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Exercices d’entrée dans les Universités belges
Jacques Collot
Intégration
- EXANA020 - Exemples. 1
- EXANA021 – Mons, questions-types 2000-2001. 1
- EXANA022 – Mons, questions-types 2000-2001. 1
- EXANA023 – Mons, questions-types 2000-2001 2
- EXANA024 – Mons, questions-types 2000-2001 2
- EXANA025 – Compléments 2
- EXANA026 – Compléments 4
- EXANA028 – Mons, questions-types 2000-2001. 4 1. EXANA020 - Exemples
A. Calculer
x F x x e dx
B. Calculer
ax F x x e dx
Correction
A. : ' : 1 ; ' : :
x x x x x x x f x f g e g e x e dx x e e dx x e e
donc 1
x F x e x .
B.
ax x x ax e x e^ ax x e ax f x f g e g F x e dx e a a a a a
donc 1
ax e F x a x a
2. EXANA021 – Mons, questions-types 2000-
Calculer F (^) x (^) ln ³ x dx
Correction
3 ln ² 3 ln ² : ln ³ ' : ; ' : 1 : ln ³ ln ³ 3 ln ²
x x f x f g g x F x x x x dx x x x dx x x
; on recommence :
2ln : ln ² ' : ; ' : 1 : ln ³ 3 ln ² 6 ln
x f x f g g x F x x x x x x dx x
; encore une fois :
f : ln x f ' : ; g ' : 1 g : x F x x ln ³ x 3 x ln ² x 6 x ln x 6 dx x
et finalement
F x x ln ³ x 3 x ln ² x 6 x ln x 6 x.
3. EXANA022 – Mons, questions-types 2000-
Calculer
6
4 1
x F x dx x
Correction
6 2 2 2 4 4 2
x x F x dx x dx dx x dx dx dx dx x x x x^ x
d’où
arctan ln 3 2 4 1
x F x x x x
4. EXANA023 – Mons, questions-types 2000-
Calculer F (^) x (^) cos ² x dx
Correction
: cos ' : sin ; ' : cos : sin
cos ² cos^ sin^ sin ² cos^ sin^1 cos ² cos^ sin cos ²
f x f x g x g x
F x x dx x^ x^ x dx x^ x^ x dx x^ x x x dx
donc
cos sin sin 2 2 2 4
F x x x x x x.
5. EXANA024 – Mons, questions-types 2000-
Calculer
F x dx
x x
Correction
dx dx C x x x x
dx dx x x x
; on pose y = x +1 :
2 2
arct an arct an. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- : ² 2 admet deux racines réelles : 1 1.
y d dy y x F x C
y y
x x x
a a b a b
x x (^) x x a b b
^
^
ln 1 1 ln 1 1 ln. 2 1 2 1 2 1 1 1
x F x x x C x
6. EXANA025 – Compléments
A. Calculer
1 sin
F x dx x
B. Calculer
sin
F x dx a b x
Correction
A.
2
2
cos (^1 )
1 sin 1 2sin cos sin 2 2 1 2 2
cos cos 2 2
x
dx F x dx dx x x^ x^ x
x x
On obtient un arc tangente : 2
arc t an ² ² (^) ² ² ² ² 1 ² ²
ay b d a a b (^) a b ay b F x a a b a (^) ay b a b a b
a b
d’où
t an (^2 ) arc t an ² ² ² ²
x a b
F x C a b a b
7. EXANA026 – Compléments
Calculer
cos
F x dx a b x
Correction
2
2
2
cos t an (^1 ) dx 2. cos cos ² sin ² t an ² t an 2 2 2 2 cos 2
x x d dx F x dx a b x x^ x^ a^ x^ x a b b b b a b a b x
Changement de variable :
2
tan 2 2
x d y y F x a b y a b
Premier cas b ² a ²: le dénominateur a deux racines réelles :
2 a^ b a b y a b y t b a
on décompose en fractions rationnelles :
2
a b y a b a^ b^ y^ t^ y^ t^^2 t^^2 t
^ ^
Donc
ln 1 ln
a b dy dy y t y F y (^) b a t a b y t y t t a b y t a b a b a b y b a b a
, soit
1 t an 2 ln ² ²
t an 2
x a b
F x (^) b a C b a x a b
b a
Deuxième cas : b ² a ²,
2
dy (^) t d ty F y a b a^ b a b ty y a b
d’où
² ² t an (^2 ) arc t an ² ²
x a b
F x C a b a^ b
8. EXANA028 – Mons, questions-types 2000-
- Calculer l’aire S comprise entre l’aire x et la courbe y = sin x pour des valeurs de x comprises entre 0 et
- Déterminer le volume Vx obtenu en faisant tourner cette partie du plan autour de l’axe x.
- Déterminer le volume Vy obtenu en faisant tourner cette partie autour de l’axe y.
Correction
0 0
F x sin x dx cos x 2
- sin ² x V x dx
, iPP : f sin x f ' cos x ; g ' sin x g cos x.
sin ² sin cos cos ² sin cos sin ² sin cos 2
I x dx x x x dx x x x x dx I x x x
soit
0
sin cos 2 2
x V x x x
- Il faut permuter les axes Ox et
Oy : on travaille donc avec les fonctions réciproqies. Pour obtenir Vy , on calcule le volume engendré par
arccos 2
x
diminué du volume engendré par arcsin x.
2
sin , cos
arc sin : 0 0, 1
x t dx t dt
A x dx x t x t
^ ^
0
0 0
0 0 0
² cos : ' cos sin
² sin 2 sin : ' sin cos
2 cos 2 cos 2 sin 2.
f t f t A t t dt g t g t
f t f A t t t t dt g t g t
A t t t dt t
^ ^ ^
^ ^
^
Volume engendré pararccos 2
x
(^2 ) (^2 ) arc cos arc cos arc cos 2 2
B x dx x dx x dx dx
Calculons le premier terme (changement de variable puis deux IPP) :
arccos x + /
arcsin x
arccos x
d’où d ab. La solution positive est seule acceptable ; c’est un maximum car
d ab ' (^) d (^) 0 ; d ab ' (^) d 0.
