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Groupes des permutations.
Les groupes symétriques ont une importance non négligeable dans certains domaines de la physique quantique mais aussi en mathématiques dans le cadre de la théorie de Galois. Il convient donc d'y porter aussi une attention toute particulière.
Rappelons d'abord (cf. chapitre de Probabilités) que dans un ensemble il y an! permutations possibles. Les mathématiciens disent, à juste titre, qu'il y an! bijections et appellent ce nombre "ordre du groupe de permutations".
Prenons par exemple l'ensemble {1,2,3}. Cet ensemble à 3! permutations possibles qui sont notées dans le cadre des groupes de permutation de la manière suivante:
{(1), (1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} (9.55) Ce qui se lit dans l'ordre : application identitéid, 1 amène sur 2 ou 2 sur un 1, 1 amène sur 3 ou 3 sur 1, 2 amène sur 3 ou 3 sur 2, 1 amène sur 2 qui amène sur 3 qui amène sur 1, 1 amène sur 3 qui amène sur 2 qui amène sur 1.
Soit de manière plus explicite:
Nous pouvons observer facilement que la composition de deux permutations n'est pas commutative :
et que la composition de deux permutations est une loi interne :
(9.58) avec un élément neutre qui est bien l'identitéid. Nous avons donc bien un groupe non commutatif. Rappelons également au lecteur que certains éléments du groupe, s'ils sont bien choisis, peuvent former un sous-groupe. C'est l'exemple de : {(1), (1 2)} (9.59)
qui est un sous-groupe de (il est facile de vérifier qu'il possède toutes les propriétés d'un groupe).
Définition: Un sous-groupeH d'un groupeG est appelé "groupe distingué" si, pour toutg deG et
touth deH, nous avons qui est élément deH. Les mathématiciens appellent cela un "automorphisme intérieur"...
Voyons d'abord un exemple géométrique parlant après quoi nous reviendrons à cette définition
avec.
Exemple:
Nous avons vu plus haut les éléments du groupe de symétrie diédral d'ordre 3 du triangle équilatéral. Géométriquement ils correspondent tous à des déplacements du plan dans lequel se trouve le triangle. Nous avions obtenu pour rappel le tableau de composition suivant :
id
id id
id
id
id
id
id
Tableau: 9.3 - Compositions de transformations du tétraèdre
Tableau: 9.4 - Composition du groupe distingué
et nous voyons que le sous-groupe distingué est formé de :
(9.62) Définition: Pour tout sous-groupeH stable par les automorphismes intérieurs d'un groupeG, nous appelons "indice deH dansG" le quotient de l'ordre du groupeG par l'ordre du sous-groupeH et nous l'écrivons [G/H].
Par exemple, l'indice du sous-groupe {(1), (1 2)}dans le groupe est 6/2 c'est-à-dire 3. Ce concept nous sera très utile lors de notre introduction aux corps de Galois plus loin.
Considérons maintenant, la permutation particulière pour aborder le sujet sous un angle différent mais équivalent :
Les mathématiciens ont pour habitude de noter cela, dans un premier temps, sous la forme :
avec :
(9.65)
Etant donné et , deux permutations, il est naturel de regarder leur composition (rappelons que cela signifie d'abord , puis comme pour la composition de fonctions).
Ainsi, si :
et (9.66)
Alors :
et :
Maintenant, l'idée est d'interpréter la composition comme une multiplication de permutations. Cette multiplication est alors non-commutative comme nous venons de le constater dans l'exemple précédent. Nous avons en général.
Chaque bijection a un inverse (une fonction réciproque). Dans notre exemple il s'agit de évidemment de :
Géométrique, pour calculer l'inverse d'un élément , il suffit de prendre la réflexion du dessin de dans un axe horizontal comme le montre la partie gauche de la figure ci-dessous:
Définitions: D1. L'ensemble des permutations d'un ensemble avecn éléments, muni de cette structure de multiplication, s'appelle le "groupe des permutations d'ordren" ou "groupe des substitutions
d'ordren", et se note ou encoreS(n).
D2. Nous disons qu'un élément de est un "cycle d'ordrek", ou un "k-cycle", s'il
existe tel que :
- envoie sur , sur ,..., sur , et sur
- fixe tous les autres éléments de
En général, unk-cycle s'écrit donc comme produit dek-1 transpositions.
Définition: Soit une permutation. Nous disons que est "permutation paire" si, dans une écriture de comme produit de transposition, il y a un nombre paire de transpositions. Nous disons que est "permutation impaire" si, dans une écriture de comme produit de transpositions, il y a un nombre impaire de transpositions.
Finissons par un petit complément... Nous avons que est un groupe des permutations d'ordre 3 avec donc 3!=6 permutations possibles.
Si nous énumérons les 6 permutations nous avons vu que nous obtenons :
{(1), (1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)} (9.75)
Parmi ceux-ci seulement certains peuvent être écrit comme un produit pair de transpositions :
(1 2 3)=(1 2)(3 1) et (1 3 2)=(1 3)(2 1) (9.76) Les permutations paires forment avec la permutation identitéid, un sous-groupe (non commutatif)
que nous appelons le "groupe alterné d'ordren" et que nous notons. C'est facile de le vérifier avec l'exemple précédent.
