Devoir maison n°6 – Correction
1) a) Rechercher les points d’intersection des deux courbes revient à résoudre l’équation 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥) sur ℝ\{−1}.
Soit 𝑥∈ℝ\{−1}. 𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)⟺3(𝑥+1)(𝑥2−11
3𝑥+13
3)=3(𝑥+1)2𝑥−1
𝑥+1
⟺(3𝑥+3)(𝑥2−11
3𝑥+13
3)=3(2𝑥−1)
⟺3𝑥3+3𝑥2−11𝑥2−11𝑥+13𝑥+13=6𝑥−3
⟺3𝑥3−8𝑥2−4𝑥+16=0
b) 3×23−8×22−4×2+16=0 donc 2 est une solution de cette équation.
c) Soient 𝑥 ∈ℝ et 𝑃(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐. (𝑥−2)𝑃(𝑥)=(𝑥−2)(𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐)
=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥−2𝑎𝑥2−2𝑏𝑥−2𝑐
=𝑎𝑥3+(𝑏−2𝑎)𝑥2+(𝑐−2𝑏)𝑥−2𝑐
On en déduit que (𝑥−2)𝑃(𝑥)=3𝑥3−8𝑥2−4𝑥+16 lorsque ces deux polynômes ont les mêmes coefficients :
{3=𝑎
−8=𝑏−2𝑎
−4=𝑐−2𝑏
16=−2𝑐 ⟺{𝑎=3
𝑏=−2
𝑐=−8
Finalement, 3𝑥3−8𝑥2−4𝑥+16=(𝑥−2)(3𝑥2−2𝑥−8) pour tout nombre réel 𝑥.
d) Soit 𝑥 ∈ℝ. 3𝑥3−8𝑥2−4𝑥+16=0⟺(𝑥−2)(3𝑥2−2𝑥−8)=0
⟺ 𝑥 − 2=0 ou 3𝑥2−2𝑥−8=0
On calcule le discriminant associé à 3𝑥2−2𝑥−8 : Δ=(−2)2−4×3×(−8)=100.
Δ>0 d onc ce trinôme admet deux racines réelles distinctes :
𝑥1=−(−2)−√100
2×3 =−4
3 et 𝑥2=−(−2)+√100
2×3 =2
On en déduit que : 3𝑥3−8𝑥2−4𝑥+16= 0 ⟺𝑥 − 2= 0 ou 3𝑥2−2𝑥−8=0
⟺ 𝑥= 2 ou 𝑥= − 4
3
Finalement, les courbes 𝒞𝑓 et 𝒞𝑔 ont exactement deux points d'intersection :
𝐼(2 ; 1) et 𝐽 (− 4
3 ; 5
7)
En effet, 𝑦𝐼=𝑔(2)=2×2−1
2+1 =1 et 𝑦𝐽=𝑔(−4
3)=2×(−4
3)−1
−4
3+1 =5
7
2) a) Soit ℎ un réel proche de 0.
𝑓(2+ℎ)−𝑓(2)
ℎ=(2+ℎ)2−11
3(2+ℎ)+13
3−1
ℎ
=4+4ℎ+ℎ2−22
3−11
3ℎ+13
3−1
ℎ
=ℎ2+1
3ℎ
ℎ
=ℎ+1
3
et, 𝑔(2+ℎ)−𝑔(2)
ℎ=2(2+ℎ)−1
(2+ℎ)+1 −1
ℎ
=(3+2ℎ
3+ℎ −3+ℎ
3+ℎ)×1
ℎ
=ℎ
3+ℎ×1
ℎ
=1
3+ℎ
b) lim
ℎ→0ℎ+1
3=0+1
3=1
3 donc 𝑓 est dérivable en 𝑥0=2 et
𝑓′(2)=1
3
lim
ℎ→0 1
3+ℎ=1
3+0=1
3 donc 𝑔 est dérivable en 𝑥0=2 et
𝑔′(2)=1
3
c) On a : 𝑓(2)=𝑔(2)=1 et 𝑓′(2)=𝑔′(2)=1
3. Les courbes 𝒞𝑓 et 𝒞𝑔 admettent donc une tangente commune (𝑇2)
au point d'abscisse 𝑥0=2 d'équation 𝑦=1
3(𝑥−2)+ 1 ⟺𝑦= 1
3𝑥+1
3.
