Algebra e Geometria
Secondo appello, 9 gennaio 2011 - Tema A
Motivare adeguatamente ogni risposta.
1. Sia Ala matrice
A=
1 0 −1 0
1 2 1 0
0 0 0 0
0 0 1 1
.
(a) Determinare una base degli spazi colAe nullA.
(b) Sapendo che X0= [1 1 1 1]T`e una soluzione particolare del sistema
AX =b, con b∈R4, determinare tutte le soluzioni del sistema
AX =b.
2. Sia Vil sottospazio vettoriale di R4generato dai vettori v1, v2, v3, v4
(colonne della matrice Adell’esercizio (1))
v1=
1
1
0
0
;v2=
0
2
0
0
;v3=
−1
1
0
1
v4=
0
0
0
1
.
Determinare una base ortogonale di V.
3. Siano vewvettori non nulli di Rn. Provare che se l’insieme {v, w}`e
ortogonale allora `e anche linearmente indipendente.
4. Al variare di t∈R, si consideri la matrice At
At=
1 0 0
t3 (3 −t)
0 0 3
.
(a) Determinare gli autovalori di At.
(b) Si dica per quali valori di tla matrice `e diagonalizzabile su R.
(c) Per t= 3 determinare una matrice invertibile Ptale che P−1AP sia
diagonale.
(d) Esiste un valore tper cui la matrice Pdel punto precedente pu`o
essere scelta ortogonale?
5. (a) Si scrivano le propriet`a che deve soddisfare una trasformazione ftra
due spazi vettoriali VeW, su un campo K, per essere lineare.
(b) Si consideri ora la trasformazione f:Mn,n(R)→Mn,n (R) definita
da f(A) = A−AT. Provare che f`e lineare.
(c) Si dica, motivando la risposta, se f`e iniettiva.
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