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Université des Sciences et de la Technologie
Houari Boumediene
Faculté de Physique
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Année Universitaire 20 12 - 2013
Pr. DJELOUAH Hakim
Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediène
Faculté de Physique
Licence de Physique - L2 - S
Module : Physique 4
Electromagnétisme
Cours & Exercices
H. Djelouah
Année Universitaire 2012-
iii
Avant-Propos
Au sujet de ce manuel
Ce manuel a été écrit à l’intention des étudiants de deuxième année des filières scien- tifiques et techniques des universités et écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il correspond au programme officiel du module Electromagnétisme enseigné en deuxième année (L2-S4) de la filière SM-Sciences de la Matière option Physique. Les objectifs assignés par ce programme portent sur l’approfondissement et la conso- lidation des notions d’électromagnétisme acquises par les étudiants au cours de leur pre- mière année à l’université. Ce programme est destiné également à fournir aux étudiants les outils physiques et mathématiques pré requis par les modules de troisième année consacrés à l’électromagnétisme et l’optique ainsi qu’à la relativité restreinte. Ce manuel essaie de répondre au mieux aux recommandations du programme officiel. Afin de combler les lacunes éventuelles des étudiants venant de première année, il nous a semblé nécessaire de consacrer le premier chapitre à l’analyse vectorielle pour introduire les opérateurs utilisés classiquement en électromagnétisme. Les exercices de ce chapitre ont pour but d’initier très rapidement les étudiants à l’utilisation de ces opérateurs dans différents systèmes de coordonnées. L’électrostatique est étudiée dans le second chapitre. Les phénomènes électrostatiques sont introduits à partir de la loi de Coulomb et du principe de superposition. Le théorème de Gauss est démontré en calculant la divergence du champ électrique défini à partir de la loi de Coulomb ; nous avons préféré cette démarche à la méthode qui utilise la notion d’angle solide car elle permet aux étudiants de manipuler les opérateurs vectoriels et de saisir la notion de localité des expressions. Les exercices portent essentiellement sur la résolution de l’équation de Laplace et de l’équation de Poisson dans des configurations où la symétrie permet d’obtenir des équations aux dérivées partielles qui s’expriment en fonction d’une seule variable. Le chapitre suivant consacré à la magnétostatique débute par une définition du vecteur densité de courant. La décomposition de la force de Lorentz en deux composantes permet de définir le champ magnétique. Nous avons préféré commencer ce chapitre par le théorème d’Ampère ; la loi de Biot-Savart est décrite comme une conséquence des propriétés du champ magnétique et du potentiel vecteur associé. Le régime variable introduit les équations de Maxwell sous la forme d’une générali- sation des équations locales obtenues en régime stationnaire. Après une présentation des phénomènes d’induction électromagnétique, la notion de courant de déplacement est intro- duite comme une nécessité permettant de respecter la relation de continuité. Les équations aux dérivées partielles pour le champ électrique et le champ magnétique sont obtenues à partir des équations de Maxwell. Les potentiels, scalaire et vecteur, ainsi que la condition de jauge sont également présentés dans ce chapitre qui se termine par l’approximation du régime quasi-stationnaire. La propagation des ondes électromagnétiques dans le vide est traitée dans le cha- pitre suivant. Pour respecter les recommandations du programme officiel, les notions de rayonnement et de potentiels retardés ne sont pas abordées. Enfin, les propriétés électromagnétiques des matériaux sont présentées assez briève- ment dans le dernier chapitre. La première annexe présente, sans démonstration, les différents opérateurs dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. Le principe de symétrie de Curie est
iv
Semaine Cours Travaux Dirigés 1 Calcul vectoriel Systèmes de coordonnées, Symétries 2 Electrostatique Calcul vectoriel 3 Electrostatique Electrostatique 4 Magnétostatique Electrostatique 5 Magnétostatique Magnétostatique 6 Régime variable Magnétostatique 7 Régime variable Régime variable 8 Propagation des ondes élec- tromagnétiques dans le vide
Régime variable
9 Propagation des ondes élec- tromagnétiques dans le vide
Régime variable
10 Propagation des ondes élec- tromagnétiques dans le vide
Propagation des ondes élec- tromagnétiques dans le vide 11 Milieux matériels Propagation des ondes élec- tromagnétiques dans le vide 12 Milieux matériels Milieux matériels
Table 1: Proposition de progression des enseignements
énoncé dans l’annexe suivante et les propriétés de symétrie du champ électromagnétique sont énoncées sans démonstration. Enfin, une bibliographie sommaire présente les principaux ouvrages utilisés pour la confection de ce manuel.
Gestion du temps pédagogique
Le contenu de ce programme est prévu pour être enseigné pendant un semestre de 14 semaines, à raison d’un cours hebdomadaire de 1h30mn et d’une séance de travaux dirigés de 1h30mn par semaine. Toutefois, pour diverses raisons, la durée réelle de l’enseignement par semestre est de 12-13 semaines. Afin de couvrir la plus grande partie du programme officiel pendant cette durée, une gestion rigoureuse du temps pédagogique ainsi qu’une coordination-synchronisation entre les cours et les travaux dirigés sont indispensables. Nous recommandons la progression ci-dessus (Tableau 1) pour une durée réelle du semestre (12-13 semaines). Ce manuel est le fruit d’une pratique pédagogique dans cette matière de plusieurs années et résulte de longues discussions avec les collègues qui ont eu à assurer cet en- seignement. Les exercices proposés dans ce manuel ont été confectionnés à partir d’une compilation des séries d’exercices et des sujets d’examens proposés par les collègues qui ont enseigné le module Électromagnétisme à la Faculté de Physique de l’Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene.
vi
Table des matières
- 1 Eléments d’analyse vectorielle
- 1.1 Champ scalaire - Champ vectoriel
- 1.2 Gradient d’un champ scalaire
- 1.3 Divergence d’un champ vectoriel
- 1.4 Rotationnel d’un champ vectoriel
- 1.5 Laplacien scalaire
- 1.6 Laplacien vectoriel
- 1.7 Opérateur nabla
- 1.8 Théorème de Stokes-Théorème de Gauss
- 1.8.1 Circulation d’un champ vectoriel
- 1.8.2 Flux d’un champ vectoriel
- 1.8.3 Théorème de Stockes
- 1.8.4 Théorème de Gauss-Ostrogradski (ou théorème de la divergence)
- 1.9 Exercice corrigé
- 1.10 Exercices
- 2 Electrostatique
- 2.1 La loi de Coulomb
- 2.2 Le champ électrique
- 2.3 Principe de superposition - triques 2.3.1 Champ électrique créé par une distribution linéique de charges élec- - électriques 2.3.2 Champ électrique créé par une distribution surfacique de charges - électriques 2.3.3 Champ électrique créé par une distribution volumique de charges
- 2.4 Propriétés du champ électrostatique
- 2.4.1 Le potentiel électrostatique
- 2.4.2 Le théorème de Gauss
- 2.4.3 Le vecteur excitation électrique D~
- 2.4.4 Equation de Poisson - Equation de Laplace
- 2.5 En résumé
- 2.6 Exercices
- 3 Electrocinétique et magnétostatique
- 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant
- 3.2 Magnétostatique
- 3.2.1 Introduction viii TABLE DES MATIÈRES
- 3.2.2 Le champ magnétique
- 3.2.3 Le vecteur excitation magnétique
- 3.2.4 Potentiel vecteur A~
- 3.2.5 La loi de Biot-Savart
- 3.3 En résumé
- 3.4 Exercices
- 4 Le régime variable
- 4.1 Introduction
- 4.2 L’induction électromagnétique
- 4.2.1 La loi de Lenz
- 4.2.2 Loi de Faraday
- 4.2.3 Equation de Maxwell-Faraday
- 4.3 Le théorème de Maxwell-Ampère
- 4.3.1 Le phénomène de capacité
- 4.3.2 Le vecteur densité de courant de déplacement
- 4.3.3 Le théorème de Maxwell-Ampère
- 4.3.4 Equation de continuité
- 4.4 Les équations de Maxwell
- 4.4.1 Les hypothèses de Maxwell
- 4.4.2 En résumé
- 4.5 Equations pour E~ et B~
- 4.6 Introduction des potentiels
- 4.6.1 Potentiel scalaire. Potentiel vecteur
- 4.6.2 Equations des potentiels. Jauge de Lorenz
- 4.7 Le champ électromoteur
- 4.7.1 f.é.m induite dans un circuit
- 4.7.2 Induction de Lorentz, Induction de Neuman
- 4.8 Approximation des états quasi-stationnaires
- 4.8.1 Introduction
- 4.8.2 Phénomène d’induction
- 4.8.3 Phénomène de capacité
- 4.8.4 Phénomène de propagation
- 4.8.5 Equations des états quasi-stationnaires
- 4.9 Exercices
- 5 Propagation des ondes électromagnétiques dans le vide
- 5.1 Equations de propagation pour E~ et B~
- 5.2 L’onde plane progressive sinusoïdale
- 5.2.1 Relation de dispersion
- 5.2.2 Structure de l’onde uniforme plane
- 5.3 Polarisation
- 5.3.1 Onde de polarisation rectiligne
- 5.3.2 Onde de polarisation quelconque
- 5.4 Energie électromagnétique : vecteur de Poynting
- 5.4.1 Onde de forme spatiale et temporelle quelconques
- 5.4.2 Onde plane progressive et uniforme sinusoïdale
- 5.5 Relations de passage TABLE DES MATIÈRES ix
- 5.6 Réflexion en incidence normale sur un conducteur parfait
- 5.7 Exercices
- 6 Les équations de Maxwell dans les milieux
- 6.1 Propriétés électromagnétiques des milieux matériels
- 6.1.1 Polarisation d’un milieu matériel
- 6.1.2 Conducteurs
- 6.1.3 Milieux aimantés
- néaires et isotopes 6.1.4 Equations de Maxwell dans les milieux matériels, homogènes, li-
- 6.2 Relations de passage
- 6.3 Propagation dans les milieux diélectriques
- 6.4 Exercices
- riques. A Opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphé-
- B Propriétés de symétrie
- B.1 Le principe de Curie
- B.2 Le champ électrostatique
- B.3 Le champ magnétostatique
- B.4 Le potentiel vecteur
- Bibliographie
x TABLE DES MATIÈRES
2 Eléments d’analyse vectorielle
1.5 Laplacien scalaire
Le laplacien scalaire d’une fonction scalaire de point ( noté lap ou ∆) est par définition un champ scalaire défini par :
lap (f ) = ∆f = div
[−−→
grad (f )
] (1.7)
Dans un système de coordonnées cartésiennes, il s’écrit :
lap (f ) = ∆f =
∂^2 f ∂x^2
∂^2 f ∂y^2
∂^2 f ∂z^2
1.6 Laplacien vectoriel
Le laplacien vectoriel (noté
lap ou ∆~) d’un champ vectoriel ~v est un champ vectoriel défini par : −→ lap (~v) = ∆~v =
grad [div (~v)] − − rot→
[−→
rot (~v)
] (1.9) Dans le cas d’un système de coordonnées cartésiennes, le laplacien vectoriel a pour composantes :
lap (~v)
∆v x =
∂^2 v x ∂x^2
∂^2 v x ∂y^2
∂^2 v x ∂z^2 ∆v y =
∂^2 v y ∂x^2
∂^2 v y ∂y^2
∂^2 v y ∂z^2 ∆v z =
∂^2 v z ∂x^2
∂^2 v z ∂y^2
∂^2 v z ∂z^2
1.7 Opérateur nabla
Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment définis, on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla et défini par :
∇^ ~ = ~e x^ ∂ ∂x
∂y
∂z
Les opérateurs vectoriels s’écrivent parfois à l’aide de l’opérateur nabla sous les formes respectives suivantes :
- le gradient d’un champ scalaire f est noté −−−→ grad (f ) = ∇~f =
∂f ∂x
~e x +
∂f ∂y
~e y +
∂f ∂z
~e z (1.12)
- la divergence d’un champ vectoriel est notée
div (~v) = ∇ ·~ ~v =
∂v x ∂x
∂v y ∂y
∂v z ∂z
- le rotationnel d’un champ vectoriel est noté
− rot→ (~v) = ∇ ×~ ~v =
[ ∂v z ∂y
∂v y ∂z
] ~e x +
[ ∂v x ∂z
∂v z ∂x
] ~e y +
[ ∂v y ∂x
∂v x ∂y
] ~e z (1.14)
1.8 Théorème de Stokes-Théorème de Gauss 3
- le laplacien scalaire d’un champ scalaire est noté
lap (f ) = ∆f = div
[−−→
grad (f )
] = ∇ ·~ ∇~f = ∇^2 (f ) (1.15)
∇^2 se lit ”del de”.
- le laplacien vectoriel d’un champ vectoriel est noté
∇^2 ~v = ∆~v =
grad [div (~v)] − − rot→
[−→
rot (~v)
] = ∇~∇ ·~ (~v) − ∇ ×~
[ ∇ ×~ ~v
] (1.16)
1.8 Théorème de Stokes-Théorème de Gauss
1.8.1 Circulation d’un champ vectoriel
v^ r
d l
r
A
B
( C )
On définit la circulation d’un vecteur ~v le long d’un contour (C), par l’intégrale curviligne :
C− AB → (~v) =
∫
− AB →
~v · d~l (1.17)
La circulation de long d’un contour fermé est notée :
C (~v) =
∮ ~v · d~l (1.18)
1.8.2 Flux d’un champ vectoriel
(S)
dS
n^ r
v^ r
d l ( C ) r
On définit le flux d’un vecteur ~v à travers une surface (S) par l’intégrale double :
φ / ( S ) (~v) =
∫∫
( S )
~v · ~n dS (1.19)
Lorsque la surface (S) est fermée, le vecteur unitaire ~n est dirigé de l’intérieur vers l’extérieur.
1.8.3 Théorème de Stockes
La circulation d’un vecteur le long d’un contour fermé (C) limitant une surface (S) est égal au flux de son rotationnel à travers cette surface.
C (~v) = φ / ( S )
rot (~v)
) (1.20) ∮ ~v · d~l =
∫∫
( S )
rot (~v) · ~n dS (1.21)
Le vecteur unitaire ~n est orienté selon la convention du tire-bouchon de Maxwell.
1.10 Exercices 5
Exercice 3 : Exprimer en coordonnées cylindriques (r, θ, z), le vecteur A~ donné en coordonnées cartésiennes par :
A^ ~ = y ~e x + x ~e y + x
2 √ x^2 + y^2
~e z
Exercice 4 : Soit un vecteur de module 10 unités dirigé de l’origine vers le point (5, 5 π/ 4 , 0), en coordonnées cylindriques (r, θ, z). Exprimer ce vecteur en coordonnées cartésiennes.
Exercice 5 : Exprimer le vecteur A~ = A x ~e x + A y ~e y + A z ~e z en coordonnées cylindriques (A r , A θ , A z ).
Exercice 6 : Exprimer le vecteur A~ = A r ~e r + A θ ~e θ + A z ~e z en coordonnées cartésiennes.
Exercice 7 : Exprimer en coordonnées cartésiennes le vecteur F~ = r−^1 ~e r donné en coordonnées sphériques.
Exercice 8 : Etablir, à partir des relations de définition, les formules de composition :
−−→ grad(f + g) =
grad (f ) +
grad (g) −−→ grad (f · g) = f ·
grad(g) + g ·
grad(f )
Exercice 9 : Montrer que
grad (f ) est normal en chaque point à la surface f = constante passant par ce point.
Exercice 10 : Montrer que la circulation d’un vecteur gradient le long d’un contour fermé est nulle.
Exercice 11 : Etablir les formules de composition :
div (~u + ~v) = div (~u) + div (~v) div (m~v) = m div (~v) + ~v ·
grad (m) div (~u × ~v) = −~u · − rot→(~v) + − rot→ (~u) · ~v
Exercice 12 : On donne A~ = e− y^ (cos x ~e x − sin x ~e y ) ; chercher ∇ ·~ A~.
Exercice 13 : On donne A~ = x^2 ~e x + yz ~e y + xy ~e z ; chercher ∇ ·~ A~.
Exercice 14 : On donne A~ = 5x^2
( sin πx 2
) ~e x ; calculer ∇ ·~ A~ pour x = 1.
Exercice 15 : On donne A~ = (x^2 + y^2 )−^1 /^2 ~e x ; calculer ∇ ·~ A~ au point de coordonnées (2, 2 , 0).
Exercice 16 : On donne A~ = r sin θ ~e r + 2r cos θ ~e θ + 2z^2 ~e z , chercher div A~.
Exercice 17 : Etablir la formule de composition :
div (~u × ~v) = −~u · − rot→(~v) + − rot→ (~u) · ~v
Exercice 18 : Démontrer les relations :
− rot→ (− grad f−→ ) = 0
div
rot ~v
) = 0
6 Eléments d’analyse vectorielle
Exercice 19 : Etablir les lois de composition :
− rot→ (~u + ~v) = − rot→ (~u) + − rot→(~v) − rot→(λ ~v) = λ − rot→(~v) − ~v × − grad−→(λ)
Exercice 20 : Démontrer la formule de Kelvin : ∮
(C)
f d~` =
∫∫
( S )
∇^ ~f × dS~
où (S) est la surface orientée limitée par la courbe fermée (C)
Exercice 21 : Soit un champ de vecteurs, A~ = (y cos ax) ~e x + (y + e x ) ~e z ; calculer ∇ ×^ ~ A~ à l’origine.
Exercice 22 : Etant donné le champ de vecteurs A~ = 5r sin θ ~e z , en coordonnées cylindriques (r, θ, z) ; trouver − rot →A~ au point (2, π, 0).
Exercice 23 : Etant donné le champ de vecteurs A~ = 5e− r^ cos θ ~e r − 5 cos θ ~e z , en coordonnées cylindriques (r, θ, z), trouver − rot →A~ au point (2, 3 π/ 2 , 0).
Exercice 24 : Etant donné le champ de vecteurs A~ = 10 sin φ ~e φ , en coordonnées sphériques (r, θ, φ), trouver ∇ ×~ A~ au point (2, π/ 2 , 0).
Exercice 25 : Soit un champ de vecteurs A~(~r, t) = A~ 0 exp[j(ωt − ~k · ~r)] où le vecteur d’onde ~k a pour composantes k x , k y , k z. Le vecteur A~ 0 (indépendant de ~r et t) a pour composantes A 0 x , A 0 y , A 0 z. Démontrer les relations :
div( A~) = −j~k · A~ −→ rot( A~) = −j~k × A~ ∇^2 A~ = −k^2 A~
Exercice 26 : Soit le champ scalaire V (~r, t) = V 0 exp[j(ωt − ~k · ~r)] (avec les mêmes notations que pour l’exercice précédent). Montrer que :
−−→ grad(V ) = −j~k V ∇^2 V = −k^2 V
8 Electrostatique
2.3 Principe de superposition
La présence de plusieurs charges Q i crée un champ électrique résultant égal à la somme vectorielle des champs électriques créés individuellement par chacune de ces charges :
E^ ~ = ∑
i
E^ ~ Qi = ∑ i
Q i 4 πε 0
~r i r^3 i
Le principe de superposition peut être généralisé au cas d’une distribution continue de charges. Dans ce cas on considère que la région occupée par les charges est constituée d’un ensemble de "petits" éléments chargés et la sommation peut alors s’écrire sous la forme d’une intégrale.
2.3.1 Champ électrique créé par une distribution linéique de
charges électriques
P
M
A
B
En utilisant le principe de superposition, on considère de pe- tits éléments de la distribution de charges de longueur d_P_ , situés aux points P portant chacun une charge dQ = λ(P ) d P où λ est la densité linéique locale de charge électrique. Le champ élec- trique créé par une distribution linéique de charge de longueur ` est donné par :
E^ ~ (M ) =
∫
( ` )
λ(P ) 4 πε 0
P M
P M ||^3
d` P (2.6)
2.3.2 Champ électrique créé par une distribution surfacique de
charges électriques
P
M
Dans ce cas on considère de petits éléments de la distribution surfacique de charges de surface dS P ,situés aux points P et por- tant chacun une charge dQ = σ(P ) dS P où σ(P ) est la densité surfacique locale de charge électrique. Le champ électrique créé par une distribution surfacique de charge de surface S est donné par :
E^ ~ (M ) =
∫∫
( S )
σ(P ) 4 πε 0
P M
P M ||^3
dS P (2.7)
2.3.3 Champ électrique créé par une distribution volumique de
charges électriques
P
M
Dans le cas d’une distribution continue de charges électriques dans un volume (τ ) avec une densité volumique de charge élec- trique ρ, on considère de petits éléments de la distribution volu- mique de charges de volume dτ P ,situés aux points P et portant chacun une charge dQ = ρ(P ) dτ P. Le champ électrique créé par cette distribution volumique de charge est donné par :
2.4 Propriétés du champ électrostatique 9
E^ ~ (M ) =
∫∫∫ ( τ )
ρ(P ) 4 πε 0
P M
P M ||^3
dτ P (2.8)
2.4 Propriétés du champ électrostatique
2.4.1 Le potentiel électrostatique
Calculons le rotationnel du champ électrique E~ (M ) donné par la précédente équation.
∇ ×^ ~ E~ (M ) = ∇ ×~
∫∫∫
( τ )
ρ(P ) 4 πε 0
P M
P M ||^3
dτ P (2.9)
Comme on calcule le rotationnel au voisinage du point M , les dérivées partielles se cal- culent par rapport aux coordonnées (x, y, z) du point M , tandis que l’intégration se fait pour des éléments de volume portant les charges et situés aux points P ; l’intégration de volume se fait donc par rapport aux coordonnées (x P , y P , z P ) du point P. De ce fait, l’opérateur ∇×~ peut être introduit dans l’intégrale et on obtient alors :
∇ ×^ ~ E~ (M ) =
∫∫∫
( τ )
∇ ×^ ~
ρ(P^ ) 4 πε 0
P M
P M ||^3
dτ P
(^) (2.10)
les éléments ρ(P ) et dτ P sont indépendants de la position du point M et ne dépendent que de P , il s’en suit que l’équation précédente peut s’écrire :
∇ ×^ ~ E~ (M ) =
∫∫∫
( τ )
ρ(P ) 4 πε 0
∇ ×^ ~
P M
P M ||^3
(^) dτ P (2.11)
Or nous avons montré dans l’exercice résolu à la fin du premier chapitre que :
∇ ×^ ~
P M
P M 3 ||
(^) = ~ 0 (2.12)
Il s’en suit le résultat fondamental :
∇ ×^ ~ E~ = ~ 0 (2.13)
Sachant que le rotationnel d’un gradient est nul (voir exercice du premier chapitre, on en déduit qu’il existe un champ scalaire appelé potentiel électrostatique U tel que :
E^ ~ = −∇~U (2.14)
A partir du résultat précédent on peut aisément montrer que :
dU = − E~ · d~` (2.15)
Par intégration, on peut montrer que le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle est :
U (~r) =
Q
4 πε 0 r
