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[ Baccalauréat S Sportifs de haut-niveau \
septembre 1996
EXERCICE 1 4 points
Un tiroir contient, pêle-mêle, 5 paires de chaussures noires, 3 paires de chaussures vertes et 2 paires de chaussures rouges. Toutes les paires de chaussures sont de mo- dèles différents. N. B. : Dans toutes les questions, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
1. On tire simultanément 2 chaussures au hasard et l’on admet l’équiprobabilité de chaque tirage. a. Calculer la probabilité de l’évènement A « tirer 2 chaussures de la même couleur ». b. Calculer la probabilité de l’évènement B « tirer un pied gauche et un pied droit ». c. Montrer que la probabilité de l’évènement C « tirer les deux chaussures d’un même modèle » est
2. On ne conserve plus dans le tiroir qu’une paire de chaussures noires et une paire de chaussures rouges. On tire, successivement et sans remise, une chaussure du tiroir jusqu’à ce que le tiroir soit vide. On note X la variable aléatoire égale au rang d’apparition de la deuxième chaus- sure noire. a. Justifier que X prend les valeurs 2, 3 et 4. b. Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathé- matique.
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
I.
1. a. Résoudre dans C l’équation suivante :
z^2 − 6cos
( (^) π 6
z + 9 = 0.
On notera z 1 et z 2 les solutions trouvées, z 1 étant la solution de partie imaginaire positive. b. Déterminer le module et un argument de z 1 et de z 2 et donner l’écriture exponentielle de z 1 et de z 2.
2. Placer dans le plan P rapporté à un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
d’unité graphique 1 cm, les images M 1 et M 2 de z 1 et z 2. Expliquer pourquoi M 1 et M 2 sont situés sur le cercle Γ de centre O et de rayon 3, que l’on tracera.
II. On considère la transformation f du plan P qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′^ d’affixe z ′^ tel que :
z ′^ =
p 3 2
z.
On considère les points A et B d’affixe z A = 3ei^
π (^6) et z A = 3e−i^ π (^6) et A′^ et B′^ leurs images par f.
1. Montrer que f est une rotation dont on précisera le centre et l’angle. 2. Déterminer sous forme exponentielle, les affixes z A′^ et z B′^ , des points A′^ et B′. Placer les points A, B, A′^ et B′^ sur la figure. Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle Γ. 3. Calculer arg
z A′ z B′
et montrer que B et A′^ sont symétriques par rapport au point O. En déduire que le triangle ABA′^ est rectangle.
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
A et B sont deux points du plan orienté dans le sens usuel et tels que AB = 6 cm.
On note : r 1 la rotation de centre A et d’angle de mesure
π 3
et r 2 la rotation de centre
B et d’angle de mesure −
2 π 3
Pour tout point M du plan, on note M 1 et M 2 les images respectives de M par r 1 et r 2.
1. M étant le point de la figure ci-jointe, construire les points M 1 et M 2 · 2. Le but de cette question est de démontrer que, pour tout point M du plan, le milieu du segment [ M 1 M 2 ] est un point fixe I. On pose f = r 1 ◦ r − 2 1 où r (^) 2 − 1 désigne la transformation réciproque de r 2. a. Déterminer f ( M 2 ). b. Montrer que f est une symétrie centrale. c. En déduire que le milieu du segment [ M 1 M 2 ] est un point fixe I que l’on placera sur la figure. 3. Dans cette question, le plan est muni d’un repère orthonormal direct
O,
u ,
v
tel que A et B aient pour affixes respectives −3 et 3. On note z 1 et z 2 les affixes respectives de M 1 et M 2. M est un point du plan, distinct de A et de B, d’affixe z. a. Exprimer z 1 et z 2 en fonction de z. Montrer que :
z 2 − z z 1 − z
= i
p 3
z − 3 z + 3
b. En déduire que : (1) :
M M 1 ,
M M 2
M A ,
M B
π 2
(2) :
M M 2
M M 1
p 3
M B
M A
c. Déterminer à l’aide de l’égalité (1) l’ensemble (Γ) des points M du plan tels que M , M 1 , M 2 soient alignés. Construire (Γ) sur la figure de la question 1.
PROBLÈME 11 points
L’objectif de la partie A est de résoudre une équation différentielle (J) avec second membre. Dans la partie B , on étudiera une fonction, solution particulière de l’équa- tion ( 1 ), à l’aide d’une fonction auxiliaire. Dans la partie C , on déterminera l’aire d’une région du plan donnée. Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.
Partie A - Résolution d’une équation différentielle
On se propose de déterminer les fonctions définies sur l’intervalle ]0 ; +∞[ qui sont solutions de l’équation différentielle suivante :
y ′′^ + 3 y ′^ + 2 y =
x − 1 x^2
e− x^. (1)
Partie C - Calcul d’aire
On considère dans le repère orthogonal
O,
u ,
v
ci-après (unité sur l’axe des abs-
cisses : 4 cm, unité sur l’axe des ordonnées : 1 cm), la courbe de la fonction g définie par :
Pour tout x > 0 g ( x ) = − 3 − ln x +
x
α est la valeur déterminée en B. 1. c. telle que : g ( α ) = 0.
α (^) −→ u
v
1 4
1. Déterminer en fonction de α :
I =
∫ α
0,
ln( x ) d x.
On pourra utiliser une intégration par parties.
2. a. Calculer, en fonction de α :
J =
∫ α
0,
g ( x ) d x.
b. Montrer que l’on a :
J = α +
α
ln2.
3. Calculer l’aire A en cm^2 de la partie grisée sur la figure, en fonction de α. Donner une valeur approchée de A en prenant α ≈ 0,45.
