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Chapitre 13 : Eléments de probabilité ECG 1 Lycée Clémenceau, Reims
Dans tout ce chapitre, Ω est un ensemble ni.
I) Vocabulaire
1) Généralités
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas connaître le résultat à l'avance.
L'univers Ω d'une expérience aléatoire est l'ensemble des résultats possibles ou issues de l'expérience.
Un sous-ensemble E de Ω est appelé un évènement. Les ensembles à 1 élément (singletons) sont appelés les évènements élémentaires. On dit que Ω est l'évènement certain et que ∅ est l'évènement impossible.
On appelle le couple (Ω, P(Ω)) un espace probabilisable.
Exemples 1
- On lance une pièce. Décrire Ω. Ω = {P, F }.
- On lance un dé cubique classique. Décrire Ω. Donner un évènement non élémentaire. Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. E = { 1 , 3 , 6 } et F= {1, 2, 3} sont des évènements élémentaires.
- On lance successivement deux pièces de monnaie. Décrire Ω. Ω = {(P, P ); (P, F ); (F, P ); (F, F )}
2) Rappels sur les ensembles
Dé nition 1 Soit (Ω, P(Ω)) un ensemble probabilisable. Soient A et B deux évènements. L'évènement A et B est noté A ∩ B.
L'évènement A ou B est noté A ∪ B. A et B sont dits incompatibles si A ∩ B = ∅.
L'évènement contraire de A, noté A est l'ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A. On note A\B = A ∩ B.
Toutes les propriétés vues sur les intersections, unions et complémentaires d'ensembles se pro- longent sur les évènements.
Exemple 2 On lance un dé à 6 faces. On note A l'évènement "Obtenir un nombre pair" et B l'évènement "Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5". Décrire A, B, A ∩ B, A ∪ B et A, B et A \ B. A = { 2 , 4 , 6 } et B = { 5 , 6 } ; A ∩ B = { 6 } et A ∪ B = { 2 , 4 , 5 , 6 } A = {A, 3 , 5 } et B = { 1 , 2 , 3 , 4 } ; A \ B = { 2 , 4 }
3) Système complet d'évènements
Dé nition 2 (Système complet d'évènements) Soit (Ω, P(Ω)) un espace probabilisable. On dit qu'une famille (Ai)i∈[|1;n|] d'évènements forme un système complet d'évènements (abrégé SCE) lorsque:
Ai ∩ Aj = ∅ pour i ̸= j (i.e. Ai et Aj sont incompatibles.)
[^ n
i=
Ai = Ω.
Exemple 3 On lance un dé à 6 faces. Proposer deux/trois? systèmes complets d'évènements.
A 1 = { 2 , 4 , 6 } et A 2 = { 1 , 3 , 5 }. A 1 = { 1 , 2 }, A 2 = { 3 , 4 } et A 3 = { 5 , 6 }.
Propriété 1 (Décomposition dans un sce) Soient (Ω, P(Ω)) un espace probabilisable, (Ai)i∈[|1;n|] un sce et B un évènement.
On a B =
[^ n
i=
(Ai ∩B) et cette union est composée d'évènements deux à deux incompatibles.
Illustration
II) Espaces probabilisés nis
1) Dé nitions et premières propriétés
Dé nition 3 (Probabilité) On dit qu'une application P : P(Ω) → [0; 1] est une probabilité sur (Ω, P(Ω)) si P (∅) = 0 et P (Ω) = 1
Si A et B sont deux évènements incompatibles, on a P (A ∪ B) = P (A) + P (B) On dit alors que (Ω, P(Ω), P ) est un espace probabilisé.
Remarque 1 Comme Ω est ni, Ω = {ω 1 ,... , ωn}. La donnée de P (ωk) pour k ∈ [|1; n|] est su sante pour déterminer la probabilité de chaque évènement.
Exemple 4 On suppose Ω = [|1; n|] et que P ({i}) = a × i^2 pour i ∈ [|1; n|]. Déterminer la valeur de a.
Exemples 5
- On sait que P (A ∩ B) =
. Quelle est la probabilité de P (A ∪ B)?
P (A ∪ B) = P (A ∩ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 −
- On sait que P (A) = 0, 5 , P (B) = 0, 4 et P (A ∩ B) = 0, 2. Que vaut P (A ∪ B)? P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 0, 5 + 0, 4 − 0 , 2 = 0, 7.
3) Équiprobabilité
Dé nition 4 Soit Ω = {ω 1 ; ω 2 ;... ωn}. et P une probabilité sur (Ω, P(Ω)). On dit qu'il y a équiprobabilité si tous les évènements élémentaires ont même probabilité c'est à dire ∀(i, j) ∈ [|1; n|], P ({ωi}) = P ({ωj }). Comme l'univers est de cardinal n, on a alors ∀j ∈ [|1; n|], P ({ωj }) =
n
Card(Ω)
Propriété 3 Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé équiprobable. Soit A un évènement. On a :
P (A) = Card(A) Card(Ω)
nombre d'issues favorables à A nombre d'issues total
Exemple 6 On lance successivement 3 fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'avoir eu au moins deux piles?
Ω = {(P, P, P ); (P, P, F ); (P, F, P ); (P, F, F ); (F, P, P ); (F, P, F ); (F, F, P ); (F, F, F )} On note A l'évènement "obtenir au moins deux piles" ; A = {(P, P, P ); (P, P, F ); (P, F, P ); (F, P, P )}
La probabilité d'avoir eu au moins deux piles est P (A) = Card(A) Card(Ω)
Méthode 1 : Calculer une probabilité par du dénombrement. Cette formule sur l'équiprobabilité nous invite à dénombrer les cas possibles. Elle s'utilise principalement dans le cas où on fait des tirages simultanés, et où on peut décrire exactement les tirages menant aux cas favorables
Exemple Méthode A: Une urne contient 4 boules jaunes, 4 boules rouges et 2 boules noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne.
- Dénombrer le nombre de tirages possibles. On tire 3 boules parmi 10 disponibles, le nombre de tirages possibles (avec des boules distinctes est
10 × 9 × 8
- Quelle est la probabilité de tirer exactement 2 boules jaunes? Le nombre de façons de tirer exactement deux boules jaunes est
×
4 × 3
× 6 = 36.
La probabilité de tirer exactement 2 boules jaunes est donc P =
- Quelle est la probabilité de faire un tirage unicolore? Soit J l'évènement "les 3 boules sont jaunes" ; R "les 3 boules sont rouges" et N "les 3 boules sont noires". Et U "le tirage est unicolore." U = J ∪ R ∪ N avec J, R et N incompatibles, donc P (U ) = P (R) + P (J) + P (N ). P (N ) = 0 (2 boules noires seulement) P (J) = P (R) =
3
3
Ainsi P (U ) = P (J) + P (R) =
Remarque 2 Le dénombrement n'est jamais chose aisée. On préfère donc souvent détailler étapes par étapes successives, et on fait alors appels aux notions de probabilités conditionnelles et à la formule des probabilités totales.
L'exemple ci-dessus est retravaillé dans ce cadre à la page suivante.
III) Probabilité conditionnelle
1) Dé nition, premières propriétés
Dé nition 5 Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé, et B un évènement tel que P (B) ̸= 0. On considère l'application PB : P(Ω) → [0; 1] dé nie par
PB (A) =
P (A ∩ B)
P (B)
Cette application dé nit une probabilité sur Ω, appelée probabilité conditionnelle. On dit que PB (A) est la probabilité de A sachant B.
Preuve 1 On va véri er les axiomes d'une probabilité.
Théorème 1 (Formule des probabilités composées)
Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé, n ∈ N∗^ et (Ak)k∈[|1;n|] une famille de n évènements
dont on suppose que P
^ n
k=
Ak
̸ = 0. Alors,
P
^ n
k=
Ak
= P (A 1 )PA 1 (A 2 )PA 1 ∩A 2 (A 3 )... PA 1 ∩···∩An− 1 (An)
Remarque 3 Quand utiliser cette formule?: On utilise cette formule dès qu'on veut expliciter une situation par des évènements successifs: "D'abord il me faut cela, puis ceci et en n..."
Exemple 7 Les n élèves de ECG maths applis font un Noel canadien. Ils tirent chacun leur tour un nom dans une enveloppe et gardent leur papier. Quelle est la probabilité que le k-ième élève tire son propre nom? Pour que le k-ième élève tire son propre nom, il faut :
- Qu'aucun des élèves précédents n'ait tiré son nom ;
- Que lui-même tire son nom.
Soit k ∈ [| 1 , n|] Notons Ai l'évènement "Le i-ième élève ne tire pas le nom du k-ième élève". La probabilité cherchée est :
P (Ak) = P (A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ Ak− 1 ∩ Ak) = P (A 1 ) × PA 1 (A 2 ) × PA 1 ∩A 2 (A 3 ) × · · · × PA 1 ∩···∩Ak− 2 (Ak− 1 ) × PA 1 ∩···∩Ak− 2 ∩Ak− 1 (Ak)
= n − 1 n
×
n − 2 n − 1
× · · · ×
n − (k − 1) n − (k − 2)
n − (k − 1)
n
3) Formule des probabilités totales
Théorème 2 (Formule des probabilités totales)
Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé. Soit B un évènement et (Ak)k∈[|1;n|] un système complet d'évènement. On a :
P (B) = P
[^ n
k=
Ak ∩ B
X^ n
k=
P (Ak ∩ B)
SI de plus, ∀k ∈ [| 1 , n|], P (Ak) ̸= 0, on a
P (B) =
X^ n
k=
P (Ak)PAk (B)
Remarque 4 Quand utiliser cette méthode? On utilise cette méthode quand une seconde ex- périence dépend des résultats de la première expérience. En particulier, il faut bien décrire le système complet d'évènements (sce)
Exemples 8
- Dans une classe de 40 élèves, il y a 30 garçons. 80% des lles font leur devoir, contre seulement 50% des garçons. Le professeur interroge un élève. Quelle est la probabilité qu'il ait fait son travail? On note :
- G l'évènement l'élève interrogé est un garçon ;
- T l'évènement l'élève interrogé a fait son travail. G et G forment un système complet d'évènements. Alors, d'après la formule des probabilités totales (et en supposant l'équiprobabilité):
P (T ) = P (T ∩ G) + P (T ∩ G) = P (G) × PG(T ) + P (G) × PG(T ) =
×
×
- On choisit un nombre de façon équiprobable entre 1 et n. On lance ensuite une pièce autant de fois que le nombre choisi. Quelle est la probabilité de n'avoir que des "pile" à la n de cette expérience? On note : - pour tout k ∈ [| 1 , n|], Ak : "le nombre choisi est i". - P : Il n'y a que des piles à la n de l'expérience. (Ak)k∈[| 1 ,n|] est un système complet d'évènements. D'après la formule des probabilités totales :
P (B) =
X^ n
k=
P (B ∩ Ak)
X^ n
k=
P (Ak) × PAk (B)
X^ n
k=
n
×
k
n
X^ n
k=
k (linéarité)
n
×
X^ n−^1
k=
k
2 n
×
n
2 n^ − 1 n 2 n
4) Formule de Bayes
Dans des sciences expérimentales (économie, sciences naturelles), des résultats sont visibles mais il est toujours di cile d'identi er les causes. Les probabilités bayesiennes (du nom de
Propriété 5 Soient A et B deux évènements.
- Si A et B sont indépendants, alors A et B, A et B et A et B sont indépendants.
- Si P (A) ̸= 0 alors A et B sont indépendants ssi PA(B) = P (B).
- Supposons que A et B sont indépendants. On utilise la formule des probabilités totales avec le sce (B, B):
P (A ∩ B) = P (A) − P (A ∩ B) = P (A) − P (A)P (B) indépendance de A et B = P (A)(1 − P (B)) = P (A)(P (B)
Ainsi, si A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.
- Par ailleurs, si P (A) ̸= 0, P (A ∩ B) = P (A) × PA(B). On a les équivalences :
A et B indépendants ⇐⇒ P (A ∩ B) = P (A)P (B) ⇐⇒ P (A)PA(B) = P (A)P (B) ⇐⇒ PA(B) = P (B) carP (A) ̸= 0
2) Indépendance de n évènements
Dé nition 7 Soient n ∈ N∗, et (Ak)k∈[|1;n|] une famille de n évènements. Les évènements A 1 , A 2 ...An sont dits mutuellements indépendants, si pour tout sous-ensemble I de [|1; n|], on a
P
\
i∈I
Ai
Y
i∈I
P (Ai)
Remarque 5 En particulier, il faut plus qu'être "deux à deux" indépendants, car il y a aussi des intersections de 3 (ou plus) évènements à contrôler.
Exemple 11 Pour n = 3, les évènements A 1 , A 2 et A 3 sont indépendants ssi:
P (A 1 ∩ A 2 ) = P (A 1 )P (A 2 ) P (A 1 ∩ A 3 ) = P (A 1 )P (A 3 )
P (A 3 ∩ A 2 ) = P (A 3 )P (A 2 ) P (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) = P (A 1 )P (A 2 )P (A 3 )
Remarque 6 La mutuelle indépendance intervient lorsque l'on répète plusieurs fois la même expérience.
Exemple 12 On lance n fois une pièce truquée, ayant une probabilité de
de tomber sur pile. On suppose que les lancers sont mutuellement indépendants. Quelle est la probabilité que le premier pile arrive au n-ième lancer? On note Ak : "Au k-ième lancer, on obtient pile". La probabilité d'obtenir le premier pile au k-ième lancer est :
P = P (A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ Ak− 1 ∩ Ak = P (A 1 )P (A 2 )...P (Ak− 1 )P (Ak) par indépendance mutuelle)
=
k− 1 ×
Premiers exemples et ré exion Exemple A:(Cas simple) Ecrire un programme qui simule le lancer d'une pièce truquée,
qui renvoie Pile avec la probabilité
Exemple B:(Choix des commandes + Gestion du nombre de boules) On dispose de 4 urnes, numérotées de 1 à 4. On choisit au hasard une urne. L'urne numéro i contient i boules blanches et 4 − i boules noires. Simuler l'expérience.
Exemple C: (Gestion de plusieurs probabilités): Une urne contient 2 boules jaunes, 3 boules vertes et 5 boules rouges. On tire une boule de l'urne. Ecrire un programme qui simule l'expérience:
