Devoir commun de Mathématiques du deuxième trimestre ;2013 - 2014
Premières S1 et S2
Durée 2 heures. Calculatrice autorisée.
•Toute réponse doit être justifiée.
•La rédaction et la présentation du devoir seront prises en compte.
•Le sujet complet doit être rendu avec la copie.
EXERCICE 1 : Probabilités ( points).
Partie A : Propriété de l'espérance. Démonstration de cours.
1. Soit X une variable aléatoire dont la loi est décrite par le tableau suivant :
Valeurs possibles de X,
xi
x1
… …
xn
pi=P(X=xi)
p1
… ...
pn
a) Donner l'expression de son espérance mathématique E(X) .
b) Montrer, en détaillant les calculs, que, quelque soient a et b, réels donnés :
E(aX+b)=aE(X)+ b
.
2. Application
Le nombre de repas servis par une cantine scolaire un jour donné est une variable aléatoire X d'espérance
mathématique 500.
La cantine dépense 2 euros par repas servi plus les coûts fixes journaliers qui s'élèvent à 1000 euros.
Soit Y la variable aléatoire égale à la dépense totale journalière pour la cantine, exprimée en euros.
Donner l'expression de Y en fonction de X et calculer E(Y) en utilisant la formule démontrée dans la
question 1.b.
Partie B : Un jeu
Un club sportif organise un jeu pour financer ses activités.
Pour participer, un joueur doit acheter un billet d'entrée coûtant 1,70 euros puis prélever au hasard une
boule dans un sac.
Ce sac contient des boules indiscernables au toucher : une boule rouge, trois boules jaunes et n boules
noires (avec n entier strictement positif).
Si la boule prélevée est rouge le joueur reçoit 5 euros, si la boule est jaune il reçoit 2 euros et si la boule
est noire, il reçoit 1 euro.
On note
Xn
la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du
joueur(ne pas oublier la mise)
1. Déterminer la loi de probabilité de
Xn
.
2. Calculer l'espérance mathématique de
Xn
en fonction de
n
.
3. a. Supposons que n soit tel que
E(Xn)=0,5
. Est-ce intéressant pour le club organisateur ? Justifier
b.Supposons que n soit tel que
E(Xn)=0
. Est-ce intéressant pour le club organisateur ? Justifier
c. Supposons que n soit tel que
E(Xn)=−0,5
. Est-ce intéressant pour le club organisateur ? Justifier
4. Le club souhaite gagner au moins 0,50 euros par partie. Quel doit être le nombre minimal de boules
noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?
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