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Chapitre 2
Vecteurs
Sommaire
2.1 Rappels............................................. 11 2.1.1 Translations et vecteurs................................. 11 2.1.2 Somme de vecteurs.................................... 12 2.1.3 Produit d’un vecteur par un réel............................ 13 2.1.4 Colinéarité......................................... 13 2.2 Exercices............................................ 13
Ce chapitre est constitué d’une part de rappels de Seconde (les exemples y seront donc limités et les propriétés ne seront pas re-démontrées) et d’autre part d’exercices de géométrie vectorielle non analytique. Son objectif est de continuer à se familiariser avec la notion de vecteur.
2.1 Rappels
2.1.1 Translations et vecteurs
Définition 2.1 (Translation). Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui à tout point M du plan associe l’unique point M′^ tel que [AM′] et [B M] ont même milieu.
Remarque. AB M′^ M est alors un parallélogramme.
Définition 2.2 (Vecteur). On appelle vecteur
AB le bipoint associé à la translation qui transforme A en B. A est appelé origine du vecteur, B est appelé extrémité du vecteur. La translation qui transforme A en B sera appelée translation de vecteur
AB.
Définition 2.3 (Vecteurs égaux et parallélogramme). Deux vecteurs sont dits égaux s’ils sont associés à une même translation, ce qui revient à : −→ AB =
C D ⇔ ABDC parallélogramme
Remarque. Attention à l’ordre des lettres!
On peut aussi définir un vecteur de la manière suivante :
2.1 Rappels Première S
Définition 2.4 (Direction, sens et norme). Un vecteur ~u non nul est déterminé par :
- sa direction ;
- son sens ;
- et sa longueur, appelée norme du vecteur, notée ‖~u‖.
On a alors : Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
2.1.2 Somme de vecteurs
Définition 2.5 (Somme de deux vecteurs). La somme de deux vecteurs ~u et ~v est le vecteur associé à la translation résultat de l’enchaînement, on dit aussi la composition, des translations de vecteur ~u et de vecteur ~v.
Propriété 2.1 (Relation de CHASLES). Pour tous points A, B et C , on a :
AB +
BC =
AC
A
B C
~u
~v
~u +~v
Propriété 2.2 (Règle du parallélogramme). Pour tous points A, B, C et D on a :
AB +
AC =
AD ⇔ ABDC
parallélogramme. (^) A
B D
C
~u
~v
~u +~v
Définition 2.6 (Vecteur nul, vecteurs opposés). On appelle vecteur nul, noté ~0, tout vecteur dont son origine et son extrémité sont confondues. La translation associée laisse tous les points invariants. On appelle vecteurs opposés tous vecteurs ~u et ~v tels que ~u+~v =~0. On peut noter ~u = −~v ou ~v = −~u.
Propriété 2.3 (Vecteurs opposés). Les vecteurs
AB et
B A sont des vecteurs opposés car
AB +
B A =
A A =
On a donc
AB = −
B A et
B A = −
AB.
Propriété 2.4 (Milieu d’un segment). Soit A et B deux points distincts et I un point du plan. Alors : I milieu de [AB] ⇔
I A +
I B =
I A =
B I.
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2.2 Exercices Première S
EXERCICE 2.2.
ABC D est un quadrilatère quelconque. I , J , K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC ], [C D] et [D A].
- Montrer l’égalité vectorielle
I J = 12
AC =
LK.
- Que peut-on en déduire au sujet du quadrilatère I J K L?
EXERCICE 2.3. Soit ABC D un parallélogramme et les points E et F tels que
AE = 25
AB et
DF = 35
DC.
Montrer que les segments [E F ] et [BD] ont même milieu. Aucune lecture graphique n’est autorisée.
EXERCICE 2.4. Soit un triangle rectangle ABC en C tel que AC = 3 cm et BC = 3 cm (voir la figure 2.1 de la présente page).
Placer les points I , J , K et L définis par les égalités suivantes :
AI = 12
AB ;
B J = 2
B A ;
C K = − 23
C A ;
C L = 23
BC − 136
B A.
- Tracer le quadrilatère I J K L. Que peut-on conjecturer sur sa nature?
- Nous allons démontrer la conjecture faite au point précédent.
(a) À l’aide de la relation de CHASLES, exprimer
I J en fonction de
AB.
(b) À l’aide de la relation de CHASLES, exprimer
LK en fonction de
C K et
C L puis en fonction de
AB.
(c) Conclure.
FIGURE 2.1: Figure de l’exercice 2.
b b
b
C
B
A
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Première S 2.2 Exercices
EXERCICE 2.5.
Soit A, B et C trois points non alignés. Construire les points M, N et P tels que :
M A +
MB = 2
AB •
N A +
N B +
NC =
P A +
P B +
PC =
BC
EXERCICE 2.6.
ABC D est un parallélogramme. Les points M, N , P et Q sont tels que :
AM = 2
AB •
B N = 2
BC •
C P = 2
C D •
DQ = 2
D A
Montrer que le quadrilatère M N PQ est un parallélogramme.
EXERCICE 2.7. ABC D est un parallélogramme.
- Construire les points F et E tels que :
BE = 2
AB et
AF = 3
AD.
- Construire le point G tel que AEGF parallélogramme.
- Démontrer que les points A, C et G sont alignés.
EXERCICE 2.8. Soit ABC un triangle non aplati (A, B et C non alignés) et les points D et E tels que :
−−→ AD =
AC +
C B et
C E =
B A −
AC +
C B
- Faire un dessin. Conjecturer le lien entre les points B, D et E.
- Nous allons démontrer la conjecture du point précédent.
(a) Exprimer
E D en fonction des seuls vecteurs
AB et
AC.
(b) Exprimer
BD en fonction des seuls vecteurs
AB et
AC.
(c) Conclure.
EXERCICE 2.9. Montrer que si le quadrilatère ABC D admet des diagonales qui se coupent en I , leur milieu, alors ABC D est un parallélogramme.
EXERCICE 2.10. Soit cinq points O, A, B, C et D tels que :
O A +
OC =
OB +
OD.
Montrer que le quadrilatère ABC D est un parallélogramme.
EXERCICE 2.11. ABC D est un parallélogramme. I et J sont les milieux respectifs des segments [AB] et [AD]. K est l’intersection des droites (D I ) et (B J ). Que peut-on dire des points A, K et C?
David ROBERT 15
