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MATHÉMATIQUES II
Dans tout le problème, désigne le plan affine euclidien muni de son pro-
duit scalaire canonique, de son repère orthonormé canonique de son
orientation canonique et de son repère polaire canonique.
On appellera conique toute partie (vide ou non) de ayant une équation de
la forme
où , , , , , sont six réels, avec en outre , , non tous nuls.
À tout ( , , , , , ), élément de tel que , , non tous nuls cor-
respond ainsi une conique , que l’on pourra noter.
Le but du problème est notamment l’étude de l’ensemble des points communs à
certains ensembles de coniques.
Partie I - Préliminaires
I.1) Montrer que les fonctions ; ; ; ;
de vers forment une famille libre dans l’espace des fonctions numé-
riques définies sur.
I.2) Soit un cercle quelconque du plan , que l’on supposera de rayon.
Montrer que si le cercle est inclus dans la conique , alors
et. Réciproquement, que peut-on dire d’une conique?
P IR
2 ( O ; i , j )
C P
{ M ( X Y , ) ∈C} ⇔{ A X^2 + BXY + CY^2 + DX + EY + F = 0 }
A B C D E F A^ B C
A B C D E F IR^6 A^ B C
C C ( A B C D E F , , , , , )
θ a cos 2 θ θ a sin 2 θ θ a cosθ θ asinθ θ a 1 IR IR IR P ρ > 0
C ( A B C D E F , , , , , ) A = C
B = 0 C ( A , 0 , A D E F , , , )
Filière PC
Partie II -
On note le plan privé de l’axe des ordonnées. On note un
point de coordonnées appartenant à.
Soit l’ensemble des coniques satisfaisant aux quatre
conditions :
II.A -
II.A.1) Montrer que le seul élément, noté , de qui soit un cercle a pour
équation.
Montrer que est tangent à l’axe et indiquer une construction géomé-
trique de son centre.
II.A.2) Montrer qu’il existe un seul élément, noté , de qui ait une
équation de la forme. En indiquer une caractérisation géométri-
que.
II.A.3) Déterminer. En discuter le nombre d’éléments. En
déduire l’ensemble des points communs à tous les éléments de.
II.B - On appelle l’application de dans qui, au point de coordonnées
polaires , tel que et que pour tout entier relatif , ,
associe de coordonnées polaires.
II.B.1) Montrer que cette définition de est cohérente , c’est-à-dire qu’elle
ne dépend pas du choix de parmi les coordonnées polaires possibles du
point. Montrer que appartient à toutes les coniques de. En déduire
une construction géométrique de à l’aide d’un cercle et d’une droite.
P ′ = P \ { Oy } P M 0 ( X (^) 0 , Y (^) 0 ) P ′
E 1 C ( A B C D E F , , , , , )
M 0 ∈C
⎩ A = C
⎧ E = 0
⎩⎨^ F^ =^0
( C 1 ) E 1
x 0 ( X^2 + Y^2 ) – ( x 02 + y 02 ) X = 0
( C 1 ) Oy
( C 2 ) E 1
BXY + CX = 0
( C 1 ) ∩( C 2 )
E 1
ϕ P ′ P M ( ρ θ , ) ρ ≠ 0 k θ ≠( 2 k + 1 )π ⁄ 2 M ′ ρ θ π 2 ⎝⎛ tan ,^ ---^ – θ⎠⎞ ϕ ( M ) ( ρ θ , )
M ϕ ( M 0 ) E 1
ϕ ( M 0 )
Partie III -
On admet que le déterminant de Vandermonde
en les complexes , , , est nul si, et seulement si, deux au moins des
sont égaux.
Dans cette partie et la suivante, on étudie un problème analogue à celui de la pre-
mière, mais par une méthode sensiblement différente.
III.A - On s’intéresse à l’ensemble des parties de ayant une équation de
la forme où les réels , , et le complexe
ne sont pas tous les quatre nuls, et qui contiennent trois points , , non
alignés donnés, d’affixes respectifs , ,.
III.A.1) Vérifier que les éléments sont bien des coniques et donner une pro-
priété commune de leurs axes.
III.A.2) Pour donné dans , on définit les matrices
et
a) Établir que la matrice est inversible. Quelle conclusion peut-on en tirer
quant au rang de?
b) On définit le -espace vectoriel. En donner la dimension.
Montrer que
est un sous-espace vectoriel de et en donner la dimension.
V z ( 1 , z 2 , z 3 , z 4 )
1 z 1 z 12 z 13 1 z 2 z 22 z 23
1 z 3 z 32 z 33
1 z 4 z 42 z 43
z 1 z 2 z 3 z 4 z (^) i
E 2 IR^2 Azz + B z ( 2 + z^2 ) + Cz + Cz + D = 0 A B D C M 1 M 2 M 3 z 1 z 2 z 3 E 2
z 4 CI
M
z 1 z 1 z 12 z 1 2
z 2 z 2 z 22 z 2 2
z 3 z 3 z 32 z 3 2
z 4 z 4 z 42 z 4 2 ⎝⎜ +^ z 4 z 4 1 ⎠⎟
= M˜^
z 1 z 1 1 z 2 z 2 1 ⎝ z 3 z 3 1 ⎠
M˜ M IR E =IR ×IR ×CI ×IR
S ( A B C D , , , ) E i {1 2 3 , , } Az (^) i z (^) i B z (^) i^2 z (^) i 2 ∈ ,∀ ∈ , + ( + ) + Cz (^) i + Cz (^) i + D = 0 ⎩ ⎭
E
c) Montrer que le point d’affixe appartient à toutes les coniques éléments
de si, et seulement si, le rang de est égal à. [ Pour la condition néces-
saire, on pourra faire intervenir un système linéaire bien choisi .]
III.B - On suppose dans cette question que les complexes , , sont égaux
respectivement à , et , où et , , sont des
réels.
III.B.1) Montrer qu’il existe un unique cercle dans et que si le point
d’affixe appartient à toutes les coniques éléments de , alors est de la
forme.
III.B.2) Soit le déterminant
Montrer que est de la forme , où s’exprime très sim-
plement à l’aide de.
III.B.3) Montrer que la condition énoncée en III.A.2-c) est équivalente à la nul-
lité de.
III.B.4)
a) En déduire l’ensemble des points communs aux coniques de. Discuter
soigneusement le nombre d’éléments de cet ensemble.
b) Lorsque ce nombre est égal à , que peut-on dire des directions des bissectri-
ces du couple de droites?
III.C -
III.C.1) Généraliser les résultats de III.B.4 au cas où l’on ne fait plus l’hypo-
thèse III.B. [ On montrera comment on peut se ramener à ce cas. ]
III.C.2) Soit trois points , , non alignés dans et une droite. Par ,
, , on mène la parallèle à la symétrique de la droite , ,
, par rapport à. Montrer que ces trois droites concourent. [ On
pourra commencer par le cas où est l’axe ; dans ce cas, il suffit d’utiliser
les résultats de la partie III. ]
M 4 z 4 E 2 M 3
z 1 z 2 z 3 a exp ( i θ 1 ) a exp ( i θ 2 ) a exp ( i θ 3 ) a > 0 θ 1 θ 2 θ 3
E 2 M 4 z 4 E 2 z 4 a exp ( i θ 4 )
D
z 12 z 14 + a^4 z 13 z 1 z 22 z 24 + a^4 z 23 z 2
z 32 z 34 + a^4 z 33 z 3
z 42 z 44 + a^4 z 43 z 4
D ( z 1 z 2 z 3 z 4 – a^4 ) V V V z ( 1 , z 2 , z 3 , z 4 )
D
E 2
( M 1 M 2 , M 3 M 4 )
A B C P (∆ ) A
resp ⋅ B resp ⋅ C BC resp ⋅ CA resp ⋅ AB (∆ ) ( ∆ ) Ox
IV.C.2) En déduire des complexes , , , tels que , et soient solu-
tions de
IV.C.3) Grâce à des combinaisons linéaires bien choisies sur les rangées de
, montrer que toutes coniques de passent par si, et seulement si,
IV.C.4)
a) Montrer qu’il existe un polynôme à coefficients complexes, de degré ,
tel que (2) implique ; on donnera d’un tel polynôme les coefficients en
et en , en fonction de , et.
b) Déterminer les zéros de en en discutant la multiplicité. [ On remarquera
que trois zéros de sont déjà connus. ] On ne demande pas de vérifier qu’inver-
sement tous les complexes obtenus vérifient (2).
IV.C.5) On choisit.
a) Déterminer la valeur du produit scalaire. [ On pourra intro-
duit le produit .]
b) Que représente pour le triangle?
IV.D - Généraliser les résultats de IV.C.5-b) au cas où l’on ne fait plus l’hypo-
thèse du IV.C.
••• FIN •••
α α′ β β′ z 1 z 2 z 3
H 1 ( Z ) = Z^2 + α Z + β – aZ = 0
H 2 ( Z ) Z α′ β′ Z^1 a
= + + – --- Z^2 = 0
M′ E 3 M 4 H 1 ( z 4 ) = H 2 ( z 4 ) = 0
ϖ ( Z ) 4 ϖ ( z 4 ) = 0 Z^4 Z^3 a u v ϖ ϖ
z 4 = z 1 + z 2 + z 3 〈 M 1 M 4 , M 2 M 3 〉 ( z 4 – z 1 ) ( z 3 – z 2 ) M 4 M 1 M 2 M 3
