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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C juin 1975 Reims \
EXERCICE 1
1. Déterminer, selon les valeurs de l’entier naturel n , le reste de la division eucli- dienne par 9 de 4 n^. 2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre
N = 229 n +^2 − 313 n −^1 est divisible par 9.
EXERCICE 2
On désigne par P un plan affine rapporté à un repère
O,
ı ,
Soit Sα la transformation qui, à un point M de P, de coordonnées ( x ; y ), fait corres- pondre le point M 1 dont les coordonnées
x 1 ; y 1
sont données par : ( x 1 y 1
1 α α 1
x y
où α est un paramètre réel.
1. Trouver les valeurs de α pour lesquelles Sα n’est pas bijectif et déterminer, pour chacune de ces valeurs, l’image de Sα ainsi que l’ensemble des points M pour lesquels Sα ( M ) = O. 2. M étant fixé, distinct de O, déterminer l’ensemble E des points M 1 transfor- més de M par Sα lorsque le paramètre α décrit R. Comment faut-il choisir M pour que E contienne le point O.
PROBLÈME
Partie A
Soit f la fonction d’une variable réelle, à valeurs réelles, définie par
f ( x ) =
Log x pour x strictement positif et distinct de 1 f (0) = 0
1. Étudier f : continuité, dérivabilité, sens de variation, représentation dans un repère orthonormé. (On précisera la demi-tangente à l’origine O du repère, en étudiant la limite de f ( x ) x
lorsque x tend vers 0 par valeurs positives). x
2. On pose,
pour 0 6 x < 1 F ( x ) =
∫ x 1 2
f ( t ) d t
et, pour x > 1 G ( x ) =
∫ x
2
f ( t ) d t Que vaut F ′( x )? Que vaut G ′( x )? (On ne cherchera pas à calculer des expressions de F ( x ) et de G ( x ) ). Dire pourquoi on n’a pas le droite d’écrire F ′( x ) = G ′( x ).
Terminale C A. P. M. E. P.
Partie B
On pose, pour x strictement positif et distinct de 1 :
H ( x ) =
∫ x 2
x
f ( t ) d t
f étant la fonction définie dans A.
1. a. Montrer que H ( x ) est toujours positif ou nul. b. Montrer que H ( x ) s’exprime, suivant les cas, à l’aide de la fonction F ou à l’aide de la fonction G. En déduire l’expression de H ′( x ) pour 0 < x < 1, puis pour x > 1 c. Soit ϕ une fonction numérique définie et continue sur [0 ; 1[.
Établir que
∫ x 2
x
ϕ ( t )d t tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs posi- tives. (On pourra désigner par Φ une primitive de ϕ ). En déduire la limite de H ( x ) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
2. On pose, pour x strictement positif et distinct de 1 :
K ( x ) =
∫ x 2
x
t Log t
d t.
a. Calculer la dérivée de la fonction qui, à x strictement positif et distinct de 1, fait correspondre Log |Log x |. En déduire que K ( x ), qu’on calculera, garde une valeur constante, qu’on précisera,quand x varie dans ]0 ; 1[ et dans ]1 ; +∞[. b. On pose pour x strictement positif et distinct de 1 :
ϕ 1 ( x ) =
x − 1 x Log x Montrer que ϕ 1 ( x ) tend vers une limite ℓ , qu’on précisera, lorsque x tend vers 1. (On pourra poser x = 1 + X ). Soit alors ϕ 1 la fonction définie par { ϕ 1 ( x ) = ϕ 1 pour x strictement positif et distinct de 1. ϕ 1 (1) = ℓ
En s’inspirant de B 1. c. , montrer que 2 ∫ x 2
x
ϕ 1 ( t ) d t tend vers 0 quand x tend vers 1.
c. Montrer que H ( x ) − K ( x ) tend vers 0 lorsque x tend vers 1. En déduire qu’on peut définir à partir de H une fonction à valeurs réelles H , définie et continue sur [0 ; +∞[, coïncidant avec H sur ]0 ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
3. a. Montrer que, quel que soit x > 0, x 6 = 1,
x^2 − x 2Log x
6 H ( x ) 6
x^2 − x Log x
b. En déduire la limite de H ( x ) lorsque x tend vers 0 par valeurs positives.
c. En déduire également les limites de H ( x ) et de H ( x ) x
lorsque x tend vers +∞.
Reims 2 juin 1975
