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Parcours
d’exercices
Suites arithmétiques
et géométriques
ALGEBRE
1 Suites arithmétiques
Exercice 1 Pour chacune des suites, indiquer en justifiant si elle est arithmétique et préciser si c’est le cas sa raison et son terme général.
- 𝑎 0 = 4 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ : 𝑎𝑛+1 = 4, 6 + 𝑎𝑛.
- 𝑏 0 = −6 et pour tout 𝑛 ∈ ℕ : 𝑏𝑛+1 = 5 − 𝑏𝑛.
Exercice 2 Pour chacune des suites ci-dessous, indiquer en justi- fiant si elle est arithmétique et préciser si c’est le cas son premier terme et sa raison.
- Pour tout 𝑛 ∈ ℕ : 𝑐𝑛 = 5𝑛 − 3.
- Pour tout 𝑛 ∈ ℕ : 𝑑𝑛 = 0, 5𝑛^2 + 2.
Exercice 3
- Soit la suite arithmétique (𝑢𝑛) de premier terme 𝑢 0 = 3 et de raison −4. Déterminer sa forme ex- plicite.
- Soit la suite arithmétique (𝑣𝑛) de raison 5 et telle que 𝑣 10 = 7. Calculer 𝑣 52.
Exercice 4
- Soit la suite arithmétique (𝑢𝑛) de raison 3 et de premier terme 𝑢 0 = 5. Calculer la somme 𝑆 = 𝑢 0 + 𝑢 1 + ..... + 𝑢 15.
- Calculer la somme : 100 + 102 + 104 + 106 + ..... + 1000
Exercice 5 Nabolos décide de s’entraîner pour une épreuve de natation, où il devra nager sur une distance de 1500 m. Pour cela, il va dans une piscine dont la longueur est de 50 m. Le premier jour, il fait deux longueurs. Puis chaque jour il nage une longueur de plus que le jour précédent. On note 𝑢𝑛 la distance réalisée en mètres le n-ième jour.
- Donner la valeur de 𝑢 1
- Justifier que la suite (𝑢𝑛) est arithmétique, donner sa raison et l’expression de son terme général.
Exercice 6
Sésamath
Sur le graphe ci-dessous, on a représenté les premiers termes des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛). Pour chacune de ces suites, expliquer pourquoi elle peut être ou ne pas être arithmétique. Déterminer sa formule explicite si elle peut être arithmétique.
1
2
3
4
−6 +
−4^ +
−2^ +
2 +
4 +
6 +
8 +
0
(𝑣𝑛) : +^ +
Exercice 7
MathALÉA
Soit 𝑣 la suite arithmétique de pre- mier terme 𝑣 0 = 6 et de raison 4. Calculer 𝑆 = 𝑣 0 + 𝑣 1 + ... + 𝑣 30.
Soit 𝑤 la suite arithmétique de pre- mier terme 𝑤 0 = 8 et de raison 6. Calculer 𝑆 = 𝑤 0 + 𝑤 1 + ... + 𝑤 40.
Exercice 8
Sésamath
Déterminer si les suites (𝑢𝑛) ci-dessous sont arithmé- tiques. Si oui, donner le premier terme et la raison.
- 𝑢𝑛 = 4𝑛 + 7
- 𝑢𝑛 = 𝑛^2 + 1
Exercice 9
Sésamath
Déterminer si les suites (𝑢𝑛) ci-dessous sont arithmé- tiques. Si oui, donner la raison et le terme 𝑢𝑛.
- {
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛^2 −^12
Exercice 10
Sésamath
Dans chacun des cas suivants, (𝑢𝑛) est une suite arith- métique de raison 𝑟. Écrire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
- 𝑢 0 = −3 (^) 𝑟 =^1 2
- 𝑢 0 = 20 (^) 𝑟 = −
- 𝑢 1 = −
4) 𝑢 4 = 4 𝑟 =^1
Exercice 11
Sésamath
Soient deux termes d’une suite arithmétique (𝑢𝑛). Écrire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛 et déterminer 𝑢 4.
- 𝑢 5 = 4 𝑢 10 = 49
- 𝑢 6 = 17 𝑢 10 = 15
- 𝑢 10 = 90 𝑢 100 = 99
Exercice 12
Sésamath
On connaît deux termes d’une suite arithmétique (𝑣𝑛) : 𝑣10 000 = −26 et 𝑣20 000 = −16. Déterminer 𝑣4 000.
Exercice 13
Sésamath
La construction ci-dessous concerne une suite arithmé- tique. Donner le premier terme, la raison et la formule de récurrence de cette suite.
𝐶^ 𝑢 0 𝑢 1 𝑢 2
Exercice 14
Sésamath
Calculer les sommes suivantes :
- 𝑆 = 𝑢 0 + 𝑢 1 + 𝑢 2 + ...... + 𝑢 20 avec 𝑢 suite arith- métique de premier terme 𝑢 0 = 30 et de raison −2.
- 4 + 7 + 10 + 13 + ... + 34
2 Suites géométriques
Exercice 15 Pour chacune des suites, indiquer en justifiant si elle est géométrique et préciser si c’est le cas sa raison et son terme général.
- {
Exercice 16 Pour chacune des suites ci-dessous définies pour tout 𝑛 ∈ ℕ, indiquer en justifiant si elle est géométrique et préciser si c’est le cas son premier terme et sa raison.
𝑎𝑛 = 5 × 0, 7𝑛.
𝑏𝑛 = 0, 8𝑛^ + 1.
3 𝑛^.
Exercice 17
- Soit la suite géométrique (𝑢𝑛) de premier terme 𝑢 0 = 1 et de raison 2. Déterminer sa forme expli- cite.
- Soit la suite géométrique (𝑢𝑛) telle que 𝑢 4 = 128 et de raison 1,5. Calculer 𝑢 11.
Exercice 18
- Soit (𝑢𝑛) une suite géométrique premier terme 𝑢 0 = 3 et de raison 2. Calculer la somme des 20 premiers termes.
- La suite (𝑣𝑛) est définie par 𝑣 4 = 60 et pour tout entier naturel 𝑛 : 𝑣𝑛+1 = −0, 4𝑣𝑛. Calculer 𝑣 4 + 𝑣 5 + ...... + 𝑣 10.
Exercice 19 Déterminer si les suites (𝑢𝑛), définies pour tout 𝑛 ∈ ℕ ci-dessous, sont géométriques. Si oui, donner le pre- mier terme et la raison.
- 𝑢𝑛 = −4 × 3𝑛
- 𝑢𝑛 = 3
- Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 = 4𝑛
- 𝑢𝑛 = 8𝑛+
- Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑢𝑛 = 4𝑛−
Exercice 20 Déterminer si les suites (^) (𝑢𝑛) ci-dessous sont géomé- triques. Si oui, donner la raison.
- {
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 −^1
𝑢 0 =^1
Exercice 21
Sésamath
Dans chacun des cas suivants, (𝑢𝑛) est une suite géo- métrique de raison 𝑞. Écrire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
- 𝑢 est définie sur ℕ par 𝑢 0 = −^12 et sa raison 𝑞 = −
- 𝑢 est définie sur ℕ par 𝑢 0 = −3 et sa raison 𝑞 = 0,
- 𝑢 est définie sur ℕ∗^ par 𝑢 1 = −1 000 et sa raison 𝑞 = −
- 𝑢 est définie pour tout entier naturel 𝑛 ⩾ 4 par 𝑢 4 = 7 et sa raison 𝑞 = 9
Exercice 31
Sésamath
Soit (𝑢𝑛) la suite définie pour tout entier 𝑛 par
{
On admet que, pour tout entier 𝑛, 𝑢𝑛 > 0.
- Calculer 𝑢 1 , 𝑢 2 et 𝑢 3.
- On pose 𝑣𝑛 = 5 𝑢𝑛 pour tout entier naturel 𝑛. Mon- trer que (𝑣𝑛) est une suite arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.
- Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.
- En déduire l’expression du terme général de (𝑢𝑛) en fonction de 𝑛.
Exercice 32
BAC
En raison de l’évaporation, une piscine perd chaque semaine 3 % de son volume d’eau. On remplit ce bassin avec 90 m^3 d’eau et, pour com- penser la perte due à l’évaporation, on décide de rajouter chaque semaine 2, 4 m^3 d’eau dans le bassin. On note 𝑢𝑛 le nombre de m^3 d’eau contenu dans ce bassin au bout de 𝑛 semaines. On a donc 𝑢 0 = 90 et, pour tout entier 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 0, 97 × 𝑢𝑛 + 2, 4
- On considère la suite (𝑣𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 80. a) Démontrer que la suite (^) (𝑣𝑛) est une suite géo- métrique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛. En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 80 + 10 × 0, 97𝑛.
- Utiliser la calculatrice pour conjecturer la limite de la suite (𝑢𝑛) lorsque 𝑛 tend vers +∞. Interpréter ce résultat.
Exercice 33 Un locataire a habité pendant 15 ans le même ap- partement. Son loyer annuel, la première année, était de 3600 €. Celui-ci a été augmenté régulièrement de 80 € par an. On note 𝑢𝑛 le loyer annuel (en euros) versé la n-ième année. On a donc 𝑢 1 = 3600.
- Préciser la nature et la raison de la suite 𝑢 et en déduire 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
- Calculer le loyer annuel versé par le locataire lors de la quinzième année.
- Calculer le montant total des loyers versés par le locataire en 15 ans.
Exercice 34
BAC
Deux opérateurs de téléphonie ont l’exclusivité du marché d’un pays. On admet que d’une année sur l’autre le nombre d’abonnés au téléphone de ce pays est stable. Une enquête statistique réalisée sur les années 2002 à 2005 a conduit au modèle suivant : À partir de 2022 on prévoit que d’une année sur l’autre, la société A, conservera 85 % de sa clientèle et récupè- rera 10 % des clients de la société concurrente, notée B. En se basant sur ce modèle, pour tout entier naturel 𝑛, on note pour l’année (2022 + 𝑛) :
- 𝑎𝑛 la part de marché de la société A ;
- 𝑏𝑛 la part de marché de la société B. On a donc 𝑏𝑛 = 1 − 𝑎𝑛. En 2022, la part de marché de la société A est égale à 60 %. On a donc 𝑎 0 = 0, 6.
- Calculer la part de marché de la société A en 2023.
- Montrer que : pour tout entier naturel 𝑛, 𝑎𝑛+1 = 0, 75𝑎𝑛 + 0, 1.
- On pose pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑎𝑛 − 0, 4. a) Montrer que la suite (𝑢𝑛) est une suite géomé- trique dont on précisera le premier terme et la raison. b) Donner l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛. c) En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑎𝑛 = 0, 2 × 0, 75𝑛^ + 0, 4. d) Conjecturer la limite de la suite (𝑎𝑛) lorsque 𝑛 tend vers +∞ et l’interpréter.
Exercice 35
BAC
Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuse plusieurs puits suffisamment profonds. Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif pour le forage du premier puits par la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 non nul, par :
𝑢𝑛 = 2000 × 1, 008𝑛−
où 𝑢𝑛 représente le coût en euros du forage de la 𝑛-ième dizaine de mètres. On a ainsi 𝑢 1 = 2000 et 𝑢 2 = 2016, c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte 2000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2016 euros. Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.
Calculer 𝑢 3 puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.
Pour tout entier naturel 𝑛 non nul : a) Exprimer 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛 et préciser la nature de la suite (𝑢𝑛). b) En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la (𝑛 + 1)-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la 𝑛-ième dizaine de mètres.
On considère l’algorithme ci-dessous :
def somme(n): u= s= for i in range (2,n+1): u=u*1, s=s+u return s
La valeur de 𝑛 saisie est 5. a) Faire fonctionner l’algorithme précédent pour cette valeur de 𝑛. Résumer les résultats obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier et à compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire). 𝑖 2 𝑢 2000 𝑆 2000 b) Quelle est la valeur de 𝑆 affichée en sortie? Interpréter cette valeur dans le contexte de cet exercice.
- On note 𝑆𝑛 = 𝑢 1 + 𝑢 2 + ⋯ + 𝑢𝑛 la somme des 𝑛 premiers termes de la suite (𝑢𝑛), 𝑛 étant un entier naturel non nul. On admet que : 𝑆𝑛 = −250000 + 250000 × 1, 008𝑛. Le budget consenti pour le forage du premier puits est de 125 000 euros, quelle est la profondeur maximale du puits que l’on peut espérer avec ce budget?
(Correction)
Corrigé de l’exercice 1
Oui car 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 = …
Non. Calculez les premiers termes.
Corrigé de l’exercice 2
Oui, 𝑐 0 = −3 et 𝑟 = 5.
Non, calculez les premiers termes.
Corrigé de l’exercice 3
𝑢𝑛 = 3 − 4𝑛.
𝑣 52 = 217.
Corrigé de l’exercice 4
𝑆 = 440.
Corrigé de l’exercice 5
𝑢 1 = 100
𝑢𝑛 = 50 + 50𝑛
Corrigé de l’exercice 6 Oui pour (𝑢𝑛) et non pour (𝑣𝑛) car il faut des points alignés pour une suite arithmétique. 𝑢𝑛 = 4 + −2𝑛 Corrigé de l’exercice 7 Corrigé en ligne. Corrigé de l’exercice 8
Oui, 𝑟 = 4 et 𝑢 0 = 7
Non
Oui, 𝑟 = 0, 5 et 𝑢 0 = 5
Non
Corrigé de l’exercice 9
Non.
Non.
Non.
Oui, 𝑟 = 1 et 𝑢 0 = 1000, donc 𝑢𝑛 = 1000 + 𝑛
Corrigé de l’exercice 10
- 𝑢𝑛 = −3 +
3) 𝑢𝑛 =^11
4) 𝑢𝑛 =^165 +^15 𝑛
Corrigé de l’exercice 11
- 𝑢𝑛 = −41 + 9𝑛 et 𝑢 4 = −
- 𝑢𝑛 = 20 −
2 𝑛^ et^ 𝑢^4 = 18
- 𝑢𝑛 = 89 + 10 1 𝑛 et 𝑢 4 = 89, 4 Corrigé de l’exercice 12 𝑟 =
1000 et^ 𝑣^4000 = − Corrigé de l’exercice 13 𝑢 0 = −3 et 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 4. Corrigé de l’exercice 14
- 𝑆 = 210
- 209 Corrigé de l’exercice 15
- Oui, 𝑞 = 0, 4 et 𝑢𝑛 = 1000 × 0, 4𝑛.
- Non.
- Oui, 𝑞 =^1 5 et 𝑤𝑛 = 6 × (^1 5 )
𝑛 . Corrigé de l’exercice 16
- Oui, 𝑎 0 = 5 et 𝑞 = 0, 5.
- Non.
- Oui, 𝑐 − 0 = 2 et 𝑞 =^1 3
- Oui, 𝑑 0 = 1 et 𝑞 = 0, 64. Corrigé de l’exercice 17
- 𝑢𝑛 = 2𝑛.
- 𝑢 11 = 2187. Corrigé de l’exercice 18
- 𝑆 = 3145725
- 42, 92736 Corrigé de l’exercice 19
- Oui, 𝑢 0 = −4 et 𝑞 = 3.
- Oui, 𝑢 0 = 3 et 𝑞 = 1.
- Non.
- Oui, 𝑢 0 = 64 et 𝑞 = 8.
- Oui, 𝑢 0 = 0, 25 et 𝑞 = 0, 25. Corrigé de l’exercice 20
- Oui, 𝑞 =^34.
- Non.
- Non. Corrigé de l’exercice 21
- 𝑢𝑛 = −^1 2
× (−3)𝑛
2) 𝑢𝑛 = −3 × (0, 02)𝑛
3) 𝑢𝑛 = −1000 × (−
𝑛−
4) 𝑢𝑛 = 7 × 9𝑛−
Corrigé de l’exercice 22
𝑢𝑛 = −4 × 7𝑛−
𝑢𝑛 =
3 × (−
𝑛− ou 𝑢𝑛 =
3 × (
𝑛− = (
𝑛−
- 𝑢𝑛 = 2𝑛−7^ ou 𝑢𝑛 = −(−2)𝑛−
Corrigé de l’exercice 23
0, 9^0 + 0, 9^1 + 0, 9^2 + ... + 0, 9^4 = 4, 0951
𝑆 ≈ 10
Corrigé de l’exercice 24 𝑢 0 = 1 et 𝑞 = 1, 9 Corrigé de l’exercice 25
𝑢 0 = 10000 et 𝑢 1 = 10800
Pour obtenir le nombre d’adhérents d’une année sur l’autre on multiplie par 1,08. Ainsi, la suite est géométrique de raison 1,08 et de premier terme 10000. On a 𝑢𝑛+1 = 1, 08𝑢𝑛.
Corrigé de l’exercice 26 Modélisez par deux suites les différents contrats. L’une est arithmétique, l’autre géométrique. Il faudra calculer une somme de termes pour chacune de ces deux suites pour comparer. Corrigé de l’exercice 27
60 euros et 140 euros
2470 euros.
Corrigé de l’exercice 28
𝑢 1 = 7 ; 𝑢 2 = 19 ; 𝑢 3 = 43
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣𝑛+1 = 2𝑣𝑛 (il faut le montrer !). (𝑣𝑛) est géométrique de raison 2 et de 1er^ terme 𝑣 0 = 6.
𝑣𝑛 = 6 × 2𝑛^ pour tout 𝑛 ∈ ℕ
𝑢𝑛 = 6 × 2𝑛^ − 5
Corrigé de l’exercice 29
𝑢 1 = −10 ; 𝑢 2 = 38 ; 𝑢 3 = −
Pour tout 𝑛 ∈ ℕ, 𝑣𝑛+1 = −3𝑣𝑛 (il faut le montrer !). (𝑣𝑛) est géométrique de raison −3 et de 1er^ terme 𝑣 0 = 4.
𝑣𝑛 = 4 × (−3)𝑛^ pour tout 𝑛 ∈ ℕ
𝑢𝑛 = 4 × (−3)𝑛^ + 2
Corrigé de l’exercice 30
𝑢 1 = 7 ; 𝑢 2 = 20 ; 𝑢 3 = 57
Ni arithmétique, ni géométrique.
𝑣𝑛+1 = 3𝑣𝑛 (il faut le montrer !). (𝑣𝑛) est géométrique de raison 3 et de 1er^ terme 𝑣 0 = 2.
𝑣𝑛 = 2 × 3𝑛
𝑢𝑛 = 2 × 3𝑛^ + 𝑛
Corrigé de l’exercice 31
- 𝑢 1 =^10 3
; 𝑢 2 =^5
2) 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 +^1
(à démontrer ...) (𝑣𝑛) est une suite arithmétique de premier terme 𝑣 0 = 1 et de raison 1 2
3) 𝑣𝑛 = 1 +^1
4) 𝑢𝑛 = 2 + 𝑛^10
Corrigé de l’exercice 32
- 𝑣𝑛+1 = 0, 97𝑣𝑛 (à démontrer ...) (𝑣𝑛) est une suite géométrique de premier terme 𝑣 0 = 10 et de raison 0, 97.
- 𝑣𝑛 = 10 × 0, 97𝑛
- 𝑢𝑛 = 80 + 10 × 0, 97𝑛
- Au bout d’un certain nombre de semaines, la quantité d’eau contenue dans le bassin sera proche de 80 m^3. Corrigé de l’exercice 33
- Suite arithmétique. 𝑢𝑛 = 3520 + 80𝑛.
- 4720 euros.
- 62400 euros Corrigé de l’exercice 34
- 55 %
- Cherchez!
- a) 𝑢𝑛+1 = 0, 75𝑢𝑛 (à montrer) et 𝑢 0 = 0, 2. b) 𝑢𝑛 = 0, 2 × (0, 75)𝑛 c) 𝑎𝑛 = 0, 2 × 0, 75𝑛^ + 0, 4. d) La limite de la suite (𝑎𝑛) lorsque 𝑛 tend vers +∞ est égale à 0,4. À long terme la part de marché de la société A se stablisera à 40 %. Corrigé de l’exercice 35
- 𝑢 3 = 2000 × 1, 008^2 ≈ 2 032, 13. Le coût après 30 m de forage est de 2 032,13 €. Le coût total est donc à peu près égal à : 2000 + 2 016 + 2 032,13 soit au centime près 6 048,13 €.
- a) Nous pouvons calculer : 𝑢𝑛+1 = 2 000 × 1, 008𝑛+1− = 2 000 × 1, 008𝑛−1+ = 2 000 × 1, 008𝑛−1^ × 1, 008 = 𝑢𝑛 × 1, 008 (𝑢𝑛) est géométrique de raison : 𝑞 = 1, 008. b) 𝑢𝑛+1 = 1, 008 × 𝑢𝑛 ⇔ 𝑢𝑛+1 = (1 +
100 ) × 𝑢𝑛.
Pour passer de 𝑛 à 𝑛 + 1 le coefficient multiplicateur vaut : (1 + 100 0, 8). Le pourcentage d’augmentation permettant de passer de 𝑛 à 𝑛 + 1 vaut donc : 𝑡 = 0, 8 %.
