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Classes de 1°S
Exercices Fonctions
- Généralités
1-1 : Un peu de cours
1-2 : Trucs de base
1-3 : Composée de fonctions
1-4 : Période
1-5 : Représentation et tangentes 1
1-6 : Représentation et tangentes 2
1-7 : Représentation et tangentes 3
1-8 : Représentation et tangentes 4
1-9 : Tableau de variations
1-10 : Parabole
1-11 : Equation (c)
1-12 : Tangente (c)
1-13 : Chercher une aire
1-14 : Dérivabilité
1-15 : Approximation affine
1-16 : Fonction inconnue
1-17 : Etude sans limites
1-18 : La méthode d’Euler
1-19 : Quelques résolutions avec utilisation de la
méthode d’Euler
1-20 : Tableau de variations
- Polynômes
2-21 : Second degré 1
2-22 : 3ème^ degré 1
2-23 : 3ème^ degré 2
2-24 : 3 ème degré 3
- Fonctions rationnelles
3-25 : Hyperbole
3-26 : Rationnelle 1
3-27 : Rationnelle 2
3-28 : Rationnelle 3
3-29 : Rationnelle 4
3-30 : Rationnelle 5
3-31 : Rationnelle 6
3-32 : Rationnelle 7
3-33 : Rationnelle 8
3-34 : Rationnelle 9
3-35 : Rationnelle 10 : somme et différence
d’inverses
3-36 : Rationnelle 11 avec suite
3-37 : Rationnelle 12 : coeff. indéterminés
3-38 : Rationnelle 13 : asymptote
3-39 : Rationnelle 14 : avec fonction auxilliaire
3-40 : Rationnelle 15 : problème long
3-41 : Révision (facile)
3-42 : Irrationnelle 1
3-43 : Irrationnelle 2
- Trigonométrie
4-44 : Cours
4-45 : Cosinus
4-46 : trigo+courbe
4-47 : trigo
4-48 : L’échelle dans le couloir
- Optimisation et modélisation
5-49 : Boite 1
5-50 : Boite 2
5-51 : Aire dans un carré
5-52 : Plaque découpée
5-53 : Le cube et le parallélépipède inscrit
5-54 : Clotûre
5-55 : Cône
5-56 : Cône de révolution
5-57 : Jouet en bois
5-58 : Courbes de Bézier
1. Généralités
1-1 : Un peu de cours
Exercice 1 : Restitution organisée des connaissances (ROC)
Partie A : Cours
- Démontrer que si f et g sont deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I .alors la
fonction f g est strictement décroissante sur I.
- Soit un réel strictement positif et f une fonction strictement décroissante sur I. Montrer que la
fonction f a le même sens de variation que f.
- Soit f une fonction strictement décroissante sur I et qui prend ses valeurs f (^) x dans J et g une
fonction strictement croissante sur J. Montrer que la fonction g f est strictement décroissante sur I.
- On suppose, dans cette question , que f est impaire.
Démontrer que si f est strictement décroissante sur (^) 0 ; alors f est strictement décroissante sur
; 0^.
Partie B : Applications :
- Déterminer le sens de variation de la fonction f définie sur (^) 0 ; par
f x 2 x x
- Soit g la fonction définie sur par g (^) x (^) sin 2 x.
- a. Montrer que g est π périodique. Sur quel intervalle suffit-il d’étudier la fonction g?
b. Étudier la parité de g. Sur quel intervalle suffit-il d’étudier la fonction g?
c. Montrer que g est la composée de deux fonctions de référence que l'on précisera.
d. Déterminer le sens de variation g sur 0 ;
2
e. Dresser son tableau de variation sur une période.
f. Donner une ébauche de la représentation de g sur une période.
Exercice 2
Soit f et g les fonctions définies par
2 f x x 4 et g (^) x (^) x.
- Déterminer l’ensemble de définition de la fonction g f.
- Exprimer g f (^) x en fonction de x pour tout réel x de g f
D.
1-2 : Trucs de base
- Montrer que la droite x = – 2 est axe de symétrie de la fonction
2
2
x x f x x x
. Préciser
l'ensemble de définition de f.
- Mêmes questions avec
2 2 7 5 ( ) 2 1
x x f x x
et le centre de symérie
S
- Quelle est la période de f ( x )=cos(2 x )sin(3 x )?
- Déterminer l'ensemble de définition et la parité de f x ( ) x 1 x 1.
- Même question avec
2
2 2
x f x
x x
- Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
a.
5 3 f x ( ) 4 x 6 x 2 x 1 b.
2 g x ( ) 1 x c. 2
x h x x
d.
2 2
k x x x x
e.
2
2
x f x x
f.
2 g x ( ) x 1 x
g.
2 2
4
x x h x x
h.
k x x x
- Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et préciser leur sens de variation :
a.
5 3 f x ( ) 4 x 6 x 2 x 1 b.
2 g x ( ) 1 x c. 2
x h x x
d. 2
k x x x
- Déterminer l’ensemble D de définition, calculer la fonction dérivée, déterminer le signe de la fonction
dérivée et dresser le tableau de variations de chacune des fonctions :
a.
f x x x b.
4 3 3 4 3 ( ) 2
x x f x
c.
x f x x
- Donner les valeurs de f’ (−2) et f’ (1,5).
- Résoudre graphiquement les équations suivantes :
a. f x ( ) 0.
b. f ( ) x 0.
- Résoudre graphiquement les inéquations suivantes :
a. f x ( ) 0 ;
b. f ( )^ x 0.
1-6 : Représentation et tangentes 2
La courbe ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur [0 ; [ dans le repère ( O ; i , j ).
On note f ’ la fonction dérivée de f.
La droite TA est tangente à la courbe de f au point A d'abscisse 0.
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1.
O (^1)
1
A
TA
- A partir des informations portées sur le graphique et complétées par les précisions précédentes,
compléter le tableau ci-dessous :
- Donner l’équation de la tangente au point A et de la tangente au point d’abscisse 1.
x 0 1
f ( x )
f ’( x )
1-7 : Représentation et tangentes 3
Soit h la fonction définie sur par
3 2 (^) h x x 6 x 7 et (^) Ch sa courbe représentative.
Déterminer les abscisses des points de Ch où la tangente :
- admet 8 pour coefficient directeur.
- est parallèle à la droite d'équation y 9 x 3.
- est parallèle à l’axe des abscisses.
A
B 1
B 2
C 1
C 2
C
-2 -1 2 3 4 5 6
10
15
20
25
30
0 1
5
x
y
A
B 1
B 2
C 1
C 2
1-8 : Représentation et tangentes 4
La courbe C ci-dessous donne la représentation graphique de f dans un repère orthonormé, avec les
tangentes en D et H représentées par une flèche double.
- La dérivée g 'peut s’annuler en 10 V^ F
g C admet au moins deux tangentes horizontales V^ F
1-10 : Parabole
Soit les points A (1 ; – 4), B(–2 ; 2) et C(–3 ; 8). Déterminer les réels a , b et c pour que la parabole
d'équation y = ax
- bx + c passe par ces trois points.
1-11 : Equation (c)
Montrez à l’aide de votre calculatrice que l'équation 3
x
x
admet une solution unique sur
l'intervalle
. Donner une valeur approchée de à 10−3^ près. Toute explication valable sera
acceptée même si la rédaction est moche.
1-12 : Tangente (c)
Déterminer la tangente à la courbe (C) d'équation y = f ( x ) = – x 4
- 2 x 2
- x au point A(–1, 0).
Montrer que cette droite est aussi tangente à (C) en un autre point que l'on précisera.
Toute explication valable sera acceptée même si la rédaction est vilaine.
1-13 : Chercher une aire
Le but de l’exercice est d’établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et
primitive. On prendra comme prérequis la définition suivante :
H est une primitive de h sur un intervalle I si et seulement si H est dérivable sur I et si pour tout x
de I on a H ’( x ) = h ( x ).
Soit f la fonction définie sur par 2
t f t
t
- Expliquer pourquoi f est définie sur [0 ; [.
- Montrer que f est croissante sur [0 ; [.
La fonction f est représentée ci-dessous.
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
x
y
Pour 0 , on note A ( ) l’aire de la portion de plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe
représentative de f et la droite d’équation x .
- Soit x 0 un réel strictement positif.
a. Soit h un réel strictement positif. En utilisant des rectangle convenablement choisis, établir
l’encadrement
0 0 0 0
2 2 0 0
x A x h A x x h
h x x h
b. Quel encadrement peut-on obtenir de la même manière pour x 0 (^) h 0?
c. Démontrer que la fonction A est dérivable en x 0. Quel est le nombre dérivé de A en x 0?
- Quel lien a-t-on établi entre les fonctions A et f sur ]0 ; [?
1-14 : Dérivabilité
Soit la fonction f définie sur 1 ; par f x x x 1. En revenant à la définition du nombre
dérivé, montrer que f est dérivable en 0. Préciser f ' 0 .
b. A l’aide des formules de dérivation, vérifier que f est dérivable sur 1 ; et exprimer f ' x
pour x 1. Préciser alors l’ensemble des réels x pour lesquels f est dérivable.
1-15 : Approximation affine
f est la fonction 2
x x
. Montrer que l’approximation affine locale de
2
2 h
au voisinage de 0 est
égale à
h .
b. En déduire des approximations des nombres suivants :
2
et
2
- On s’intéresse à la résolution de l’équation différentielle y ' ky où k est un réel quelconque. En
revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que y x ( h ) (1 hk y x ) ( ) h ( ) h avec
0
lim ( ) 0 h
h.
2. On définit les suites ( xn ) et ( yn ) par
0
x ,
0 y ,
n 1 n
x x h et
1
n n y hk y h h. Donner
l’expression de xn en fonction de , h et n. En considérant que h ( ) h est négligeable donner une
expression de yn en fonction de , h , k et n.
3. On prend = 0 et = 1.
a. Construire une feuille de calcul permettant de calculer les valeurs successives de xn et yn. Tracer les
représentations graphiques C n ( xn , yn ) obtenues dans les cas suivants avec un pas h = 0,02 :
k = −2 ; k = −0,5 ; k = 0 ; k = 0,5 ; k = 1 ; k = 2.
b. Toujours avec = 0 et = 1, justifier que quand k > 0 la fonction y est croissante, quand k = 0 la
fonction y est constante et quand k < 0 la fonction y est décroissante.
c. En modifiant les valeurs de et dans la feuille de calcul déterminer les changements apportés par
ces différentes valeurs aux courbes C n.
1-19 : Quelques résolutions avec utilisation de la méthode d’Euler
- y ' ky k '
On considère l’équation différentielle : (A) y ' 10 y 6 où y désigne une fonction de la variable t ,
dérivable sur.
a. En utilisant la méthode d’Euler avec y (0) = 0 et un pas h = 0,01 tracer la courbe solution sur [0 ; 5].
b. Trouver K constante réelle telle que f ( t ) = K soit solution de(A).
c. On pose y = u + K ; montrer que y est solution de (A) si et seulement si u est solution de (B) :
y ’ = −10 y.
d. Déterminer les solutions de (B), en déduire les solutions de (A).
e. En utilisant la même méthode qu’au III. 4. b montrer que les solutions trouvées sont les seules
possibles.
f. Déterminer la solution de (A) telle que f (0) = 0.
Tracez cette solution sur la même figure qu’à la question IV. 1. a. Représentez également l’écart entre la
solution obtenue avec Euler et la solution exacte. Interprétez.
- On lache un objet d’une hauteur quelconque dont l’équation du mouvement est connue classiquement
(chute des corps : mx mg ) ; si on tient compte de la résistance de l’air on doit faire intervenir un
facteur proportionnel au carré de la vitesse (ce résultat est expérimental) : l’équation du mouvement est
alors
dv 2 m mg kv dt
où k est un paramètre dépendant du fluide concerné et de la géométrie de l’objet.
Appliquer la méthode d’Euler pour obtenir une représentation de v : on prendra m = 10, k = 1, g = 10,
v (0) 0 puis v (0) 5 et on comparera ce qui se passe au nombre
mg K k
. Dans une deuxième colonne
de votre tableau, réutilisez la méthode d’Euler pour obtenir x ( t ) (on rappelle que v t ( ) x '( ) t ).
Le lecteur intéressé pourra charger d’autres fichiers sur Promenades Mathématiques (ch. Equations
différentielles) : http://promenadesmaths.free.fr/
1-20 : Tableau de variations
2. Polynômes
2-21 : Second degré 1
P est la parabole d’équation
2 y ax bx c dans un repère orthonormé d’unité 1 cm.
- Déterminer les réels a , b et c sachant que cette parabole passe par les points A ( 1 ; 0) ,
B et
C (3 ; 4).
- Déterminer l’intersection de la parabole avec chacun des axes du repère.
- Donner le tableau de variations de la fonction trouvée et construire la parabole P.
- Résoudre dans l’inéquation :
x x x .
- Construire la droite D d’équation y x 2 dans le même repère que la parabole et vérifier
graphiquement le résultat précédent.
ème degré 1
On considère une fonction f définie et dérivable sur I = [0 ; 14]. Sa représentation graphique est la
courbe ci-dessous. La tangente au point A est la droite (D) = (AB).
- a. Lire les valeurs de f (4), f (7) et f (13).
b. Quels sont les réels x tels que f ( x ) = 0?
c. Donner l’ensemble des réels x tels que 0 fx ) 4.
- a. Que valent f’ (4) et f’ (10)? (Justifier)
b. Donner une équation de la droite (D). Quel nombre dérivé peut-on en déduire?
c. Dresser le tableau de variations de f sur I.
- On sait que f est de la forme
f x x ax bx c.
a. Déterminer f’(x) en fonction de a et b.
b. Utiliser la question 2.a. pour en déduire les valeurs de a et b.
Utiliser alors une des réponses du 1.a. ou 1.b. pour en déduire c. Donner alors l’expression de f ( x ).
- Déterminer par le calcul l’équation de la tangente à la courbe P au point d’abscisse 3.
- Déterminer, par le calcul, en quel(s) point(s) de C f la tangente est parallèle à la droite D d’équation
y x.
- Calculer f ’(1,5) et g ’(1,5) et interpréter graphiquement ce résultat.
- Déterminer par le calcul en quelles valeurs de x , la tangente à C f est parallèle à la tangente à P. 3. Fonctions rationnelles
3-25 : Hyperbole
Soit f la fonction définie sur – {2} par
x f x x
et soit C f sa courbe représentative dans un repère
( O ; i , j )^.
- Etudier les variations de f.
- a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C f au point A d’abscisse 1.
b. Etudier le signe de f x ( ) ( x 2). Interpréter graphiquement le résultat.
- Existe-t-il des points en lesquels la tangente à C f est parallèle à la droite d’équation y x 2? Si oui,
préciser leurs coordonnées.
3-26 : Rationnelle 1
Déterminer l'ensemble de définition, la dérivée, le signe de la dérivée et le tableau de variations de
3
2
x f x x
3-27 : Rationnelle 2
Soit
3
2
x f x x
. C sa courbe représentative
a. Trouver a , b , c , d tels que 2
cx d f x ax b x
pour tout x réel non nul.
b. Etudier les variations de f : dérivée, signe de la dérivée, limites, tableau.
c. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse
d. Peut-on trouver un point de C où la tangente à C soit parallèle à la droite ( y=−x )? Si oui, préciser
l’équation de cette tangente T’.
e. Montrer que C a une asymptote oblique D. préciser leurs positions respectives, tracer T’ si elle existe,
T, D et C.
f. Justifier l'existence d'une solution unique de l'équation f(x) = 1. En donner une valeur approchée à
0,01 près.
3-28 : Rationnelle 3
Soit
2 4 8 7 ( ) 1 2
x x f x x
a. Déterminer son ensemble de définition, trouver a , b , c réels tels que 1 2
c f x ax b x
b. Montrer que le point
est centre de symétrie de la courbe (C) de f.
c. Déterminer suivant les valeurs de x la position de (C) par rapport à la droite (D) y 2 x 3
d. Tracer dans un repère orthonormé la droite (D) et la courbe (C). (on placera particulièrement les
points A et B de (C) d'abcisses respectives −1/2 et 3/2 ).
e. Déterminer graphiquement puis algébriquement le signe de f.
3-29 : Rationnelle 4
On considère la fonction f définie sur {−2 , 2} par
3
2
x x f x x
a. Trouver deux nombres a et b tels que 2
b f x ax x
b. Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
c. Montrer que la courbe (C) de f a une asymptote oblique (D) et préciser la position de (C) par rapport à
(D).
3-30 : Rationnelle 5
On considère les fonctions numériques f et g définies par :
( ) et ( ) 2 1 3
f x x x g x x x x
- Montrer que pour tout x 0 , les nombres f'(x) et g(x) ont le même signe.
- Etudier les variations de g sur. En déduire que l'équation g ( x )=0 admet dans une solution
unique a , avec 0< a <1 (on ne cherchera pas à calculer a ). Préciser le signe de g suivant les valeurs de x.
- Dresser le tableau des variations de la fonction f. On désigne par (C) la courbe représentative de f
dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de (C) d'abcisse −1 et par J le point de (C)
d'abcisse +1.
a. Vérifier que la droite (IJ) est tangente en J à (C).
b. Déterminer une équation de la tangente (T) en I à (C).
c. Etudier la position de (C) par rapport à (T).
- Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C) (on prendra 2/3 comme valeur
approchée de a ).
3-31 : Rationnelle 6
Soit la fonction f , définie sur {–1, +1} par
3 2
2
x x f x x
et C sa courbe représentative dans le plan
muni d’un repère orthonormal (^) O ; i , j (unité : 2 cm)
Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire.
Soit g définie sur par
3 g x ( ) x 3 x 4.
- Etudier les variations de la fonction g , et calculer ses limites en + et -.
2. Montrer qu’il existe un réel unique tel que g ( ) 0. Déterminer une valeur approchée de à 10−
près.
- Etudier le signe de g sur.
Partie B : Etude de la fonction f.
- Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.
- Montrer que pour tout x de {−1, +1}, 2 2
xg x f x x
. En déduire le tableau de variation de f.
- Montrer que pour tout x de {−1, +1}, 2
x f x x x
. En déduire que C admet une asymptote
oblique D à l’infini. Etudier la position de C par rapport à D.
- Déterminer les abscisses des points de C où la tangente est parallèle à la droite d’équation y x 2
3-36 : Rationnelle 11 avec suite
Soit f la fonction définie sur par
2
x f x x
et C sa courbe représentative dans un repère
orthonormé : unité graphique : 1 cm.
- a. Calculer f ( ) x.
b. Etudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.
- Tracer C.
- Soit D la droite d’équation
y x et T la tangente à C au point A d’abscisse 4.
a. Déterminer l’équation de T.
b. Montrer que le point A appartient à C et D.
c. Montrer alors que D et T sont perpendiculaires.
d. Tracer dans le repère précédent D et T.
- Soit ( un ) la suite définie par
0
1
n n
u
u f u
^
- Calculer u 1 , u 2 et u 3.
- La suite ( un ) est-elle monotone?
3-37 : Rationnelle 12 : coeff. indéterminés
On considère la fonction f définie sur \ 2 ;1par
2 2
ax b f x x x
- Sachant que −3 est un extremum de f atteint en 0, déterminer les réels a et b.
2. On suppose que
2
x f x x x
. Vérifier que
2
2 2
x x f x
x x
et en déduire son signe.
- Dresser le tableau de variation de f en précisant la nature des extremums locaux.
3-38 : Rationnelle 13 : asymptote
Soit h la fonction définie sur \ 0 ; 2 par
3 2
2
x x x h x x x
1. Montrer que la droite D d'équation y 2 x 3 est asymptote à
h
C.
- Étudier la position relative de h C et de D en précisant les coordonnées du point d'intersection.
3-39 : Rationnelle 14 : avec fonction auxilliaire
Partie A : étude d’une fonction auxiliaire
Soit f la fonction définie sur par
3 2 f x 2 x 3 x 1
- Déterminer la limite de f en et en .
- Dresser le tableau de variation de f sur.
3. a. En déduire que l'équation f x 0 admet une unique solution que l'on note dans.
b. Vérifier que 1 ; 2.
c. Donner un encadrement de d'amplitude 0,1.
- Déterminer le signe de f sur.
Partie B : On considère la fonction g définie sur l’intervalle 1 ; par
3
x g x x
- Déterminer la limite de g en 1 et en .
2. Justifier que g est dérivable sur 1 ; et vérifier que
2 3 1
'
f x g x
x
- Dresser alors le tableau de variation de g.
3-40 : Rationnelle 15 : problème long
Sur la feuille annexe, on a représenté la courbe (C) de la fonction f définie sur 0 ; par
f x 1 x
dans un repère orthonormal ( O ; i , j ).
Partie A : Étude de la fonction f
- Déterminer la limite de f en 0 et en . Préciser les équations des asymptotes à (C).
- Déterminer le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation complet.
- Placer, sur la feuille annexe, les points A et B de C d’abscisses respectives 1 et 3, puis déterminer
une équation de la droite AB .
- Soit M un point quelconque de (C) d’abscisse x. La parallèle à l’axe des ordonnées et passant par
M coupe la droite AB en un point N. On note alors P le milieu de M N .
Déterminer les coordonnées de M et vérifier que N x ; x 3 et
2 3 2 ; 2
x x P x x
Partie B : Le but de cette partie est d’étudier l’ensemble des points P lorsque le point M décrit la
courbe (C).
On pose alors g la fonction définie sur 0 ; par
2 3 2
x x g x x
et sa représentation
graphique.
- a. Déterminer la limite de g en 0 et en .
b. En déduire que admet une asymptote dont on précisera une équation.
c. Démontrer que la droite D d’équation
y x est une asymptote à .
2. Calculer g ' x puis établir le tableau de variation de g.
- Étudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la courbe .
- Tracer en vert et es asymptotes avec soin sur la feuille annexe.
- Etudier les variations de g sur.
- Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C g avec l’axe des abscisses.
- Déterminer l’équation de la tangente à C g parallèle à la droite D.
Intersection
- Déterminer les abscisses des points d’intersection de C f et C g.
- Etudier suivant les valeurs de x , la position de C f par rapport à C g.
3-42 : Irrationnelle 1
Soit
x f x x x
- Quel est son ensemble de définition?
- Montrez que la dérivée de f est
2
2
x x f x x x x
- Déterminez son sens de variation.
3-43 : Irrationnelle 2
Soit f la fonction numérique définie par : f x ( ) x 1 x.
- a. Déterminer l’ensemble de définition de f.
b. Etudier la dérivabilité de f en 1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu.
c. Montrer que f est dérivable sur (^) ; 1et que
x f x x
pour tout x 1.
d. Dresser le tableau de variation de f.
e. Représenter graphiquement la fonction f.
- a. Montrer que l’équation
f x admet une seule solution 1 x dans (^) ; 0et que 1
x.
b. Montrer que l’équation
f x admet exactement deux solutions 2 x et 3 x dans (^) 0 ; 1 et que
2 3
x x. Donner une valeur décimale approchée à
3 10 près de 1 x.
- a. On pose
u x. Montrer que l’équation (E) :
x x est équivalente à (E’) :
3 8 u 6 u 1 0.
b. Pour i = 1, 2, 3, on pose
i i
u x. Montrer qu’il existe un unique réel
i
de [0 ; ] tel que
cos
i i u.
c. Prouver que
3
cos3 4cos 3cos pour tout réel.
(On rappelle que cos( a + b ) = cos a .cos b – sin a. sin b et sin 2 a = 2sin a. cos a )
d. Déduire des questions précédentes que (E’) est équivalente à l’équation
cos 3 2
. Résoudre cette
équation dans [0 ; ] et en déduire les valeurs exactes de x 1 , x 2 et x 3.
4. Trigonométrie
4-44 : Cours
Démontrer que 0
sin lim 1 x
x
x
. Déduisez-en la dérivée de la fonction sinus.
4-45 : Cosinus
f est la fonction définie sur [0 ; ]par
( ) 1 cos 2
f x x x. C sa courbe représentative dans un repère
orthonormal ( O ; i , j )(unité graphique : 2 cm).
- Etudiez les variations de f.
- Déterminez une équation de la tangente T 1 à C au point d’abscisse 0 et une équation de la tangente T 2
à C au point d’abscisse .
- Tracez les droites T 1 et T 2 ainsi que C.
4. Démontrez que l’équation f x ( ) 0 admet une seule solution x 0 dans [0 ; ]. Montrez que
1,7 x 0 1,8. Déduisez-en le signe de f.
4-46 : trigo+courbe
a. Montrez que sin3 a = 3sin a − 4sin^3 a.
b. Soit la fonction
f x x x .
Etudiez f sur et tracez sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité 4 cm).
c. Calculez f (−1) et f (+1). Trouvez graphiquement le nombre de solutions de l'équation f ( x ) = 0 dans
l'intervalle [−1 ; +1] ; donnez en une valeur approchée.
d. Déduisez de ce qui précède le nombre de solutions de l'équation
sin 3 2
a sur [0 ; 2 ]. Aurait-on pu
utiliser une autre méthode?
4-47 : trigo
Etudier et représenter graphiquement la fonction f ( x ) =x + sin^2 x sur l'intervalle [−2 ; 2 ].
4-48 : L’échelle dans le couloir
Soit f la fonction définie sur 0 ;
2
par
sin cos
f x x x
- Résoudre sur cet intervalle l’inéquation sin x cos x.
- a. Calculer f ’( x ) et montrer que f ’( x ) a même signe que
3 3 sin x cos x.
b. Montrez que la fonction
3 g : x x est croissante sur. En
déduire le signe de f ’.
- Dresser le tableau de variation de f et préciser ses limites en 0
et
2
- On veut déplacer une échelle dans un couloir de 1 m de large en lui faisant tourner un coin à angle
droit. Quelle est la longueur maximale de l’échelle? On pourra noter x l’angle entre l’échelle et le mur.
Que se passe-t-il (physiquement parlant) si l’échelle est plus longue que cette longueur maximale?
Correction
- On lit sur le cercle trigonométrique que sin x cos x lorsque
4
x
(sur cet intervalle).
- a.
3 3 3 3
2 2 2 2
(cos ) ( sin ) (cos ) (sin ) (^) sin cos '( ) (sin ) (cos ) (sin cos ) (sin cos )
x x x x (^) x x f x x x x x x x
qui a bien le même signe que
3 3 sin x cos x.
b.
3 g : x x a pour dérivée
2 3 x qui est positive donc g est croissante. Lorsque sin x cos x , on a donc
3 3 sin x cos x , par conséquent f ’ est positive lorsque 4
x
, négative sinon.
1 m
1 m
x
