Durée : 4 heures
[Baccalauréat C Mexico juin 1972 \
EXER CIC E 1
Résoudre, dans R, l’équation
4e−5x+3e−3x−e−x=0,
e étant la base des logarithmes népériens et xl’inconnue.
EXER CIC E 2
1. Déterminer les entiers naturels, αet β, ayant 11 pour PGCD et 10 164 pour
produit.
2. Résoudre, dans Z, l’équation
77x−132y=44.
On cherchera d’abord une solution particulière, puis on déterminera tous les
couples (x;y) d’entiers relatifs solutions de l’équation.
PROB LÈM E
Le plan affine euclidien est rapporté à un repère orthonormé ³O, −→
ı,−→
´d’axes x′Ox
et y′Oy.
On considère la famille des courbes d’équation
4mx 2+4ma x +16y2−m2a2=0,
où mest un paramètre réel et aune longueur donnée (a>0).
1. Étudier suivant les valeurs de mla nature des courbes correspondantes.
2. Dans cette partie seulement, on choisit a=2
p3.
On désigne par (C) la courbe obtenue pour m= −4.
a. Montrer que (C) est une conique, dont on déterminera le centre, ω, les
foyers, les sommets et éventuellement les asymptotes. Calculer son ex-
centricité. Tracer la courbe (C).
b. Calculer la dérivée de la fonction gdéfinie par
g(t)=tpt2+1+Log ³t+pt2+1´,
où Log est le symbole de la fonction logarithme népérien.
c. Écrire l’équation de la courbe (C) dans le repère ³ω;−→
ı,−→
´d’axes X′ωX
et Y′ωY.
Mettre cette équation sous la forme Y2=f(X). Calculer l’aire du do-
maine plan borné limité par la courbe (C), l’axe y′Oyet l’axe Y′ωY.
3. Le paramètre aétant de nouveau quelconque, on désigne par (E) la courbe
obtenue pour m=3.
a. Montrer que (E) est une conique. Préciser le centre, les foyers et les som-
mets de (E). Calculer son excentricité e. Tracer (E).
