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[ Baccalauréat C La Réunion juin 1998 \
EXERCICE 1 4 POINTS
Les réponses seront données sous forme de fractions.
Pour un examen, dix examinateurs ont préparé chacun 2 sujets. On dispose donc de vingt sujets que l’on place dans 20 enveloppes identiques. Deux candidats se pré- sentent : chacun choisit au hasard deux sujets ; de plus, les sujets choisis par le pre- mier candidat ne seront plus disponibles pour le deuxième. On note A 1 l’évènement : « les deux sujets obtenus par le premier candidat pro- viennent du même examinateur » et A 2 l’évènement « les deux sujets obtenus par le deuxième candidat proviennent du même examinateur ». On note A l’évènement contraire de l’évènement A.
1. Montrer que la probabilité de l’évènement A 1 est égale à
2. a. Calculer directement la probabilité conditionnelle p (^) ( A 2 / A 1 ) de l’évène- ment A 2 sachant que A 1 est réalisé. b. Montrer que la probabilité que les deux candidats obtiennent chacun deux sujets provenant d’un même examinateur est égale à
3. a. Calculer la probabilité p
A 2 / A 1
b. En remarquant que A 2 = ( A 2 ∩ A 1 ) ∪
A 2 ∩ A 1
, calculer la probabilité
p ( A 2 ) puis en déduire que p ( A 2 ∪ A 1 ) =
4. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de candidats qui ont choisi cha- cun deux sujets provenant d’un même examinateur. La variable aléatoire X prend donc les valeurs 0, 1 ou 2. a. Déterminer la loi de la probabilité de la variable aléatoire X. b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
EXERCICE 2 5 POINTS
Enseignement obligatoire
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal direct
O,
ı ,
k
, on donne A, B et C de coordonnées respectives (2 ; 0 ; 1), (3 ; −2 ; 0) et (2 ; 8 ; −4). Aucune figure n’est demandée.
1. Un point M étant de coordonnées ( x ; y ; z ), exprimer en fonction de x , y et z les coordonnées du produit vectoriel
A M ∧
B M.
2. Résoudre le système :
− x + y − 2 z = − 4 − x − y − z = − 11 2 x + y − z = 8
On fera figurer les étapes de la résolution sur la copie.
3. Montrer qu’il existe un unique point N vérifiant
A N ∧
B N =
C N et donner les coordonnées du point N.
4. On rappelle que le volume d’un tétraèdre s’obtient par la formule V =
B × h où B représente l’aire d’une base et h la hauteur correspondante.
a. Le point N étant défini à la question précédente, montrer que le volume du tétraèdre ABC N est égal à
C N^2.
b. En utilisant les résultats du 1., et en prenant M = C, calculer l’aire du triangle ABC. c. Utiliser les résultats précédents pour calculer la distance du point N au plan (ABC).
EXERCICE 2 5 POINTS
Enseignement de spécialité
Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormal direct
O,
ı ,
(unité : le
cm), on trace le cercle ( C ) de diamètre [AO] où A est le point de coordonnées (−6 ; 0) ; on appelle Ω le centre de ( C ). Si P est un point de ( C ), on note K le projeté orthogonal de P sur la droite (AO) et M le point défini par
KM =
AP.
Soit t une mesure en radians de l’angle
ΩO ,
ΩP
On veut déterminer l’ensemble (E ) des points M de paramètre t obtenu lorsque P décrit ( C ).
1. Sur une figure qui sera complétée à la question 5, représenter (C), placer un point P et les points K et M correspondants. 2. a. Exprimer en fonction de t les coordonnées du point P puis celles du point M. b. En déduire une représentation paramétrique de (E ). c. Soit M′^ le point de (E ) de paramètre π − t. Par quelle transformation peut- on obtenir le point M′^ à partir du point M de paramètre t? 3. Soit N le point (E ) de paramètre t +
π 2
. Montrer que le vecteur
ON
est un vecteur directeur de la tangente à (E ) au point M de paramètre t.
4. Dessin de (E ) : a. Dresser le tableau des variations conjointes des coordonnées de M pour t appartenant à
[
π 2
]
b. Construire les points M 1 M 2 et M 3 obtenus pour les valeurs de t sui- vantes :
π 6
π 4
π 3 et utiliser le résultat des questions 3 et 4 et pour construire trois autres points de (E ) ainsi que les tangentes à (E ) en M 1 , M 2 et M 3. c. Achever le dessin de (E ). N. B. La question 5. a. a été transformée (elle demandait d’indiquer la nature de (E ) et de placer les sommets de (E )) afin de tenir compte des modifica- tions de programme. Par ailleurs, cet exercice peut être traité désormais dans le cadre de l’enseignement obligatoire.
PROBLÈME 11 POINTS
Soit f la fonction définie sur R par
f ( x ) = e x^ − x^2
dont la courbe représentative C (^) f dans un repère orthonormal
O,
ı ,
, est don-
née sur le graphique ci-dessous à compléter et à rendre avec la copie.
a. Montrer que, sur l’intervalle ]0 ; +∞[, g ′( x ) = 0 équivaut à f ′( x ) =
f ( x ) x et que par conséquent f ′( a ) = f ( a ) a
b. En utilisant ce résultat, établir que a est l’abscisse du point A défini dans la première partie. c. Justifier que l’ordonnée de S est f ′( a ) et placer S sur le dessin.
2. Déterminer les coordonnées du point d’intersection de C (^) f et C g. 3. Construire la courbe C g.
Partie D : Étude d’une primitive de g et calcul d’une intégrale
Soit G la primitive de g sur l’intervalle [1 ; 2] qui s’annule pour x = 1 (on ne cherchera pas à calculer cette primitive).
1. Déterminer le sens de variation de G sur [1 ; 2]. 2. Donner une interprétation géométrique du nombre G (2). Dans la suite, on prendra 1,55 comme valeur approchée de G (2) à 10−^2 près. 3. On considère l’intégrale J =
1
G ( x ) d x.
a. Justifier que l’intégrale I calculée dans la première partie peut s’écrire
I =
1
xg ( x ) d x.
b. En utilisant une intégration par parties, établir que I = 2 G (2) − J et en déduire une valeur approchée de J , à 10−^2 près.
