t| est inférieur à z0 en valeur absolue, c'est-à-dire z se situeendehors de la région critique :
dans la
zone d’acceptation
(^
,^
( 0,
)
W
t^
t
= −∞ −
∪
+∞
[^
] 0, 0
W
t^
t
= −
-t
t
Wbar
W
W
A-3 Notions générales
Soit X une v.a. dont la loi dépend d’un paramètre
Définition d’un test
: Un test est un mécanisme permettant de trancher
entre deux hypothèses sur ce paramètre, au vu des résultats d’un sondage :
p R
θ^
ϑ ∈
⊂
0
0
1
1
: : H H
θ^
ϑ θ^
∈ ϑ ∈
0
1
0
1
avec
,^
,
ϑ^
ϑ ϑ
ϑ^
ϑ^
ϑ
∈
∈
∩
= ∅
A-3 Notions générales
^
Les hypothèses H0 et H1 ne sont pas symétriques
o^
de même que dans un procès d’assises il y a présomption d’innocence, en théoriedes tests il y a présomption de
Ho: il faut montrer que Ho est peu probable
pour décider H1.
o^
Par contre accepter Ho peut venir du fait que soit effectivement Ho est vraie, soit on n’a pas les moyens nécessaires de prouver H1.
(ex: pas assez d’observations).
on n’a pas les moyens nécessaires de prouver H1.
(ex: pas assez d’observations).
o^
H0 est généralement une hypothèse à laquelle on tient particulièrement, pourdes raisons qui peuvent être subjectives, ou que l’on aimerait avoir des raisonsde réfuter.
- H0 est une hypothèse solidement établie et qui n’a pas été
contredite par
l’expérience jusqu’alors.
- H0 correspond à une hypothèse de prudence.
Ex: test d’innocuité d’un vaccin : il est prudent de partir d’unehypothèse défavorable au nouveau produit.
- H0 est la seule hypothèse facile à formuler.
A-3 Notions générales
o^
H1 s’élabore en fonction de ce que l’on espère découvrir du phénomène.
Ex
: si les résultats expérimentaux d'un nouveau traitement de l'hypertension artériellesont soumis à un test, l'hypothèse nulle est :
H
: le nouveau traitement n'a aucun effet. 0
On espère que les données ne vont pas seulement démentir l'hypothèse nulle, maisvont aussi suggérer une réduction de la tension artérielle des patients. On formuleraalors l'hypothèse alternative :
H
1 : le nouveau traitement réduit la tension artérielle.
plutôt que l'hypothèse plus générale mais moins utile :
H1 : le nouveau traitement a un effet sur la tension artérielle.
A-3 Notions générales
-^
Exemples d’hypothèses
o^
Cas pratique : o^
Test bilatéral d’une moyenne :
:^01
(^
)^
:^
(^
)^
H^
E X
H^
E X
^
0
0
1
0
:^
(^
:^
(^
H^
E X
m
H^
E X
= m
^
o^
Test unilatéral d’une moyenne o^
Test d’une variance : o^
Test d’une distribution :
2
0
0 2
1
0
:^
(^
:^
(^
H^
V X
H^
V X
^
^
(^
,^
:^
(^
H^
X^
N m
H^
X^
E
σ λ
0
0
0
1
0
:^
(^
:^
(^
H^
E X
m
H^
E X
= m
^
A-3 Notions générales
^
Risques et probabilités d’erreurs La décision conduit à choisir entre H0 et H1, toute décision comportant une part de risque dese tromper. Il y a 4 cas possibles :
VéritéDécision
H0 est vrai
H1 est vrai
0
θ^
ϑ ∈
0
θ^
ϑ ∈
^
α^ est le risque de première espèce ou niveau de signification
: c’est le risque que l’on prend
en rejetant à tort H0 : le risque de penser que le ministre n’est pas honnête. ^
β^ est le risque de deuxième espèce
: c’est le risque que l’on prend en acceptant à tort H0 : le
risque de ne pas avoir vu que le ministre est un menteur
On choisit H
α^
(OK)
On choisit H
α^
β^
(OK)
(choisir H
/ H
vraie)=
(^
P^
P
θ^
ϑ^
α
ϑ^
∈^
(choisir H
/ H
vraie)=
(^
)^
P^
P
θ^
ϑ
α
ϑ^
∈^
=^
(choisir H
/ H
vraie)=
(^
P^
P
θ^
ϑ^
ϑ^
∈^
(choisir H
/ H
vraie)=
(^
)^
P^
P
θ^
ϑ
β
ϑ^
∈^
=^
A-3 Notions générales
^
La statistique du test : variable de décision
La conception d'un test passe par l'identification d'une statistique T =h(X1,..Xn) del’échantillon, appelée
statistique de test
,^ jouant le rôle de variable de décision :
^
elle doit apporter le maximum d’information sur le problème posé. RQ
: Pour des tests portant sur un paramètre , la statistique de test est souvent basée sur une fonction d’une statistique exhaustive du paramètre (souvent un écart entreun estimateur exhaustif du paramètre et la valeur de ce paramètre sous H0.) ^
Sa loi doit être différente sous H0 et sous H1. ^
Il faut que sa loi soit entièrement connue au moins sous H0.
A-3 Notions générales
Remarques
^
Concevoir une statistique de test n'est pas une question simple. L
a plupart des tests
classiques reposent sur des statistiques dont l'identification a demandé à leursauteurs beaucoup d'efforts et d'imagination. ^
Une statistique de test n'a aucune raison d'être unique, et le choix entre plusieurs ^
Une statistique de test n'a aucune raison d'être unique, et le choix entre plusieurs statistiques candidates est une question difficile., qui déterminera entre autre lapuissance du test. ^
La statistique de test choisie et sa distribution sous H0 dépendent généralement dela distribution de la population et/ou de la taille de l’échantillon. Il s’agit de préciserces hypothèses et de les vérifier ultérieurement.Ex : lorsque X est gaussienne de variance inconnue et n>30, le test de H0 : E(X)=m0utilise la statistique
0
N(0,1) sous H n X n
m