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UFR Math´ematiques Universit´e Rennes 1
Licence 3
`eme ann´ee Ann´ee 2006/
Int´egration et probabilit´es - TD 6
Exercice 1.
Soit f la fonction d´efinie sur l’espace produit R
× [0, 1] par f (x, y) = 2e
− 2 xy − e
−xy .
- Montrer que f est B(R
) ⊗ B([0, 1])-mesurable.
- Calculer
[0,1]
R+
f (x, y) dx
dy et
R+
[0,1]
f (x, y) dy
dx. Conclure.
Exercice 2. ♣
Soit f : R → R
une fonction bor´elienne positive.
- Montrer que l’ensemble A f
(x, y) ∈ R
2 ; 0 ≤ y ≤ f (x)
est un bor´elien de R
2 et calculer λ 2 (A f
). On
pourra proc´eder en trois ´etapes (si f est une indicatrice... ).
- Mˆeme question pour le graphe de f d´efini par Gf = {(x, f (x)) ; x ∈ R}.
- En d´eduire que λ({x ∈ R ; f (x) = y}) = 0 λ(dy)-p.p.
Exercice 3.
Soit (R, A, μ) un espace probabilis´e (μ(R) = 1). Soit f et g deux fonctions positives de L
1 (μ) telles que
f g ∈ L
1 (μ) et f, g soient monotones dans le mˆeme sens. Montrer que
R
f g dμ ≥
R
f dμ
R
g dμ.
Exercice 4.
- Montrer que l’int´egrale I =
+∞
0
ln x
x
2 − 1
dx est bien d´efinie et qu’elle vaut encore I = − 2
1
0
ln x
1 − x
2
dx.
- Calculer de deux fa¸cons diff´erentes l’int´egrale
R
2
dx dy
(1 + y)(1 + x
2 y)
et en d´eduire la valeur de I.
- D´eduire de la question pr´ec´edente et d’un d´eveloppement en s´erie enti`ere de 1/(1 − x
2 ) les ´egalit´es
n≥ 0
(2n + 1)
2
π
2
, puis
n≥ 1
n
2
π
2
Exercice 5.
Soit (E, A, μ) un espace mesur´e. Soit f et g deux fonctions mesurables positives sur (E, A).
- Montrer que A = {(x, t) ∈ E × R
; f (x) ≥ t} ∈ A ⊗ B(R
- Montrer que
E
f dμ =
R+
μ({f ≥ t})λ(dt).
- En d´eduire que, pour tout p ≥ 1,
E
g
p dμ =
R+
pt
p− 1 μ({g ≥ t})λ(dt).
- Que dire de
E
ϕ ◦ f dμ si ϕ est une fonction croissante de classe C
1 sur R+ nulle en 0?
- En consid´erant l’application de E × R
× R
dans R
, F : (x, s, t) 7 → 1 [s,+∞[
(f (x)) 1 [t,+∞[
(g(x)), montrer
que ∫
E
f g dμ =
R
2
μ({f ≥ s} ∩ {g ≥ t})λ(ds)λ(dt).
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Exercice 6.
Soit f une fonction de R
2 dans R. Soit I un intervalle de R. Dans chacun des cas suivants, d´eterminer si f est
L.I. sur R
2 et calculer, si elles existent les int´egrales it´er´ees
I
I
f (x, y)λ(dx) λ(dy) et
I
I
f (x, y)λ(dy) λ(dx).
f (x, y) =
x
2 − y
2
(x
2
2 )
2
avec I = [0, 1] et f (x, y) =
− 1 si x > 0 et 0 < y − x ≤ 1 ,
2 si x > 0 et 1 < y − x ≤ 2 ,
− 1 si x > 0 et 2 < y − x ≤ 3 ,
0 sinon.
avec I = R.
Exercice 7.
Soit f et g les fonctions d´efinies sur R+ par
f (t) =
+∞
0
sin x
x
e
−tx dx et g(t) =
+∞
0
sin x
x
2
e
−tx dx.
- Montrer que f est continue sur R
∗
et g sur R
- Calculer f (t) pour tout t > 0 en partant de l’´egalit´e
sin x
x
1
0
cos(xy) dy.
- Calculer g(t) pour tout t > 0 en partant de l’´egalit´e
sin x
x
2
1
0
sin(2xy)
x
dy.
- En d´eduire la valeur de g(0).
Exercice 8. ♣ Une formule d’int´egration par parties g´en´eralis´ee
- Soit μ et ν des mesures finies sur B(R). On d´esigne par F et G leurs fonctions de r´epartition respectives ;
c’est-`a-dire que
∀x ∈ R, F (x) = μ(] − ∞, x]) et G(x) = ν(] − ∞, x]).
Pour des r´eels fix´es a et b, avec a < b, on d´efinit A =
(x, y) ∈ R
2 ; a < y ≤ x ≤ b
. En calculant de deux
fa¸cons diff´erentes μ ⊗ ν(A), montrer que
]a,b]
F (t
− ) ν(dt) +
]a,b]
G(t) μ(dt) = F (b)G(b) − F (a)G(a).
- Soit f et g sont des fonctions positives, λ-int´egrables sur R et
∀x ∈ R, F (x) =
x
−∞
f dλ, et G(x) =
x
−∞
g dλ.
Montrer que F et G sont les fonctions de r´epartition de deux mesures finies sur B(R). En d´eduire que
∀a, b ∈ R, a < b,
[a,b]
F (x)g(x) λ(dx) +
[a,b]
f (x)G(x) λ(dx) = F (b)G(b) − F (a)G(a).
Exercice 9. Un tout petit peu de convolution
Soit f et g deux fonctions de L
1
R
(λ). On d´efinit la fonction convol´ee de f et g not´ee f ∗ g sur R par
∀x ∈ R, (f ∗ g)(x) =
R
f (x − t)g(t) dt.
- Montrer que f ∗ g est bien d´efinie et que f ∗ g = g ∗ f.
- Montrer que si f et g sont positives et d’int´egrale 1 (pour λ), il en est de mˆeme pour f ∗ g.
- Montrer que
f ∗ g =
f ˆg.
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