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ACT 2121 Actuariat I
EXAMEN # 1 ; 10 octobre 2006
Dur´ee : 3 heures Professeur : Jacques Labelle
Nom de famille : (lettres en majuscules)
Pr´enom :
Code permanent :
1 Un comit´e de l’Union Europ´eenne est form´e de 12 fran¸cais, 10 belges et 8 suisses. On y extrait au hasard un groupe de travail contenant 4 personnes. Trouver la probabilit´e que le groupe soit compos´e de gens des 3 nationalit´es.
A) 0. 473 B) 0. 498 C) 0. 523 D) 0. 548 E) 0. 573
2 Une petite compagnie d’assurance a 28 clients. Ils se partagent en 10 avec assurance auto et 18 avec assurance maison. Si on choisit au hasard un groupe de 5 assur´es, trouver la probabilit´e que deux ou moins d’entre-eux aient une assurance auto.
A) 0. 772 B) 0. 694 C) 0. 500 D) 0. 306 E) 0. 228
3 Les quinze ´etudiants d’une classe sont partag´es en 3 ´equipes (5 par ´equipe) pour un travail de session. S’il y a exactement trois finissants dans la classe, trouver la probabilit´e que chaque ´equipe compte un finissant.
A)
91 B)
91 C)^
18 D)
18 E)
4 La dur´ee de vie en ann´ees d’une tondeuse a gazon est uniform´ement distribu´ee sur l’in- tervalle [0, T ] ou T vaut 8, 10 ou 12 avec les probabilit´es 0.3, 0.3 et 0.4 respectivement. Trouver la probabilit´e que la tondeuse va encore fonctionner dans 9 ans.
A) 0. 70 B) 0. 42 C) 0. 33 D) 0. 20 E) 0. 13
5 Vous entreprenez un long voyage en avion de Montr´eal `a Sydney (Australie). Le voyage
se fera en trois ´etapes ; un vol de la compagnie A de Montr´eal a Boston, puis un vol de la compagnie B de Bostona Los Angeles, et finalement un vol de la compagnie C de Los Angeles a Sydney. Les probabilit´es de perdre un bagage pour les compagnies A, B et C, sont respectivement 0.05, 0.01, 0.02. Si en arrivanta Sydney vous constatez que votre bagage a ´et´e perdu, qu’elle est la probabilit´e que ce soit la compagnie B qui l’ait perdu.
A) 0. 1213 B) 0. 1250 C) 0. 2426 D) 0. 25 E) 0. 3333
6 La compagnie Wal-Mard fait remplir un formulaire `a ses associ´es. La compagnie estime
que 50% des fumeurs vont mentir `a la question : « Etes-vous fumeurs ?ˆ »Les non-fumeurs eux disent toujours la v´erit´e. En supposant que 25% de la population fume, trouver la probabilit´e qu’un associ´e soit r´eellement non-fumeur lorsqu’il r´epond : « Non ».
A)
8 B)
7 C)
4 D)
4 E)
7 Lors d’un marathon, la probabilit´e qu’un marathonien franchisse la moiti´e du circuit est
0.75 ; la probabilit´e qu’il franchisse la ligne d’arriv´ee est 0.5. Quelle est la probabilit´e qu’un marathonien ayant atteint la moiti´e du circuit atteigne la ligne d’arriv´ee?
A)^1 4
B)^1
C)^3
D)^2
E)^1
8 Dans un grand magasin les clients arrivent suivant une loi de Poisson de moyenne trois `a
la minute. Parmi les clients qui entrent au magasin, on estime que 30% n’achetent rien, 20% achetent en payant comptant, 25% achetent en payant avec une carte de cr´edit, 15% achetent en payant avec une carte de d´ebit et 10% achetent et paient par cheque. Trouver la probabilit´e que parmi les clients entr´es entre 9h55 et 10h00, 5 ont pay´e avec une carte, 2 ont pay´e avec un ch`eque et 3 ont pay´e comptant.
A) 0. 090 B) 0. 122 C) 0. 012 D) 0. 009 E) 0. 001
9 Deux personnes se donnent rendez-vous dans un restaurant entre 18h et 20h. Si les deux ar-
rivent al´eatoirement entre 18h et 20h de fa¸cons ind´ependantes et uniform´ement distribu´ees, trouver la probabilit´e que la premiere personnea arriver attende plus de 30 minutes avant l’arriv´ee de la seconde personne.
A)
16 B)
2 C)
4 D)^
16 E)
16 On pige 2 fruits au hasard dans une boˆıte contenant 3 pommes, 2 poires et 4 oranges. Soit
X et Y le nombre de pommes et de poires respectivement pig´ees. Trouver FX,Y (1, 1).
A)^8 9
B)^7
C)^2
D)^5
E)^4
17 Une enquˆete m´edicale sur les 937 d´eces en 2002a l’hˆopital Victoria montre qu’il y avait 210
d´eces dusa des problemes cardiaques. De plus, 312 des 937 d´eces avaient des ant´ec´edents cardiaques familiaux. De ces 312, il y en a 102 qui sont d´ec´ed´es de problemes cardiaques. Trouver la probabilit´e pour qu’une personne prise au hasard du groupe des 937 d´eces ne soit pas d´ec´ed´ee de probl`emes cardiaques sachant qu’elle n’avait aucun ant´ec´edent familial cardiaque.
A) 82.7% B) 51.4% C) 32.7% D) 22.4% E) 17.3%
18 Pour les assur´es d’une compagnie le nombre N de r´eclamations durant une ann´ee est tel que
P (N = n) = k
24 n+ 33 n+1^ o`u^ k^ est une constante. Trouver la probabilit´e qu’il y ait exactement deux r´eclamations durant l’ann´ee.
A) 3.9% B) 4.4% C) 14.3% D) 23.4% E) 27.8%
19 La photocopieuse n’est pas tr`es fiable. Lorsqu’on photocopie une page il y a une probabilit´e
0.25 qu’elle soit de mauvaise qualit´e (ind´ependamment d’une page a l’autre) et que l’on doive la reprendre. Si le texte original comprend 400 pages, combien de photocopies doit-on s’attendre en moyennea faire afin d’obtenir une copie parfaite de l’original.
A) 400 B) 500 C) 533. 33 D) 566. 67 E) 1600
20 On pige successivement des cartes d’un jeu de cartes (avec remise et en m´elangeant bien
le jeu `a chaque fois). Trouver la probabilit´e qu’un as sorte avant une figure (i.e. roi, dame ou valet).
A)^14 B) 133 C)^15 D) 13 E)^16
21 Si P (A) =
6 =^ P^ (B) et^ P^ (A|B) +^ P^ (B|A) =^
11 , alors que vaut^ P^ (A^ ∩^ B)? A) 1/ 36 B) 1/ 12 C) 1/ 6 D) 1/ 11 E) 1/ 22
22 Dans un c´elebre recueil de problemes de probabilit´es il y a 450 problemesa choix de
r´eponses. Exactement 10 des probl`emes sont fautifs (i.e. la bonne r´eponse n’est pas dans le choix de r´eponses). Si pour un examen le professeur choisit au hasard 30 questions diff´erentes dans le recueil, trouvez la probabilit´e que 2 des trentes questions soient fautives.
A) 0. 0292 B) 0. 0581 C) 0. 1151 D) 0. 2302 E) 0. 3453
23 Soit X une loi de Poisson de param`etre λ = 23. Si vous calculez P (X = 2) pour approximer
P
Bin (30, 451 ) = 2
quelle sera l’erreur.
A) 0. 00004 B) 0. 00040 C) 0. 00400 D) 0. 04000 E) 0. 40000
24 Supposons que les nombres al´eatoires d’accidents durant l’ann´ee `a venir pour un couple
sont X = 0, 1 ou 2 pour la femme et Y = 1 ou 2 pour l’homme. Si la distribution conjointe est p(x, y) = x 15 +y pour x = 0, 1 , 2 , y = 1, 2 , trouver l’esp´erance du nombre d’accident de la femme sachant que l’homme a eu deux accidents.
A)^19 15
B)^11
C)^11
D)^3
E) 1
25 Un client poss`ede une assurance dentaire. On estime que durant la p´eriode assur´ee la
probabilit´e qu’il ait besoin de :
- un traitement orthodontiste est 1/
- un plombage ou un traitement orthodontiste est 1/
- une extraction ou un traitement orthodontiste est 3/
- un plombage et une extraction est 1/ De plus, plombage et traitement orthodontiste de mˆeme que extraction et traitement orthodontiste sont ind´ependants. Trouver la probabilit´e que le client ait besoin de plombage ou extraction.
A)
2 B)
8 C)
3 D)
24 E)
Grille des r´eponses
EXAMEN I - ACT 2121
ACTUARIAT I
NOM : (lettres en majuscules)
A B C D E
1 X
2 X
3 X
4 X
5 X
6 X
7 X
8 X
9 X
10 X
11 X
12 X
13 X
A B C D E
14 X
15 X
16 X
17 X
18 X
19 X
20 X
21 X
22 X
23 X
24 X
25 X
