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Université de Rennes 1 Master M1 de mathématiques Année 2005-2006 H04. Théorie algébrique des nombres
Feuille de TD 1
Exercice 1
- Se rappeler la définition d’un anneau euclidien, principal, factoriel. Montrer qu’un anneau euclidien est principal et qu’un anneau prin- cipal est factoriel. Donner le plus grand nombre possible d’exemples d’anneaux euclidiens, d’anneaux factoriels non principaux, d’anneaux (intègres) non factoriels. Un anneau principal et non euclidien est étudié à l’exercice 17.
- Si A est factoriel, quels sont les éléments irréductibles de A[X]? En déduire que A[X] est factoriel.
- Soit A un anneau factoriel vérifiant le théorème de Bézout (i.e. pour tout a, b ∈ A l’idéal engendré par a et b est principal). Montrer que A est principal (attention, un anneau factoriel n’est pas nécessairement noethérien).
Exercice 2 Montrer que (1 − i) est irréductible dans Z[i]. Vérifier que dans Z[i] on a
5 = (2 + i) (2 − i) = (1 + 2 i)(1 − 2 i)
et que ceci ne contredit pas la factorialité de Z[i]. Décomposer en produit d’irréductibles dans Z[i] :
2 , 7 , 13 , −2 + 2 i, −11 + 2 i et 7 + i.
Exercice 3 Décomposer en produit d’irréductibles dans Z[j] :
3 + j, 5 + j, 3 j, 7.
Exercice 4
- Soit p un nombre premier congru à 1 modulo 4 et n un entier tel que |n| < p 2 et la classe n de n dans F∗ p soit d’ordre 4. Montrer que l’on peut définir un morphisme d’anneaux Z[i] → Fp qui envoie i sur n, et que son noyau est engendré comme Z-module par p et n − i. Montrer que si le noyau est engendré comme Z[i]-module par a + i b alors p = a^2 + b^2.
- Ce qui précède donne un algorithme pour écrire p comme somme de deux carrés : on prend (cf. ci-dessous) un élément d’ordre 4 dans F∗ p, et on calcule (comment ?) un générateur (sur Z[i]) du noyau de la question 1. Pour trouver un élément d’ordre 4 de F∗ p, il existe un moyen probabiliste efficace. Écrivons p−1 = 2r^ q avec q impair et r > 2. Montrer que pour tout x de F∗ p, x^2 r− (^2) q est d’ordre 4 si et seulement si x n’est pas un carré. En déduire la probabilité pour qu’un élément x de F∗ p pris au hasard vérifie que x^2 r− (^2) q est d’ordre 4.
- Appliquer cet algorithme à un «grand» nombre premier congru à 1 modulo 4, par exemple 1549 ou 12517.
Exercice 5 En considérant l’égalité
(1 + i
- (1 − i
montrer que Z
[
i
]
n’est pas un anneau factoriel. Montrer que dans Z
[
i
]
3 et 2 + i
5 n’ont pas de ppcm et que 9 et
3 (2 + i
- n’ont pas de pgcd (noter que chacun de ces deux résultats redé- montre la non factorialité de Z
[
i
]
Exercice 6 Montrer que dans un corps fini, tout élément est somme de deux carrés (si a est un élément d’un corps fini, compter le nombre d’éléments de ce corps de la forme x^2 , respectivement de la forme a − x^2 ).
Exercice 7 Trouver les générateurs du groupe multiplicatif de Fp pour
p = 2, 3 , 5 , 7 , 11 , 31 , 43 , 71.
Exercice 13 Peut-on compléter le vecteur (6, 15 , 20) en une base de Z^3? Si oui, calculer une telle base de Z^3. Soit M le sous Z-module de Z^2 engendré par (2, 4) et (4, 11). Calculer une base de Z^2 adaptée à M et les facteurs invariants de Z^2 /M. Trouver toutes les solutions entières du système d’équations diophanti- ennes linéaires suivant : { 2 x + 4 y + 3 z = 3 4 x + 5 y + 7 z = 2.
Exercice 14 On considère l’équation x^2 + y^2 = p z^2 où p est un nombre premier. Vérifier qu’elle possède une solution dans Q^3 si et seulement si elle en possède une dans Z^3. Montrer que si − 1 n’est pas un carré dans Fp elle n’admet pas de solution dans Z^3. Réciproque? Dans le cas où l’équation admet une solution, décrire toutes les solutions dans Q^3.
Exercice 15 Donner toutes les solutions dans Z^2 et Q^2 des équations suivantes :
x^2 + 2 y^2 = 6,
x^2 + y^2 = 11, x^2 + 2 y^2 = 11, x^2 + 2 y^2 = 7, x^2 − 6 y^2 = − 1.
On pensera à réduire les équations modulo un nombre premier. On pensera aussi à la paramétrisation rationnelle des coniques.
Exercice 16 Le but de cet exercice est de montrer que (3, 5) et (3, −5) sont les seules solutions dans Z^2 de l’équation
y^2 + 2 = x^3 (∗).
- Montrer que l’anneau Z
[
i
]
est euclidien (donc factoriel). On s’inspirera de la preuve du fait que Z[i] est euclidien.
- En déduire que si (x, y) ∈ Z^2 est une solution de (∗), il existe des entiers a et b vérifiant y + i
a + i b
- Conclure.
- Pouvez-vous donner un autre exemple d’équation diophantienne résol- vable par une méthode similaire?
Exercice 17 Le but de cet exercice est de montrer que l’anneau Z
[
1+i√ 19 2
]
est principal
mais non euclidien.
- On établit d’abord une condition nécessaire pour qu’un anneau soit euclidien. Montrer que si A est un anneau euclidien. il existe un élé- ment x de A non inversible tel que la restriction du morphisme naturel A → A/(x) à l’ensemble A∗^ ∪ { 0 } soit surjective (considérer un élément de stathme minimal). Exhiber un tel élément dans les cas A = Z, A = k[X], A = Z[i].
- Dans toute la suite de l’exercice, A désigne l’anneau Z
[
1+i √ 19 2
]
. Déter- miner le groupe des éléments inversibles de A (on utilisera la norme N : z 7 → z z).
- En remarquant que α = 1+i
√ 19 2 satisfait la relation^ α
(^2) − α + 5 = 0, déduire de ce qui précède que A n’est pas un anneau euclidien.
- Le but du reste de l’exercice est de montrer que A est principal. On considère à nouveau la norme N : z 7 → z z. Contrairement à ce qui se passe pour Z[i], N n’est pas un stathme euclidien pour A. Montrer cependant l’existence d’une pseudo division euclidienne sur A au sens suivant : si a ∈ A et b ∈ A \ { 0 }, il existe q, r ∈ A vérifiant les deux conditions suivantes : i. r = 0 ou N (r) < N (b) ii. a = b q + r ou 2 a = b q + r (s’inspirer de la preuve du fait que Z[i] est euclidien pour N ; on écrira a b =^ u^ +^ v α^ avec^ u^ et^ v^ rationnels ; si^ n^ est la partie entière de^ v, on distinguera les cas v ∈/
]
n + 13 , n + (^23)
[
et v ∈
]
n + 13 , n + (^23)
[
, en considérant 2 ab dans ce dernier cas).
Exercice 19 Le but de cet exercice est de donner une démonstration du théorème de Lagrange : tout entier naturel est somme de quatre carrés.
- Soit A un anneau. On note 1 , i, j, k la base canonique du A-module libre A^4. Admettre (ou démontrer... ) qu’il existe sur A^4 une loi de composition (que l’on notera multiplicativement) associative, distribu- tive par rapport à l’addition, admettant 1 pour élément neutre, et telle que
i^2 = j^2 = k^2 = − 1 , i j = −j i = k, j k = −k j = i, k i = −i k = j.
Cette loi munit A^4 d’une structure d’anneau non nécessairement com- mutatif. A^4 muni de cette structure est appelé anneau des quaternions sur A et noté H(A). Pour tout z = a + b i + c j + d k ∈ H(A) on définit le conjugué de z par z = a − b i − c j − d k. Vérifier qu’on a pour tout z, z′^ ∈ H(A) z + z′^ = z + z′, z z′^ = zz′^ et z = z.
- Pour z ∈ H(A), on définit la norme réduite de z, notée N (z), par N (z) = z z. Montrer que si z = a + b i + c j + d k ∈ H(A) on a N (z) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 et que pour tout z, z′^ ∈ H(A) on a N (z z′) = N (z) N (z′). Montrer que z est inversible dans H(A) si et seulement si N (z) est inversible dans A. En déduire que tout élément non nul de H(Q) est inversible.
- On définit l’ensemble H des quaternions de Hurwitz comme le sous- ensemble de H(Q) donné par
H =
a + b i + c j + d 2
, (a, b, c, d) ∈ Z^4 , a ≡ b ≡ c ≡ d [2]
Montrer que H est un sous-anneau (non commutatif) de H(Q) con- tenant H(Z). Montrer que tout idéal à gauche de H (respectivement à droite)(i.e. tout sous-groupe additif de H stable par multiplication à gauche (resp. à droite)) est de la forme H z (respectivement z H) pour un z ∈ H (s’inspirer de la preuve du fait que Z[i] est principal).
- Montrer que pour démontrer le théorème de Lagrange il suffit de mon- trer que tout nombre premier impair s’écrit comme somme de quatre carrés.
- Montrer que sur un corps fini 0 est somme de quatre carrés non tous nuls. En déduire que l’anneau des quaternions sur un corps de carac- téristique non nulle n’est jamais intègre.
- Soit p un nombre premier impair. Montrer que l’on peut munir le quotient H/H p d’une structure d’anneau (non commutatif) telle que l’application naturelle H → H/H p soit un morphisme d’anneaux. Montrer que muni de cette structure H/H p est isomorphe à H(Fp). En considérant un élément non nul de H(Fp) de norme réduite nulle, montrer qu’il existe un élément z de H tel que H z soit distinct de H et H p soit inclus dans H z. En déduire que p est somme de quatre carrés.
