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A
B
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C A
B
D
C
A
B
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C A
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C
Vecteurs
1/ Définition
Un vecteur u ⎯→ est un objet mathématique caractérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme).
Si
⎯⎯→ AB est un représentant du vecteur ⎯ u →, alors :
- La direction du vecteur ⎯ u est la droite (AB),→
- Le sens du vecteur ⎯ u est le sens A vers B,→
- La longueur du vecteur ⎯ u est la longueur AB du segment [AB].→
Remarques : La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur
⎯⎯→ AB. Le vecteur
⎯⎯→ BA est l’opposé du vecteur
⎯⎯→ AB. ⎯ u =→ AA =⎯⎯→ BB = … est appelé⎯⎯→ le vecteur nul et est noté ⎯ 0. Il n’a ni direction, ni sens.→
2/ Propriétés
Si
⎯⎯→ AB =
⎯⎯→ DC alors ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati).
Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors
⎯⎯→ AB =
⎯⎯→ DC et
⎯⎯→ AD =
⎯⎯→ BC
Si
⎯⎯→ AB =
⎯⎯→ BC alors B est le milieu de [AC] Si B est le milieu de [AC] alors
⎯⎯→ AB =
⎯⎯→ BC
3/ Somme de vecteurs
A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur
⎯⎯→ AB suivie de la translation de vecteur
⎯⎯→ BC est la translation de vecteur
⎯⎯→ AC. On écrit alors :
⎯⎯→ AB +
⎯⎯→ BC =
⎯⎯→ AC (relation de Chasles) et on dit que
⎯⎯→ AC est la somme de
⎯⎯→ AB et
⎯⎯→ BC.
Construction de la somme de deux vecteurs :
Relation de Chasles Règle du parallélogramme
Remarques : Quels que soient ⎯ u et→ ⎯ v :→ ⎯ u +→ ⎯ v =→ ⎯ v +→ ⎯ u→ La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul.
Si
⎯⎯→ BA +
⎯⎯→ BC =
⎯→ 0 alors B est le milieu de [AC]. Si B est le milieu de [AC] alors
⎯⎯→ BA +
⎯⎯→ BC =
⎯→
⎯ u→
⎯ v→
w^ ⎯→
⎯ u→
⎯→ w^ ⎯→
v w =⎯→ ⎯ u +→ ⎯ v→
A
B
C
4/ Produit d’un vecteur par un réel
Soit ⎯→ u un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k ⎯→ u de la façon suivante :
Si k > 0 alors k ⎯→ u est le vecteur qui a la même direction et le même sens que ⎯→ u et une longueur égale à k fois celle de ⎯→ u. Si k < 0 alors k ⎯→ u est le vecteur qui a la même direction que ⎯→ u, le sens opposé à ⎯→ u et une longueur égale à – k fois celle de ⎯→ u. Si k = 0 alors k ⎯→ u est le vecteur nul.
5/ Bases et repères
a) Définition
Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose ⎯→ i =
⎯⎯→ OI et ⎯→ j =
⎯⎯→ OJ.
On dit que le couple ( ⎯→ i ; ⎯→ j ) est une base du plan. On dit que (O ; ⎯→ i ; ⎯→ j ) est un repère du plan.
b) Coordonnées dans une base
Étant donnée une base ( ⎯→ i ; ⎯→ j ) :
Tout vecteur ⎯→ u s’écrit de façon unique en fonction de ⎯→ i et ⎯→ j : ⎯→ u = x ⎯→ i + y ⎯→ j. Le couple ( x ; y ) est le couple de coordonnées de ⎯→ u. x
est l’abscisse de ⎯→ u et y est l’ordonnée de ⎯→ u. On note ⎯→ u( x ; y ) ou ⎯→ u⎝⎛^ ⎠⎞
x y
Si ⎯→ u⎝⎛^ ⎠⎞
x y et^
⎯→ v⎝⎛^ ⎠⎞
x' y' alors^
⎯→ u + ⎯→ v⎝⎜
x + x’ y + y’ et^ k
⎯→ u⎝⎛^ ⎠⎞
kx ky
c) Coordonnées dans un repère
Étant donné un repère (O ; ⎯→ i ; ⎯→ j ) :
Quel que soit le point M du plan, le vecteur
⎯⎯→ OM s’écrit de façon unique en fonction de ⎯→ i et ⎯→ j :
⎯⎯→ OM = x ⎯→ i + y ⎯→ j. Le couple ( x ; y ) est le couple de coordonnées de M. x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M. On note M( x ; y ).
Si A( x A ; y A), B( x B ; y B ) et I est le milieu de [AB] alors I ⎝
x A + x B 2
y A + y B 2
Si A( x A ; y A), B( x B ; y B ) alors
⎯⎯→ AB( x B – x A ; y B – y A).
⎯→ u 3 ⎯ u→
⎯→ v
-^32 ⎯→ v
⎯→ ⎯→^ u j ⎯→ i
3 2
⎯→ j
- ⎯→ i ⎯→ u = – ⎯→ i +^32 ⎯→ j donc ⎯→ u ⎝
–2 ,^3 ⎞
2
Exemples : Si ⎯→ u (2 ; 5) et ⎯→ v (4 ; –1) alors ⎯→ u + ⎯→ v (2 + 4 ; 5 + (–1)) donc ⎯→ u + ⎯→ v (6 ; 4)
- ⎯→ v (–3 × 4 ; –3 × (–1)) donc – ⎯→ v (–12 ; 3)
O
M
⎯→ i
⎯→ j
⎯⎯→ OM = 2 ⎯→ i – ⎯→ j donc M(2 ; –1)l
Exemple : Si A(–4 ; 4) et B(2 ; 1) alors x I = –4 + 2 2 = –1 et y I = 4 + 1 2 =^52
donc I⎝⎛^ –1 ,^52 ⎠⎞
A
B
3
2
–1 O
A(3 ; –2) et B(–1 ; 2) donc
⎯⎯→ AB (–1 – 3 ; 2 – (–2))⎯⎯→ l AB (– 4 ; 4) l
