Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Togo juin 1969 \
EXER CIC E 1
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé xOyon considère les points Md’af-
fixe i, P d’affixe 1 et Q d’affixe 2 +i.
Déterminer, sous la forme Z=az +b, la similitude Sdans laquelle le vecteur −−−→
MO a
pour transformé le vecteur −−→
PQ .
Calculer l’affixe du centre de la similitude, le rapport et l’angle de similitude.
EXER CIC E 2
Dans un plan on donne un cercle (C), de centre O, un point A intérieur à (C) et la
polaire (∆) de A par rapport à (C).
D’un point Mvariable sur (∆) on mène les tangentes M T et MT ′au cercle (C), Tet
T′étant les points de contact.
Transformer la figure par l’inversion de pôle A qui conserve le cercle (C).
(t) et (t′) étant les inverses des droites MT et M T ′, trouver l’ensemble des points
communs à (t) et (t′) lorsque Mdécr it (∆).
EXER CIC E 3
Soit, dans un repère orthonormé xOy, la parabole (P) d’équation
(1) y2=2x
et, sur cette parabole, un point variable, M, d’ordonnée λ(λ6= 0).
1. Exprimer en fonction de λl’abscisse de Met le rapport dx
dyau point M.
Déterminer en fonction de λles équations de la tangente M T en Mà (P), de la
normale MN et de la droite (∆λ)symétrique de MN par rapport à la parallèle
à Oymenée par M.
Net Qétant respectivement les intersections de MN et (∆λ)avec Ox, calculer
QN.
En déduire que (∆λ)est la transformée de MN dans une transformation pro-
duit d’une symétrie et d’une translation, toutes deux indépendantes du choix
de Msur (P).
Pour quelles valeurs de λles droites MT et (∆λ)sont-elles confondues ? Soit
M1et M2les points correspondants.
2. Montrer que les droites (∆λ)passant par un point L0¡x0;y0¢donné sont dé-
terminées par une équation en λde la forme
(2) λ3+pλ+q=0.
Écrire la relation entre x0et y0exprimant que l’équation (2) admet une ra-
cine double (on pourra établir ou admettre que cette relation est donnée par
4p3+27q2=0¢.
3. Soit le vecteur −−→
OL, de composantes 3
X=3
2λ2−1, Y=λ2
