Fonctions harmoniques
Soit
U
un ouvert non vide de
2
ℝ
.
On note
2
( , )
U
C
ℝ
l’ensemble des fonctions réelles de classe
2
C
définies sur
U
.
Une fonction
:
f U
→
ℝ
est dite harmonique ssi celle-ci est de classe
2
C
et solution sur
U
de l’équation aux
dérivées partielles :
2 2
2 2
0
f f
x y
∂ ∂
+ =
∂ ∂
. On note
( )
H U
l’ensemble de ces fonctions.
Partie I-Généralités
1. Montrer que
( )
H U
est un sous-espace vectoriel de
2
( , )
U
C
ℝ
.
2. Premiers exemples
2.a Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur
, ,
a b c
∈
ℝ
pour que l’application
2
:
f
→
ℝ ℝ
définie par
2 2
( , )
f x y ax bxy cy
= + +
soit harmonique sur
2
ℝ
.
2.b Montrer que
(
)
:( , ) arctan /
f x y y x
֏
est harmonique sur
U
+∗
= ×
ℝ ℝ
.
3. Soit
f
U
:
→
R
.
3.a Montrer que si
f
est harmonique et de classe
3
C
alors
f
x
∂
∂
et
f
y
∂
∂
sont, elles aussi, harmoniques.
3.b En déduire que si
f
est harmonique de classe
2
n
+
C
(avec
n
∈
ℕ
), alors ses dérivées partielles jusqu’à
l’ordre
n
sont harmoniques.
4. Soit
2
:
f
→
ℝ ℝ
de classe
2
C
et
2
:
g
→
ℝ ℝ
définie par
( , ) ( cos , sin )
g r f r r
θ θ θ
=
.
4.a Montrer
g
est une fonction de classe
2
C
4.b Etablir que si
f
est harmonique alors
2 2
2 2
2 2
( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 0
g g g
r r r r r r
r r
θ θ θ θ
θ
∂ ∂ ∂
∀ ∈ + + =
∂ ∂ ∂
R
Partie II – Exemples de fonctions harmoniques sur
2
ℝ
Les questions 1,2 et 3 sont indépendantes.
1. Fonctions harmoniques à variables séparables
Une fonction
2
:
f
→
ℝ ℝ
de classe
2
C
est dite à variables séparables ssi il existe deux fonctions
:
ϕ
→
ℝ ℝ
et
:
ψ
→
ℝ ℝ
de classe
2
C
telles que :
2
( , ) , ( , ) ( ) ( )
x y f x y x y
ϕ ψ
∀ ∈ =
ℝ
.
1.a On considère
f
une fonction harmonique non nulle de la forme ci-dessus.
Montrer qu’il existe
k
∈
R
telle que
ϕ
et
ψ
soit respectivement solutions des équations différentielles :
: ( ) . ( ) 0
k
E z t k z t
′′
+ =
et
: ( ) . ( ) 0
k
E z t k z t
−
′′
− =
.
1.b Résoudre, selon le signe de
k
∈
ℝ
, l’équation
k
E
.
1.c On exige de plus que
(0,0) 1
f
=
et
(0,0) (0,0) 0
f f
x y
∂ ∂
= =
∂ ∂
.
Donner, en fonction
k
, l’expression de
( , )
f x y
.
2.
Fonctions harmoniques radiales
Une fonction
2
:
f
→
ℝ ℝ
de classe
2
C
est dite radiale ssi il existe
:
g
+
→
ℝ ℝ
de classe
2
C
telle que :
2 2 2
, , ( , ) ( )
x y f x y g x y
∀ ∈ = +
ℝ
.
2.a On considère
f
une fonction harmonique de la forme ci-dessus.
Montrer que
g
est solution sur
+
ℝ
de l’équation différentielle
( ) ( ) 0
tz t z t
′′ ′
+ =
.
2.b Résoudre cette équation différentielle sur
+∗
ℝ
.
