Scarica 2 condensatori e circuiti e più Dispense in PDF di Fisica solo su Docsity!
Condensatore Due conduttori isolati di forma arbitraria costituiscono le armature di un condensatore. '
\
In un condeusatore carico la carica totale +q di un'armatura induce ( induzione completa ) sull'altra armatura una uguale quantit di carica -q di segno opposto. Si assume come carica del condensatore il valore assoluto q. Ciascuna armatura conduttrice ( equipote ziale ) si trova a un potenziale V:L proporzionale alia carica ±q, Sia¥ la differenza di potenziale V+-V_ fra le due armature ( equivalente a porre = 0 e V+= V ).
La carica q e la differenza di potenziale V sono proporzionali fra di Ioro q -- CV
La costante di proporzionalit C, che dipende dalla geometria delle armature, chiamata ' capacit& elettrica del condensatore C -- L] V L'unit di misura della capacit nel SI 6 il farad ( F ) = coulomb / volt [7=w C V Sottomultipli del farad mF = 10-3 F, t F = 10-6 F, nF = |0"9 F, pF = I04z ] '.
! ±
Capacit& di un condensatore piano
POI'OOI'SO d' hltegrazione
Un condensatore piano costituito da due armature plane parallele, poste a distanza d molto piccola, cosi da rendere trascurabili gli effetti ai bordi del campo elettrico. La carica tq e distribuita uniformemente sulla superficie interna di area A di ciascuna armatura: il campo elettrico costante e normale alle armature. Per determinate il campo elettrico ,, si applica la legge di Gauss a una superficie gaussiana cilindrica che racchiude tutta la carica +q dell'armatura positiva.
=EA =q E- q - go %A o
La differenza di potenziale V viene calcolata integrando dall'armatura negativa alia positiva. V=V+-V =- E.ds=E ds=Ed
Capacit& di un condensatore piano C = q = q-- s°A q^ C - v'°A
V Ed q d d
Condensatori in parallelo
La carica totale q •
Nel collegamento in parallelo i condensatori di capacit& C1, C2 , C sono connessi alia stessa differenza di potenziale V della batteria. ql =CIV q2 =C2V q3 =C3V q = q, +% +% = (CI +C2 +C3)V Pi condensatori in parallelo equivalgono ad un unico condensatore di capacit C ,l, con carica q e differenza di potenziale V. Coq = q =CI+C2+C3V
11 Ceq = ZCi i=i Condensatori in serie
K) I"
v'l', }4C! ',
v :,.l<<--->!i: 2 -qiCz ',q I +ql " 7 [<
os,rom, do,,oca,oo,.
Vl - q V2=q-g- V =q-q
Cj C2 C
Nel collegamento in serie i condensatori sono connessi a catena e la differenza di potenziale V viene applicata dalla batteria agli I condensatori hanno la stess carica q. V = V +V2 +V3 = q --+-^ l^ 1 + _1_1 ) CI C2 (^) c,) Pi i condensatori in serie equivalgono ad tin unico condensatore di ca )acit& Ce,i, con carica q dei singoli condensatori e differenza di potenziale V pari alia somma delle Ioro
differenze di potenziale. 1 1 - I- 1 q 1
Coq CI C2 C
1 n 1 Coq Cii=t
Condensatore con dielettrico Se Io spazio tra le armature di un condensatore carico con la carica q viene riempito con un dielettrico, materiale isolante come olio minerale o plastica, il suo campo elettrico E cambia. Una lastra di dielettrico immersa ill un campo elettrico esterno E polarizza le sue molecole. L'effetto complessivo 6 il costituirsi di due distribuzioni di carica superficiale negativa e positiva sulle facce della lastra, le quali generano un campo elettrico che si oppoae a E. Per determinare il campo elettrico [?, in un condensatore piano con dielettrico, si applica la legge di Gauss a una superficie gaussiana che racchiude ta cafica +q deWarmatura positiva e la carica negatlva -(1 della supellicie del dielettrico.^ '^ I
,|
÷
=EA= q-q' E - q-q' q E°
-= .... 1"/t^ 8o^ 8oA^ 8rgoA^ S,,
II campo elettrico o, dovuto solo alia carica +(t sull'armatura, 6 il campo che si avrebbe senza dielettrico, il quale viene ridotto
In generale risulta per la capacit :
dalla costante dielettrica relativa I;r ( g,.> I ).
Cai = g,.C ,,ot° Caiel q q = E-7 = E0 -- ,,,,o,o"q " C
Corrente elettrica
i
Una batteria genera ai terminali + e - una differenza di potenziale Y -- V+ - V. Se i terminali sono connessi a un filo conduttore, si instaura lungo il filo un moto di elettroni: attraverso una sezione del filo passa una carica dq nell'intervallo di tempo dt. Si definisce corrente J la grandezza scalare • i= d_q_q dt (^) C L'unit di misura della corrente nel SI e I'amp re ( A ) -- coulomb / secondo A =- S
2)' " (t,z
Si assume come verso della corrente i quello del moto delle cariche positive, anche se gli effettivi portatori di carica sono elettroni. Poich6 la carica si conserva, la corrente i0 entrante nel nodo a # uguale alia corrente totale uscente it+ i2" (^) 10 = 11 4-12J^ p
ka corrente si dice continua se la sua intensit e it sue verso non variano ne) tempo.
Legge di Ohm
La corrente i che attraversa Un conduttore, varia al variare
della differenza di potenziale V applicata ai suoi estremi.
II rapporto V / i rimane costante ed uguale ad una
grandezza caratteristica del conduttore : la resistenza R.
R----^ V^ La resistenza R esprime una propriet& del
j mezzo nell'opporsi al fluire delle cariche.
L'unit di misura della resistenza nel Sl 6 I'ohm ( ) = volt / amp6re V A La resistenza R di un conduttore in generale aumenta al crescere della sua temperatura.
Legge di Ohm " la differenza di potenziale V ai capi di un conduttore
di resistenza R e proporzionale alta corrente i che Io attraversa. V =Ri
Un dispositivo conduttore obbedisce alia legge di Ohm quando la sua resistenza R 6 indipendente dal valore e dalla polarit& della differenza di potenziale V applicata.
Generatore di forza elettromotrice
Un generatore di forza elettromotrice un dispositivo, ad es. una batteria, che, compiendo lavoro sui portatori di carica, mantiene una differenza di potenziale fra i suoi terminali + e -. Nell'intervallo di tempo tit, la quantit& di carica dq viene portata all'interno del generatore dal terminale a potenziale minore V_ a quello a potenziale maggiore V+ : il generatore compie il lavoro dL sulla carica dq.
Si definisce forza elettromotrice ( f. e. m. ) del generatore il lavoro per unit& di carica che esso compie nel portare le cariche dal terminale V_ al terminale V+ dL dq
i
i
L'unit& di misura della f. e. m nel SIe il volt (V V=- J
C
i
(/, \ . f i
t,
Calcolo della corrente in circuiti elettrici Nel circuito a maglia singola una batteria B di f.e.m. collegata con fill di resistenza nulla ad una resistenza R; la corrente i determinata dai valori di e R. Per calcolare i si utilizza il metodo del potenziale, andando a rilevare su un percorso chiuso le differenze di potenziale tra gli elementi del circuito.
Legge delle maglie : la somma algebrica delle differenze di potenziale rilevate su un
circuito chiuso in un giro complete nulla. Regola della f.e.m. : se si passa attraverso un generatore di f.e.m, nella direzione di incremento del potenziale, la variazione di potenziale + , nella direzione opposta -. Regola della resistenza : se si passa attraverso una resistenza nel verso della corrente, per la legge di Ohm, la variazione di potenziale 6 - i.R, nel verso opposto +i.R.
Si percorre il circuito nel verso orario indicato, padendo dal punto tt; si sommano tutte le variazioni di potenziale rilevate fino ad i, ricordando che i fill di co}legamento hanno resistenza null&
iR = 0 i=- R
%1 2 Circuito elettrico a pie maglie
"
Rl lt. ,.^ , <;
Nel circuito a due maglie ci sono due nodi, in b e in d, e
tre rami che collegano i due nodi: il ramo bad, percorso
l i datla corrente i1 , il ramo hal, percorso dalla corrente i3 , il
tame hod, percorso dalla corrente i ,. Le direzioni delle correnti sono state scelte arbitrariamente. Affinch6 non vi ........ : ................. sia un accumulo di carica ai nodi, si pu6 affermare " d (^) Legge dei nodi ' La somma delle correnti che entrano in un nodo uguale alia somma delle correnti che escono dal nodo stesso. Per caicolare le correnti i], i2 , i3 necessario utiiizzare assieme alia legge delle maglie, che si basa sul principio di conservazione dell'energia, la legge dei nodi, che si fonda sul principio di conservazione della carica elettrica. Si ettengono tre equazioni indipendenti.
Leggedeinodiapplicataalnodod: iI q.i3 ---i2 alnodob: i2 =ij +i
Legge delle rnagtie applicata atla maglia had in senso antiorario : - ijR + i3R3 = 0
Legge delle maglie applicata alia maglia bdc in sense antiorario : - i3]: 3 - i2R2 - = 0
Legge delle maglie applicata alia maglia bade in senso antiorario : :l - i R w - i2R2 - :2 = 0
Resistenze in parallelo
i 2 + t
Lc- ................
Nel collegamento in paratleto le resistenze R1, R2, R3 sono connesse atla stessa differenza di potenziale V a = mantenuta dalta batteria. Attraverso le resistenze passano le correnti i , i2 , i3 ; la batteria fornisce la corrente i.
Per la legge delle maglie : = i R = i2R2 = i3R
il i2 i3^ € R1 R2 R Per la legge dei nodi applicata al nodo a • i=11+12+13 i= ; R R
c + li
t L_._J
t b
(^1) - (^1) t 1 +- 1 Req RI R2 R
Pi0 resistenze in parallelo equivalgono ad un'unica resistenza equivalente Req. i---^ £ R (^) eq ] l 1 Rcq '= "
Circuito RC Carica di un condensatore
I I L , |, r, i t , 1 i ,r.,
Una batteria di f.e.m. 6 collegata mediante il deviatore S a una resiatenza R connessa in serJe con un condensatore di capacit& C, inizialmente scarico. AIl'istante iniziale t = 0 viene
chiuso il contatto di S in a, la corrente i = dq/dr fornita datla
batteria, passando attraverso R, va a caricare il condensatore C. II processo di carica termina quando Vc = qr/C =. Essendo ai capJ dJ C la variazione di potenziale -Vc =-q/C, per la legge delle maglie risulta: ;- i(t)R^
q(t)0 dq(t) t q(t)= g_ C dt RC R Per ottenere la carica q(t) si integra, separando le variabili, I'equazione differenziale fra I'istante iniziale t = 0, con q = 0, e !'istante generico t :
E I:
In
dq(t)_ ; q(t) dt R RC {; q(t)" R RC t {; RC R 12
4 0 2 4 6 8 10 Tempo (ms)
iC'g q(t)= C{; l-e ,i-d / t/
(t) dq' ,£ q, - dt' R RC
RC
T = RC costante di tempo
( F = s )
Per t -- co, q -- qr= C carlca finale sul condensatore; per t = x, q(t) = 0.63 qr.
<i, g
La corrente di carica i(t) si ot[iene derivando q(t) •
i(t)= - --e Rc^ dq(t) {; t dt R
0 2 4 6 8 t 0 Temp (ms)
Per t = 0, i = {;/R" il condensatore scarico si comporta come un conduttore di resistenza nulla,
Potenza erogata dal generatore (^) Lavoro totale fornito dal generatore
P ¢. = {;i =--e RC^ {;2^ t R
PI = Ri 2 = __ e Re^ {;2 _SZ
R
Potenza dissipata nelia resistenza
o Lavoro dissipato nella resistenza
fj
roa {;2^ 2t^ {;2^ RC^ 2t 1
Lr J, P, (tt --.ur e-' -Tdt=^ =^ -^ e Rc^ = _C{;
R R 2 o 2 Potenza spesa per caricare il condensatore Pc = Vci-^ i(t)= {; 1-e R-C - -e ,,c --e , c RC = Pgon Pa R R Lavoro speso per immagazzinare energia nel condensatore 2 ic 2=
