note geometria ed algebra, Dispense di Algebra

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Universit`a degli Studi di Lecce

Facolt`a di Ingegneria

Giuseppe De Cecco

Raffaele Vitolo

NOTE

DI

GEOMETRIA ED ALGEBRA

Versione del 20 gennaio 2007

ANNO ACCADEMICO 2000-

2

Informazioni legali: Quest’opera e un esemplare unico riprodotto in proprio con il metodo Xerox presso il Dipartimento di Matematica dell’Universita di Lecce. Sono stati adempiuti gli obblighi previsti dal D. L. L. 31/8/1945 n. 660 riguardanti le pubblicazioni in proprio.

Nota: Questo libro viene rilasciato gratuitamente agli studenti della Facolta di Ingegneria dell’Universita di Lecce ed a tutti quelli che fossero interessati agli argomenti trattati mediante Internet nella convinzione che il patrimonio culturale in esso contenuto debba essere reso disponibile a tutti al minor costo possibile. Gli autori concedono completa libert`a di riproduzione (ma non di modifica) del presente testo per soli scopi personali e/o didattici, ma non a fini di lucro.

Indirizzo degli autori. Giuseppe De Cecco, Raffaele Vitolo, Universit`a di Lecce, Dipartimento di Matematica, via per Arnesano, 73100 Lecce [email protected] [email protected]

 - Introduzione 

• 1 Premesse
  • 1.1 Strutture algebriche - 1.1.a Legge di composizione - 1.1.b Gruppo - 1.1.c Relazioni binarie - 1.1.d Anello - 1.1.e Campo
  • 1.2 Matrici - 1.2.a Definizioni - 1.2.b Operazioni su matrici
  • 1.3 Determinanti - 1.3.a Permutazioni - 1.3.b Determinante - 1.3.c Matrici invertibili - 1.3.d Rango di una matrice
  • 1.4 Sistemi lineari
• Parte I: Geometria analitica
• 2 Vettori dello spazio ordinario
  • 2.1 Definizioni - 2.1.a Spazio V - 2.1.b Somma di vettori - 2.1.c Differenza di vettori - 2.1.d Prodotto di un numero reale per un vettore
  • 2.2 Dipendenza ed indipendenza lineare - 2.2.a Dipendenza lineare - 2.2.b Indipendenza lineare - 2.2.c Significato geometrico
  • 2.3 Cambiamenti di base
  • 2.4 Altre operazioni in V
    • 2.4.a Prodotto scalare
    • 2.4.b Prodotto vettoriale
    • 2.4.c Prodotto misto
• 3 Geometria analitica dello spazio
  • 3.1 Piano
    • 3.1.a Piano: equazione cartesiana
    • 3.1.b Piano: equazioni parametriche
    • 3.1.c Mutue posizioni di piani
  • 3.2 Retta
    • 3.2.a Retta: equazioni cartesiane
    • 3.2.b Retta: equazioni parametriche
    • 3.2.c Retta nel piano
    • 3.2.d Mutua posizione tra rette e piani
    • 3.2.e Rette sghembe
  • 3.3 Fasci e stelle
  • 3.4 Superficie e curve
    • 3.4.a Definizioni
    • 3.4.b Curve piane
    • 3.4.c Sfere e circonferenze
    • 3.4.d Coni e cilindri
    • 3.4.e Superficie di rotazione
    • 3.4.f Retta tangente ad una curva
    • 3.4.g Piano tangente ad una superficie
    • 3.4.h Coordinate cilindriche
    • 3.4.i Coordinate sferiche
    • 3.4.j Cambiamenti di riferimento
• Parte II: Algebra Lineare
• 4 Spazi vettoriali
  • 4.1 Spazi vettoriali
    • 4.1.a Definizione
    • 4.1.b Sottospazi vettoriali
    • 4.1.c Somma e somma diretta
    • 4.1.d Dipendenza ed indipendenza lineare
    • 4.1.e Sottospazi generati
    • 4.1.f Basi e dimensione
    • 4.1.g Relazione di Grassmann
    • 4.1.h Rango di un insieme di vettori
  • 4.2 Funzioni tra spazi vettoriali
    • 4.2.a Preliminari
      • 4.2.b Applicazioni lineari
      • 4.2.c Isomorfismi
      • 4.2.d Matrici ed applicazioni lineari
      • 4.2.e Cambiamenti di base
      • 4.2.f Sistemi ed applicazioni lineari
  • 4.3 Autovalori ed autovettori - 4.3.a Definizioni - 4.3.b Polinomio caratteristico - 4.3.c Endomorfismi semplici
• 5 Spazi vettoriali euclidei
  • 5.1 Forme bilineari e forme quadratiche - 5.1.a Forme bilineari - 5.1.b Forme quadratiche
  • 5.2 Prodotti scalari - 5.2.a Definizione - 5.2.b Ortonormalizzazione - 5.2.c Complemento ortogonale - 5.2.d Applicazione aggiunta - 5.2.e Endomorfismi simmetrici - 5.2.f Caso particolare n = 2: le coniche - 5.2.g Caso particolare n = 3: le quadriche
  • 5.3 Trasformazioni ortogonali - 5.3.a Definizione - 5.3.b Gruppo ortogonale - 5.3.c Movimenti
    • Bibliografia

Introduzione 7

in cui viene data la nozione generale di spazio vettoriale e di applicazione lineare. La moderna definizione di spazio vettoriale e stata introdotta da G. Peano nel 1888. Ogni capitoloe corredato di esempi e di esercizi svolti o proposti; altri si trovano nel testo di esercizi [4]. Il testo di esercizi, a sua volta, deve essere considerato non come un corso a s´e stante, ma come parte integrante della teoria. Consigliamo vivamente di svolgere tutti gli esercizi proposti per un dato argomento solo dopo aver studiato e capito quest’ultimo. Inoltre, per una piena comprensione della teoria, e indispensabile completare tutte le semplici dimostrazioni lasciate al lettore. Imparare a fare gli esercizi senza conoscere la teoria (“preparare lo scritto”) significa solo imparare a memoria alcune tecniche, senza possedere la versatilita necessaria a dominare tutte le situazioni. Analogamente, non basta studiare la Matematica, occorre capirla e poi saperla utiliz- zare. Buona parte di cio che si studiera in questo corso verra applicata durante i corsi di tipo ingegneristico degli anni successivi; tuttavia, none un atteggiamento corretto quello di pensare che alcune parti del programma non servano a niente. La Matematica e essenzialmente capacita di creare una rete di risultati logici, passando anche attraverso risultati apparentemente inutili; ma se tagliamo quelli inutili, la rete si frantuma. Potremmo anche dire qual e la matematica applicata, cioe quella che e stata applicata, ma non potremmo certamente dire quale sara applicabile. Anzi, se guardiamo alla storia, non sbaglieremo prevedendo che tutta, anche quella piu astratta, potra essere usata per spiegare fenomeni naturali e per progettare prodotti tecnologici sofisticati. Samuel Ting, premio Nobel per la Fisica nel 1976, cos`ı si esprime:

Tutti sono d’accordo che la qualita della vita e il benessere della societa nei paesi industrializzati (..) si basano su ritrovati di tecnologie. Cio che viene dimenticato sta nel fatto che le basi di questi ritrovati furono messe qualche tempo fa dagli scienziati i quali furono spinti dalla curiosita e non dalle promesse del mercato.

(da Research of Today is the Technology of Tomorrow )

Concludiamo con un avvertimento, dettato dalla nostra esperienza di insegnanti, che hanno esaminato tanti studenti. La matematica non solo va studiata e capita, ma va anche esposta correttamente: innanzitutto le definizioni e poi le dimostrazioni dei teoremi, cercando di sottolineare quando vengono usate le ipotesi.

Spesso si presume di aver capito, ma manca ancora la naturalezza o addi- rittura la coerenza dell’esposizione. Naturalmente, tale esercizio e molto piu produttivo se e effettuato con un’altra persona. Lo studio isolatoe comunque pericolosissimo per i timidi, perch´e leggono in silenzio, poi ripetono in silenzio, poi sostengono l’esame in silenzio [7].

Giuseppe De Cecco Raffaele Vitolo

8 Introduzione

Ringraziamenti. Ringraziamo l’Universit`a di Lecce ed il Dipartimento di Matematica per aver concesso l’uso delle proprie strutture ed apparecchiature. Ringraziamo anche tutti gli studenti che hanno contribuito a questo testo correggendone molti errori e sviste. R. Vitolo ringrazia A. Blandolino per aver messo a disposizione i propri appunti presi a lezione. Queste note sono state scritte in LATEX2e con l’estensione amsmath della American Mathematical Society e l’estensione diagrams scritta da P. Taylor.

10 Capitolo 1. Premesse

Esempi ed esercizi.

• La sottrazione non `e una legge di composizione associativa poich´e

a − (b − c) 6 = (a − b) − c.

• Se a ∗ b = ab, l’operazione ∗ `e associativa?
• Considerata in R la seguente legge di composizione interna

a ∗ b = (a + b)/ 2 ,

vedere se ∗ `e associativa e calcolare an^ = a ∗... ∗ a (n volte).

Come `e noto ∀a ∈ R

a + 0 = 0 + a = a a · 1 = 1 · a = a ,

quindi sinteticamente possiamo scrivere che

∀a a ∗ u = a ,

dove u = 0 se ∗ e l’addizione, u = 1 se ∗e la moltiplicazione.

1.1.b Gruppo

Un gruppo (G, ∗) `e un insieme G con una legge di composizione ∗ in G tale che

1. Per ogni terna di elementi a, b, c ∈ G si ha

a ∗(b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c , propriet`a associativa.

2. Esiste un elemento u ∈ G tale che ∀a ∈ G si ha

a ∗ u = u ∗ a = a , esistenza dell’elemento neutro.

3. Ogni elemento a ∈ G possiede un elemento a′^ ∈ G tale che

a ∗ a′^ = a′^ ∗ a = u , esistenza dell’elemento simmetrico.

Si dimostra che u ed a′^ sono unici. Se oltre agli assiomi (1), (2), (3) vale l’assioma

4. ∀a, b ∈ G a ∗ b = b ∗ a , propriet`a commutativa,

1.1. Strutture algebriche 11

allora il gruppo si dice commutativo o abeliano^1. Si dice che (G′, ∗) e un sottogruppo di (G, ∗) se G′^ ⊂ Ge un gruppo rispetto alla stessa operazione in G.

Esempi ed esercizi.

• (Z, +), (Q, +) sono gruppi e (Z, +) `e un sottogruppo di (Q, +);
• (Z, ·), (Q, ·) non sono gruppi;
• (Q∗, ·), dove Q∗^ = Q r { 0 }, `e un gruppo.
• Sia G = { 1 , − 1 , i, −i} ⊂ C. Provare che (G, ·) e un gruppo, dove ·e l’usuale moltiplicazione tra i numeri complessi.
• (R^2 , +) `e un gruppo, dove

(a 1 , a 2 ) + (b 1 , b 2 ) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 ).

Si osservi che al primo membro + `e definita in R^2 , mentre al secondo membro in R.

• L’insieme dei movimenti del piano (o dello spazio) forma un gruppo rispetto alla composizione delle applicazioni.

1.1.c Relazioni binarie

Una relazione binaria R da un insieme A ad un insieme B `e un sottoinsieme S di A × B. Se a ∈ A e b ∈ B,

a R b ⇔ (a, b) ∈ S.

Un tipico esempio di relazione da A a B `e il grafico di una funzione f : A → B, dove

S = {(a, f (a)) | a ∈ A} ⊂ A × B.

Se A = B, una relazione binaria in A si dice relazione d’equivalenza e si indica col simbolo ∼, se ∀a, b, c ∈ A essa soddisfa le seguenti propriet`a:

1. a ∼ a, propriet`a riflessiva
2. a ∼ b ⇒ b ∼ a, propriet`a simmetrica
3. a ∼ b, b ∼ c ⇒ a ∼ c, propriet`a transitiva.

(^1) dal nome del matematico norvegese Niels Abel (1802–1829)

1.1. Strutture algebriche 13

2. la legge · `e associativa;
3. per ogni a, b, c ∈ A valgono le uguaglianze a·(b+c) = a·b+a·c, (b+c)·a = b·a+c·a (propriet`a distributiva).

L’anello A e detto commutativo se ·e commutativa, `e detto unitario se · possiede un elemento neutro.

Esempi.

• (Z, +, ·) `e un anello.
• Un polinomio p(x) a coefficienti in C `e un’espressione del tipo

p(x) = anxn^ + · · · + a 1 x + a 0 , ai ∈ C, n ∈ N.

Se an 6 = 0, si dice che p(x) ha grado n. In particolare, un polinomio di grado 0 e una costante non nulla; il grado del polinomio nullo (che ha tutti i coefficienti nulli) none definito, oppure, per convenzione, si pone uguale a −∞. Indichiamo con∑ C[x] l’insieme di tutti i polinomi a coefficienti in C. Se p(x) = n i=0 aix

i (^) e q(x) = ∑m j=0 bj^ x

j (^) sono due elementi di C[x], poniamo, per m ≥ n,

p(x) + q(x) =

∑^ m

h=

(ah + bh)xh,

p(x) · q(x) =

n∑+m

h=

i+j=h

aibj

xh.

Si vede facilmente che (C[x], +, ·) `e un anello.

Osservazione 1.1. Si dice che x = α e una soluzione di molteplicita algebrica k dell’equazione algebrica p(x) = 0 se il polinomio p(x) e divisibile per (x − α)k^ ma none divisibile per (x − α)k+1, cioe ke il massimo esponente per cui

p(x) = (x − α)kq(x),

quindi q(α) 6 = 0.

1.1.e Campo

Un campo (K, +, ·) `e un insieme K (non vuoto) con due leggi di composizione interna indicate con + e · tali che

1. (K, +) `e un gruppo abeliano (il cui elemento neutro indichiamo con 0).
2. (K∗, ·) `e un gruppo abeliano (dove K∗^ = K r { 0 }).

14 Capitolo 1. Premesse

3. ∀a, b, c ∈ K vale la propriet`a distributiva di · rispetto a +:

a · (b + c) = a · b + a · c , (b + c) · a = b · a + c · a.

Dunque (K, +, ·) `e anche un anello commutativo.

Esempi ed esercizi.

• Sono campi Q, R, C. Il campo Q `e quello caratteristico dell’Informatica, poich´e i numeri reali che si considerano hanno sempre un numero finito di cifre.
• C e molto importante, essendo algebricamente chiuso, cioe ogni polinomio (non costante) a coefficienti in C ammette una radice in C (e di conseguenza tutte le sue radici appartengono a C). E questo il contenuto del Teorema Fondamentale` dell’Algebra (dovuto a Gauss)
• Se K e un campo, l’insieme dei polinomi a coefficienti in Ke un anello, indicato con K[x], se denotiamo con x l’indeterminata.

1.2 Matrici

1.2.a Definizioni

Sia K un campo. Si chiama matrice ad m righe ed n colonne a coefficienti in K una tabella del tipo seguente:

A =

a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n

................... am 1 am 2... amn

dove gli elementi appartengono a K. L’elemento generico di A e aij , cioe l’elemento che si trova sull’i-esima riga e j-esima colonna. In breve si scrive

A = (aij ) i = 1, 2 ,... , m; j = 1, 2 ,... , n.

Se m 6 = n la matrice si dice rettangolare, se m = n si chiama quadrata, ed n `e detto ordine di A. Se m = 1 la matrice si dice vettore riga, se n = 1 la matrice si chiama anche vettore colonna. Indichiamo con Km,n^ l’insieme di tutte le matrici ad m righe ed n colonne a coefficienti in K. Se A = (aij ) e B = (bij ) ∈ Km,n, allora

A = B ⇔ aij = bij ∀i, j.

16 Capitolo 1. Premesse

La matrice O avente tutti gli elementi 0 `e la matrice nulla, e soddisfa

A + O = A ∀A ,

e l’opposta di A e la matrice A′^ = −A, dove a′ ij = −aij ∀i, j. Quindi (Km,n, +)e un gruppo abeliano.

Esercizi.

• Dimostrare che t(A + B) = tA + tB e t(λA) = λ tA.
• Se A ∈ Kn,n, provare che

A˜ =^1

(A + tA) `e simmetrica;

A¯ =^1 2

(A − tA) `e antisimmetrica;

A = A˜ + A .¯

La matrice A e moltiplicabile (righe per colonne) per la matrice B se A ∈ Km,n^ e B ∈ Kn,r. La matrice prodotto di A e Be la matrice C = AB ∈ Km,r, con C = (cik) dove

cik = ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k + · · · + ainbnk =

∑^ n

j=

aij bjk

e il prodotto della riga i-esima di A per la colonna k-esima di B. Si noti che in generale non ha senso anche la moltiplicazione BA. Tuttavia, anche nel caso quadrato puo accadere AB 6 = BA.

Due matrici si dicono permutabili se AB = BA.

Esempio.

A =

, B =

AB =

= BA.

Si osservi che si pu`o avere AB = O senza che A o B siano matrici nulle. In tal caso A e B si dicono divisori dello zero.

Si vede facilmente che la matrice unita Ie tale che

AI = A = IA ∀A.

1.2. Matrici 17

La moltiplicazione tra matrici soddisfa alle regole

A(BC) = (AB)C , (A + B)C = AC + BC , A(B + C) = AB + AC ,

dunque (Kn,n, +, ·) `e un anello (ma non un campo).

Esempi ed esercizi.

• Se A = (1, 0 , 3) allora

tA =

 (^) e AtA = (10) , tAA =

• Provare che t(AB) = tBtA.
• Se A ∈ Km,n, provare che A˜ = AtA e A¯ = tAA sono simmetriche.
• Si osservi che se A e B sono simmetriche, in generale AB non `e simmetrica: ( 0 1 1 0

Se A `e una matrice quadrata, allora

A^2 = AA,... , Ah^ = Ah−^1 A.

Se AB = BA, allora (AB)k^ = AkBk. Questo non e vero, in generale, se AB 6 = BA. Una matrice A ∈ Kn,n^e detta ortogonale se

tAA = I = AtA.

Esercizi.

• Trovare tutte le potenze della matrice C =

0 0

• Trovare tutte le potenze della matrice

A =

√^0 1

• Provare che la matrice del punto precedente `e ortogonale.

1.3. Determinanti 19

Nota. Le matrici sono molto utili in matematica: permettono di semplificare compli- cate espressioni considerando tutta la tabella come un unico ente. Le matrici intervengono nella schematizzazione di molti fenomeni, dipendenti da un numero finito di parametri. Sono nella pratica molto usate nei problemi di decisione, nei quali e necessario procedere ad una scelta tra diversi modi di agire, ossia tra piu strategie. Come vedremo piu avanti, se vogliamo risolvere un sistema di equazioni lineari, basta conoscere la matrice associata, cioe la matrice ci da tutte le informazioni necessarie per risolverlo. La matricee quindi la mater matris, la parte essenziale. La denominazione matrice `e dovuta al matematico inglese J. J. Sylvester (1814–1897).

1.3 Determinanti

Storicamente la teoria dei determinanti di una matrice quadrata e nata in relazione allo studio dell’eliminazione delle incognite in un sistema di equazioni lineari. Gia nelle scuole secondarie `e stata introdotta la nozione di determinante di una matrice quadrata:

A =

a b c d

; det A = ad − bc.

Vogliamo ora estendere questo concetto a matrici quadrate di ogni ordine.

1.3.a Permutazioni

Sia S un insieme. Si chiama permutazione di S ogni corrispondenza biunivoca di S in s´e. Se S e finito e card(S) = n, allora tutte le permutazioni di S sono n!. Esse si possono pensare come permutazioni (σ(1), σ(2),... , σ(n)) dell’insieme numerico { 1 , 2 ,... , n}. La permutazione (1, 2 ,... , n)e chiamata fondamentale. Ogni permutazione σ si puo ottenere dalla fondamentale tramite scambi, ovvero permutazioni di due soli elementi. Se il numero di scambi della permutazione σe pari porremo (σ) = 1, se `e dispari (σ) = −1.

Esempio. σ = (3, 2 , 1):

(3, 2 , 1) → (3, 1 , 2) → (1, 3 , 2) → (1, 2 , 3).

Il numero di scambi e 3, quindi (σ) = −1. Se percorriamo un’altra strada il numero di scambi potra essere diverso, ma sempre dispari.

1.3.b Determinante

Definizione 1.1. Se A = (aij ) ∈ Kn,n, chiamiamo determinante di A

det A =

σ

(σ) a 1 σ(1)a 2 σ(2)... anσ(n) ,

20 Capitolo 1. Premesse

dove la sommatoria `e estesa a tutte le n! permutazioni dei numeri 1 , 2 ,... , n.

Naturalmente, se n = 1 si avr`a det A = a 11. Se n = 2, le permutazioni sono soltanto (1, 2) e (2, 1), quindi det A = a 11 a 22 − a 12 a 21 ,

e se n = 3

det A = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 + a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a 33 ,

che molti riconosceranno come formula di Sarrus (valida solo per n = 3). Per n qualsiasi il calcolo e laborioso. Soccorre pero una regola di calcolo dovuta a Laplace. Fissato un elemento aij di A, si chiama minore complementare di aij la sottomatrice di A di ordine n − 1, ottenuta cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna. Si chiama complemento algebrico di aij o cofattore di aij

Aij = (−1)i+j^ det(minore complementare di aij ).

Teorema 1.1 (Laplace). Sia A una matrice quadrata di ordine n. Allora

det A = ar 1 Ar 1 + · · · + arnArn ,

dove r `e una fissata riga (scelta arbitrariamente), oppure

det A = a 1 cA 1 c + · · · + ancAnc ,

dove c `e una fissata colonna (scelta arbitrariamente).

Questa regola pu`o essere assunta anche come definizione ricorsiva di determinante:

|A| = det A =

a 11 se n = 1 ∑ i aij^ Aij^ =^

j aij^ Aij^ se^ n >^1

Quindi det `e un’applicazione da Kn,n^ a K. Dal teorema di Laplace segue immediatamente che

1. det A = det tA;
2. se la matrice B si ottiene da A moltiplicando una linea di A per un numero reale k, lasciando invariate le altre linee, allora det B = k det A.

Esempi ed esercizi.

• Se I ∈ Kn,n, allora det I = 1, det(−I) = (−1)n.
• Provare con un esempio che, in generale, det(A + B) 6 = det A + det B.
• Provare che per k ∈ K si ha det(kA) = kn^ det A.