UFR Math´
ematiques Universit´
e Rennes 1
Licence 3`eme ann´ee Ann´ee 2006/2007
Int´egration et probabilit´es - TD 5
Exercice 1.
D´eterminer la limite des suites (In)n≥1suivantes en pr´ecisant le th´eor`eme utilis´e apr`es avoir justifi´e l’existence
de l’int´egrale pour tout entier n≥1 :
(i)In=Z1
01−e−t2/ndt ; (ii)In=ZR
net2+ 1
ne2t2+ 4t2λ(dt) ;
(iii)In=Zn
0
1
n1 + t
ne−t/n λ(dt) ; (iv)In=Z]0,+∞[
sin u
u2
u1/n
1 + u1/n λ(du) ;
(v)In=
+∞
X
k=1
n+k
nk3/2+k3; (vi)In=Z+∞
0
sin(nxn)
nxn+1/2dx.
Exercice 2.
Soit fla fonction d´efinie sur R+par f(t) = Z+∞
0sin x
x2
e−tx dx.
1. Montrer que fest continue sur R+et deux fois d´erivable sur R∗
+.
2. Calculer f00 et les limites en +∞de fet f0.
3. En d´eduire une expression simple de f.
Exercice 3.
1. Montrer que la fonction f:x7→ sin x
ex−1est Lebesgue-int´egrable sur [0,+∞[.
2. Montrer que, pour tout x > 0, on peut encore ´ecrire f(x) sous la forme : f(x) =
+∞
X
n=1
e−nx sin x. Est-ce vrai
en 0 ?
3. En d´eduire que Z+∞
0
sin x
ex−1dx =
∞
X
n=1
1
n2+ 1.
Exercice 4.
1. D´emontrer que h:θ7→ ln(1 −sin2θ) est L.I. sur [0, π/2[.
2. On consid`ere la fonction F:t7→ Zπ/2
0
ln(1 + tsin2θ)λ(dθ) de Rdans R.
(a) Montrer que Fest d´efinie et continue sur [−1,+∞[.
(b) ´
Etablir que Fest de classe C1sur ] −1,+∞[ et que
∀t∈]−1,+∞[, F 0(t) = Zπ /2
0
sin2θ
1 + tsin2θλ(dθ).
3. (a) Montrer que ∀t∈]−1,+∞[, F 0(t) = π
2√1 + t(1 + √1 + t).
(b) En d´eduire que ∀t∈[−1,+∞[, F (t) = πln 1 + √1 + t−ln 2.
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