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[ Baccalauréat S Pondichéry avril 2003 \
EXERCICE 1 4 points
On considère la suite numérique ( un ) définie sur N par :
u 0 = a , et, pour tout entier n , un + 1 = un (2 − un )
où a est un réel donné tel que 0 < a < 1.
1. On suppose dans cette question que a =
a. Calculer u 1 et u 2. b. Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter- valle [0 ; 2], la droite (d) d’équation y = x et la courbe (Γ) représentative de la fonction : f : x 7 → x (2 − x ). c. Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A 1 , A 2 , A 3 d’abscisses respectives u 1 , u 2 , u 3.
2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n , 0 < un < 1. b. Montrer que la suite ( un ) est croissante. c. Que peut-on en déduire? 3. On suppose à nouveau dans cette question que a =
. On considère la suite numérique ( vn ) définie sur N par :
vn = 1 − un.
a. Exprimer, pour tout entier n , vn + 1 en fonction de vn. b. En déduire l’expression de vn en fonction de n. c. Déterminer la limite de la suite ( vn ), puis celle de la suite ( un ).
EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire
Première partie
On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :
(E) z^3 + 2 z^2 − 16 = 0.
1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : ( z − 2)
az^2 + bz + c
= 0, où a , b et c sont trois réels que l’on déterminera.
2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal
O,
ı ,
1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives
z A = − 2 − 2i, z B = 2 et z D = − 2 + 2i.
2. Calculer l’affixe z C du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle −
π 2
et F l’image de C
par la rotation de centre D et d’angle
π 2
a. Calculer les affixes des points E et F, notées z E et z F. b. Placer les points E et F.
4. a. Vérifier que :
z F − z A z E − z A
= i.
b. En déduire la nature du triangle AEF.
5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle − π 2
EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante
Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit α un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raison- nera. Cette figure sera jointe à la copie. d 1 est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle α. d 2 est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angle α. d 3 est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angle α. A 1 est le point d’intersection de d 1 et d 3 , B 1 celui de d 1 et d 2 et C 1 celui de d 2 et d 3.
1. On appelle H le point d’intersection de (BC) et d 1. Montrer que les triangles HIB et HB 1 J sont semblables. 2. En déduire que les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont semblables.
Deuxième partie
Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct
O,
u ,
v
A - Construction de la figure
1. Placer les points A(− 4 −6i), B(14), C(− 4 +6i), A 1 (3−7i), B 1 (9+5i) et C 1 (− 3 −i). 2. Calculer les affixes des milieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer ces points sur la figure. 3. Montrer que A 1 , I, B 1 sont alignés. On admettra que B 1 , J, C 1 d’une part et C 1 , K, A 1 d’autre part sont alignés. 4. Déterminer une mesure en radians de l’angle
IB ,
IB 1
On admettra que
KA ,
KA 1
π 4
et que
JC ,
JC 1
π 4
5. Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle
π 4
B - Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A 1 B 1 C 1
On admet qu’il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C en A 1 , B 1 et C 1.
1. Montrer que l’écriture complexe de s est z ′^ =
i
z + 2 − 2i, où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un point et de son image par s.
2. a. Déterminer le rapport et l’angle de s. b. Déterminer l’affixe du centre Ω de s.
b. Calculer g ′( x ) et étudier son signe suivant les valeurs de x. c. En déduire le sens de variations de la fonction g , puis dresser son tableau de variations. d. Montrer que l’équation g ( x ) = 0 possède une unique solution dans R. On note α cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21. e. Déterminer le signe de g ( x ) suivant les valeurs de x.
3. Sens de variations de la fonction f sur R. a. Étudier, suivant les valeurs de x , le signe de f ′( x ). b. En déduire le sens de variations de la fonction f. c. Que pensez-vous de votre première conjoncture?
Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture
On note( C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal
O,
ı ,
On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l’axe ( x ′ x ).
1. Montrer que f ( α ) =
− α^3 2( α + 2)
2. On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; 1] par h ( x ) = − x^3 2( x + 2)
a. Calculer h ′( x ) pour x élément de [0 ; 1], puis déterminer le sens de varia- tions de h sur [0 ; 1]. b. En déduire un encadrement de f ( α ).
3. a. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe ( x ′^ x ). b. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses. c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture?
Partie C : tracé de la courbe
Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C cor-
respondant à l’intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le repère orthonormal
O,
ı ,
avec les unités suivantes : — sur l’axe des abscisses 1 cm représentera 0,05. — sur l’axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.
1. Recopier le tableau suivant et complèter celui-ci à l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n × 10 −^4 ( n entier relatif). x −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0, f ( x ) 2. Tracer alors Γ dans le repère choisi.
Partie D : calcul d’aire
On désire maintenant calculer l’aire du domaine D délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1 − ln 2.
1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction :
x 7 → x^2 e x^.
2. En déduire une primitive F sur R de la fonction f. 3. Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaine D puis en donner une va- leur approchée en cm^2.
