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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Djibouti \
juin 1972
EXERCICE 1
On donne la fonction f , telle que
f ( x ) = x sin x et x ∈
[
π 2
]
1. Montrer que f admet une fonction réciproque, f −^1. 2. Étudier la dérivabilité de f et calculer la dérivée de f lorsqu’elle existe. 3. Étudier la dérivabilité de f −^1 et calculer la dérivée de f −^1 lorsqu’elle existe. 4. Construire sur un même graphique, le repère étant orthonormé, les courbes représentatives de f et de f −^1.
EXERCICE 2
On rappelle que l’ensemble, S , des suites réelles est un espace vectoriel sur R. On no- tera ( Un ) une suite et Un , n ∈ N, le terme de rang n + 1 de la suite ( Un ). On considère l’ensemble ( E ) des suites ( Un ) vérifiant la relation R :
Un = 5 Un − 1 − 6 Un − 2 , ∀ n ∈ N − {0, ; 1}.
1. Montrer que ( E ) est un sous-espace vectoriel de S. 2. On donne la suite géométrique ( Un ) telle que Un = r n^. Montrer qu’il existe deux valeurs de r telles que la suite géométrique correspondante soit élément de ( E ). On notera ces deux suites ( an ) et ( bn ). 3. Soit ( Un ) ∈ E. Montrer qu’il existe α et β réels, tels que { U 0 = αa 0 + βb 0 U 1 = αa 1 + βb 1
Montrer que Un = αan + βbn , ∀ n ∈ N. En déduire une base de ( E ).
PROBLÈME
Notations et questions préliminaires Si f est une application, on notera f^2 l’application composée, f ◦ f , et f^3 l’applica- tion composée f ◦ f ◦ f. (E) est un plan vectoriel euclidien et (P) est un plan affine euclidien associé à (E). Les points O, A, B et C, sont des points de (P) tels que, dans un repère orthonormé, les coordonnées de O sont (0 ; 0), de A(1 ; 0), de C(0 ; −1) et de B(−1 ; 1). On note
OA = a ,
OB = b et
OC = c. Représenter les points 0, A, B et C sur une figure.
Montrer que les systèmes
a ,
b
et
b ,
c
sont deux systèmes libres.
Partie A
1. f est une application linéaire de (E) dans (E) telle que f
a
b et f
b
c.
Montrer que le sous-ensemble
a ,
b ,
c
est invariant par f.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
2. Montrer que f^3 = I [O étant l’application identique de (E)]. 3. f est-elle bijective? 4. Existe-t-il des vecteurs invariants par f? Existe-t-il des droites vectorielles in- variantes par f?
Partie B
g est l’application affine de (P) dans (P), associée à f et laissant O invariant :
M ′^ = g ( M ) ⇐⇒ O M ′^ = f (O M ).
1. Montrer qu’une droite a pour image, par g , une droite. Quel est la transformée de la droite (AB) ; de la droite (BC)? Existe-t-il des droites parallèles à leur transformée? 2. Soit R le repère
O,
a ,
b
du plan affine (P). Soit ( x ; y ) les coordonnées de M dans le repère R et
x ′^ ; y ′
celles de M ′^ dans ce repère R, avec M ′^ = g ( M ). x = y’-
Montrer que
x = y ′^ − x ′ y = − x ′.
3. Montrer que, si une courbe admet O comme centre de symétrie, sa transfor- mée par g admet aussi O comme centre de symétrie.
Partie C
Soit ( C ) une courbe admettant O comme centre de symétrie, passant par les trois points A, B et C et dont l’équation dans le repère R est de la forme
αx^2 + βy^2 + γx y + δx + ǫy + ϕ = 0,
α , β , γ , δ , ǫ et ϕ étant des nombres réels.
1. Montrer que, puisque ( C ) admet O comme centre de symétrie, on a δ = ǫ = 0. En déduire l’équation de ( C ). 2. Former, en utilisant le B 2., l’équation de ( C ′^ ), transformée de ( C ) par g. Pouvait- on prévoir le résultat? 3. Pour déterminer la nature de ( C ), on choisit un repère R′^ =
O,
ı ,
b
, avec → − ı =
a −
c. Calculer
ı en fonction de
a et de
b , puis les coordonnées ( x ; y ) d’un point M dans. le repère R en fonction de ses coordonnées ( X ; Y ) dans le repère R′. En déduire l’équation de ( C ) dans le repère R′^ et sa nature. Construire la courbe ( C ).
Djibouti 2 juin 1972
