Télécharge La valeur actuelle et plus Lectures au format PDF de Gestion des finances sur Docsity uniquement!
Université Libre de Bruxelles Solvay Business School
La valeur actuelle
André Farber Novembre 2005
1. Introduction
Supposons d’abord que le temps soit limité à une période et que les cash flows futurs (les flux monétaires) soient certains. Dans ce contexte, la formule de calcul de la valeur actuelle d’un cash flow futur C 1 étant donné le taux d’intérêt r en vigueur sur le marché est :
r
C
VA
1
Cette formule peut s’écrire :
VA (1+ r ) = C 1
Cette expression montre que la valeur actuelle est le montant à placer aujourd’hui pour obtenir C 1 en fin de période si le taux d’intérêt par période est r.
Une autre présentation de la même formule peut être donnée :
VA = C 1 × v 1
dans laquelle v 1 = 1/(1+ r ) est le facteur d’actualisation. Ce facteur d’actualisation est le prix de marché d’un zéro-coupon de valeur faciale unitaire. Une zéro-coupon est une obligation élémentaire qui ne verse pas d’intérêts intermédiaires (les coupons) et donne lieu à un paiement unique à l’échéance d’un montant appelé la valeur faciale. Un zéro-coupon de valeur faciale unitaire verse donc 1€ à l’échéance.
Dans cette note, nous relâchons l’hypothèse d’un avenir limité à une seule période. Nous montrons comment calculer la valeur actuelle d’une chronique quelconque de cash flows futurs. Nous maintenons cependant l’hypothèse de certitude. Certaines des formules présentées dans cette note sont d’application dans une situation plus réaliste d’incertitude mais nous continuons à assimiler le taux d’actualisation uniquement à un taux d’intérêt. Dans un contexte d’incertitude, nous devrons ajouter au taux d’intérêt une prime de risque pour obtenir le taux d’actualisation.
2. Formule générale
VALEUR ACTUELLE ET FACTEUR D ’ ACTUALISATION
L’analyse présentée dans l’introduction conduit naturellement à une définition générale de la valeur actuelle. La valeur actuelle d’un flux de trésorerie (ou cash flow) futur est le prix (ou la valeur) sur les marchés financiers de ce flux. Elle est calculée en multipliant ce flux ( Ct ) par un facteur d’actualisation ( vt ). Celui-ci correspond au prix de marché aujourd’hui (temps 0) d’une unité monétaire disponible à la date future (temps t ).
VA = Ct × vt
De manière similaire, la valeur actuelle d’un échéancier de cash flows : C 1 , C 2 , …, CT est la somme des valeurs actuelles des cash flows individuels.
VA = C 1 (^) × v 1 (^) + C 2 (^) × v 2 (^) + … + CT × vT
Lorsque les cash flows futurs sont connus avec certitude, les facteurs d’actualisation peuvent être obtenus directement en observant les prix de zéro-coupons basés sur des obligations d’Etat. En effet, il existe des instruments financiers traités sur les marchés dont le prix aujourd’hui correspond exactement au droit à recevoir un montant de 1 € dans n années, ce qui équivaut à notre facteur d’actualisation pour l’année n. Ces obligations sont connues sous le nom de STRIPS (« Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities »).
Une obligation d’Etat traditionnelle comprend des coupons (les intérêts payés périodiquement) et le principal (le remboursement à l’échéance de la valeur nominale). Une série de STRIPS est créée en scindant une obligation en plusieurs morceaux, chacun d’eux correspondant à un seul encaissement.
Le facteur d’actualisation est également lié à un taux d’actualisation, le taux d’intérêt correspondant à l’échéance, par la formule :
t t
vt (^) ( 1 r )
Cette formule peut aussi s’écrire :. Cette présentation indique que la valeur future
d’un montant v
vt × (1 + rt ) t = 1 t placé pendant^ t^ années à un taux annuel moyen^ rt avec réinvestissement annuel des intérêts est égal à l’unité.
Le taux d’intérêt rt est aussi appelé taux comptant (« spot rate ») quand on veut préciser qu’il est applicable à tout emprunt ou prêt démarrant aujourd’hui. L’ensemble des taux au comptant et de leur échéance ultime donne la structure par terme des taux d’intérêt.
Si l’on fait l’hypothèse que le taux d’intérêt est indépendant de l’échéance, c’est-à-dire que la structure par terme des taux est plate, la formule du facteur d’actualisation s’écrit :
t vt = (^) ( 1 + r ) t = v
où
v r
A titre d’illustration, nous présentons deux applications-type du principe d’actualisation : les projets d’investissement et le calcul obligataire.
P ROJETS D’ INVESTISSEMENT
La valeur actuelle nette d’un projet d’investissement est la somme des valeurs actuelles de tous les cash flows associés à ce projet :
Supposons que nous observions les prix de n obligations. Soit Pi le prix de l’obligation i et Ci son coupon. Les n facteurs d’actualisation peuvent être calculés en résolvant le système de N équations linéaires à n inconnues :
Pi = Ci × v 1 (^) + Ci × v 2 (^) + … + ( Ci + 100)× vn i = 1, 2, .., n
Les produits financiers retenus pour l’estimation implicite de cette courbe peuvent être très variés. En général, les analystes vont essayer de se baser sur les prix des instruments les plus liquides du marché dans leur catégorie. Aujourd’hui, la majorité des traders utilisent :
- les prix des taux de dépôts interbancaires pour estimer les taux à échéance < 1 an
- les taux de « Floating-Rate Agreement » (FRA) pour les taux > 1 an mais < 5 ans
- les taux « swap » pour estimer implicitement les taux allant de 5 à 30 ans.
3. Formules simplificatrices
Quelques formules permettent de simplifier les calculs :
Toutes les séries de flux mentionnées dans les points ci-dessous ne débutent qu’à la période 1, la valeur actuelle étant calculée au temps 0.
(1) Valeur actuelle d’une rente (« perpétuité ») constante , c’est-à-dire une suite infinie de cash flows constants : C 1 = C 2 = … = Ct = … = C
r
C
VA =
(2) Valeur actuelle d’une rente (« perpétuité ») croissante , c’est-à-dire une suite infinie de cash flows croissants : C 1 , C 2 = C 1 ( 1+g ) , … , Ct = Ct- 1 ( 1+g ) = C 1 ( 1+g ) t-^1 , …
r-g
C 1
VA =
NB : g < r
(3) Valeur actuelle d’une annuité constante , c’est-à-dire une suite finie de cash flows constants : C 1 = C 2 =…= Cn= C
Facteur d'annuité
C (^) r - rn ⎥ ⎦
= ×
VA
où Facteurd'annuité
VA ⎥
= ×
r
v C
n et le facteur d’annuité = v 1 + v 2 + …. + v n.
(4) Valeur actuelle d’une annuité croissante , c’est-à-dire une suite finie de cash flows croissants : C 1 , C 2 = C 1 (1+g), … , Ct= C 1 (1+g)t-1.
t C g VA r g r
⎛ ⎞ ⎡^ ⎛ + ⎞⎤
⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝^ + ⎠⎥⎦
LES FORMULES DANS EXCEL
Si vous pratiquez l’actualisation à titre professionnel, vous effectuerez probablement une partie importante de vos calculs en Excel. Nous reprenons donc ci-dessous les fonctions en Excel qui correspondent aux formules présentées ci-dessus. Nous vous donnons les formules pour la version française et la version anglaise.
Excel français Excel anglais Commentaire
Formule général VAN( r, Val.1…Val. n ) NPV( r, Val.1…Val. n ) La fonction VAN/NPV donne la VA et non la VAN. La formule est basée sur un taux d’actualisation unique.
Perpétuité constante VA = C/r
Néant Néant La formule est trop simple pour justifier une fonction
Perpétuité croissante VA = C 1 /( r-g )
Néant Néant A nouveau, trop simple pour une fonction
Annuité constante VA = ( C/r )[1-(1+ r )- n ]
-VA( r,n,C ) ou VA( r,n,-C )
-PV( r,n,C ) ou PV( r,n,-C )
Attention : si C >0, la formule donne un résultat négatif
Calcul du TRI TRI(Val.1,…,Val. n ) IRR(Val.1,…,Val. n ) Fonctionne sans problème si les cash flows sont négatifs d’abord puis positifs
COMPOSITION D’ INTERETS
Lorsque les intérêts sont réinvestis plusieurs fois par an, le facteur d’actualisation s’écrit :
Valeur actuelle d’une annuité constante :
Facteur d'annuité
C (^) r - rn ⎥ ⎦
= ×
VA
d’ une annuité croissante :
t C g VA r g r
⎛ ⎞ ⎡^ ⎛ + ⎞⎤
⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝^ + ⎠⎥⎦
NOTES
Les notions de base de calcul de valeurs actuelles sont exposées dans tous les manuels de finance, par exemple Brealey Myers Allen (2005) Chapitre 3. Nous nous différencions quelque peu des présentations usuelles en basant la formule de calcul de la valeur actuelle sur l’existence de prix de marché (les facteurs d’actualisation) plutôt que sur un taux d’actualisation unique identique pour toutes les échéances. Ceci nous permet de mettre en évidence l’importance de la structure par terme des taux pour tous les calculs de valeurs actuelles pour des cash flows futurs certains. La « bootstrap method » utilisée pour extraire les facteurs d’actualisation de cotations d’obligations d’Etat est décrite notamment dans Garbade (1998), Tuckman (1995) ou Van Deventer et Imai (1997).
Pour les amateurs d’histoire, il est intéressant de rappeler que les calculs de valeurs actuelles et de valeurs futures remontent à la nuit des temps. Mais les moyens de calculs étaient limités avant l’arrivée des calculatrices électroniques et des ordinateurs. Imaginez devoir calculer (1/1,0435)^35 manuellement! Un cauchemar. Ce n’est qu’au début des années 1950, avec l’arrivée des ordinateurs, que la valeur actuelle a fini par s’imposer dans toutes les entreprises. La difficulté de calcul est, maintenant, de l’histoire ancienne. Poitras (2000) présente les origines des calculs actuariels.
RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
Brealey, R., S. Myers and F. Allen, Principles of Corporate Finance , McGrawHill 2005
Garbade, Kenneth D., Fixed Income Analytics , MIT Press, 1998
Poitras, G., The Early History of Financial Economics , 1478-1776, Edward Elgar, 2000
Ross, Westerfield and Jaffe, Corporate Finance , McGrawHill 2005
Tuckman, Bruce, Fixed Income Securities , Wiley 1995
Van Deventer, Donald R. and Kenji Imai, Financial Risk Analytics , Irwin, 1997
