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Nouvelle Calédonie Novembre 2007 EXERCICE II. RADIOACTIVITÉ TELLURIQUE (6,5 points) Calculatrice interdite Les parties 1, 2 et 3 de cet exercice sont indépendantes.
1. Le compteur Geiger Müller Le tube compteur Geiger Müller, mis au point en 1928, est aujourd'hui encore un appareil indispensable pour la mise en évidence d'un rayonnement radioactif. Il est constitué d'un tube cylindrique rempli d'argon sous faible pression, dans lequel un fil conducteur est tendu le long de son axe (le schéma est représenté sur la figure 6a). Une tension U de quelques centaines de volts est appliquée en permanence entre la paroi cylindrique du tube, qui sert de cathode, et le fil, qui joue le rôle de l’anode via un conducteur ohmique de résistance R.
1.1. Circuit RC Le tube constitué de la paroi extérieure et du fil central, rempli d’argon, soumis à la tension U = 500 V, forme un condensateur de forme cylindrique, de faible capacité C = 1,0 10 –^11 F. L’association du tube et du conducteur ohmique constitue donc un circuit RC série schématisé sur la figure 6b ci-dessous. Par souci de simplification, le tube est modélisé par un condensateur plan.
Figure 6b 1.1.1. Sur le schéma électrique du circuit reproduit en ANNEXE , représenter la flèche tension uC aux bornes du condensateur en respectant la convention récepteur, q désignant la charge du condensateur. 1.1.2. Rappeler l’expression de l’intensité i du courant électrique en fonction de la charge q. En déduire la valeur de l’intensité I du courant, une fois que le condensateur a atteint sa charge maximale Q. Justifier. 1.1.3. Calculer la valeur de la charge Q du condensateur dans ces conditions. 1.1.4. En raisonnant sur le schéma simplifié de l’ ANNEXE , indiquer par des signes (+) et (-), la répartition des charges sur les armatures du condensateur lorsqu’il est chargé.
condensateur
A
B
conducteur ohmique
générateur haute tension continue
armature représentant le fil
armature représentant la paroi du tube
U
R conducteur ohmique
générateur haute tension continue
signal vers compteur d'impulsions
fil (anode)
paroi du tube (cathode)
source radioactive
Figure 6a
1.2. Impulsion de décharge Dans le tube, une particule émise par désintégration radioactive ionise des atomes d’argon sur sa trajectoire. Chaque atome ionisé donne naissance à deux particules : un ion argon et un électron. Les ions positifs dérivent vers la paroi du tube. Les électrons sont accélérés vers le fil et provoquent par collisions successives d’autres ionisations. Il en résulte alors une brève diminution de tension entre les électrodes du tube, appelée « impulsion de décharge ». Un compteur enregistre le nombre d’impulsions relevées pendant une durée de comptage donnée.
1.2.1. La durée moyenne d’une impulsion de décharge consécutive à la détection d’une
particule est t = 0,10 ms. Pour un bon fonctionnement du compteur Geiger Müller, la valeur de
la constante de temps du circuit RC vérifie la condition : = 2. t.
Calculer la valeur de la résistance R. 1.2.2. Montrer que la charge de l’anode diminue pendant la traversée de la particule. 1.2.3. Expliquer l’affirmation du texte : « Il en résulte alors une brève diminution de tension entre les électrodes du tube ». 1.2.4. Pour modéliser le phénomène, on considère que le passage de la particule dans le tube engendre N électrons et N ions argon. Montrer que la diminution de tension entre les bornes du condensateur est :
uC = N e.
C
avec e: charge élémentaire.
2. Le Radon « pollueur » des sous-sols Les roches de l’écorce terrestre renferment de l’uranium 238 radioactif. Après plusieurs désintégrations successives, il se forme du radon 222, principal responsable de la radioactivité dite tellurique. Ce radon s’échappe, à l’état gazeux, des roches et s’infiltre dans les fissures des fondations des bâtiments et s’accumule dans les locaux non ventilés.
2.1. Famille de l’uranium 238 Les descendants du radon 222 appartiennent à la famille décrite dans la figure 7 ci-dessous : chaque flèche pleine désigne une désintégration, les flèches en pointillés représentent une succession de désintégrations.
uranium 238 92 U
radium 226 88 Ra
plomb 214 82 Pb
bismuth 214 83 Bi
polonium 214 84 Po
plomb 210 82 Pb
radon 222 86 Rn
polonium 218 84 Po
plomb 206 82 Pb
bismuth 210 83 Bi
t1/2 = 3,1 min t1/2 = 27 min –
t1/2 = 160 μs
t1/2 = 3,8 j
t1/2 = 22 ans –
–^ t1/2 = 20 min
t1/2 = 4,5 milliards d'années
gaz radon
t1/2 = 1600 ans
plomb non radioactif
matériaux de la croûte terrestre
Figure 7
3.2. Le descendant (noyau fils) du noyau de plomb 214 est le noyau de bismuth 214, lui même
émetteur –.
On a tracé sur la figure 9 ci-dessous les courbes représentant l’évolution temporelle des nombres de noyaux d’un même échantillon renfermant à la fois des noyaux de plomb 214 et des noyaux fils de bismuth 214 descendants des noyaux de plomb qui se désintègrent.
3.2.1. Identifier les deux noyaux (plomb 214 et bismuth 214) correspondant à chacune des deux courbes (a) et (b) figure 9. Justifier ce choix en décrivant qualitativement l’évolution temporelle de la courbe (b). 3.2.2. Indiquer, en justifiant la réponse, quelle est l’équation différentielle qui régit dans ces conditions l’évolution temporelle du nombre de noyaux de bismuth 214. (1)^ d Bi Bi. Bi dt
^ N^ N (2)^ d Bi Pb. Pb Bi. Bi
dt
^ N^ N N (3)^ d Bi Pb. Pb
dt
N N
nombre de noyaux N
t en min
plomb 214 bismuth 214
0 50 100 150 200
N 0
0
Figure 8
nombre de noyaux
(^0) t (min)
Figure 9
(a)
(b)
Évolution temporelle des nombres de noyaux de plomb 214 et de son descendant le bismuth 214
ANNEXE À RENDRE AGRAFÉE AVEC LA COPIE
ANNEXE DE L’EXERCICE II
Question 1.1.1. :
C
A
B
conducteur ohmique
générateur haute tension continue
i
q
U
R
condensateur
