Algebra e geometria lineare, Dispense di Algebra Lineare e Geometria Analitica

Scarica Algebra e geometria lineare e più Dispense in PDF di Algebra Lineare e Geometria Analitica solo su Docsity!

Capitolo 4 Spazi Vettoriali e Sottospazi Vettoriali 4.1 Spazi vettoriali Introduciamo in questo paragrafo la definizione di spazio vettoriale, concetto su cui si basa l’algebra lineare. Nel testo si studieranno, salvo avviso contrario, solo gli spazi vettoriali costruiti sul campo dei numeri reali, cioè solo spazi vettoriali reali. Cenni sugli spazi vettoriali complessi sono stati inseriti nci paragrafi “Per saperne di più”. La definizione di spazio vettoriale trae origine dal ben noto esempio dell’insieme dei vet- tori V3 nello spazio tridimensionale ordinario, già trattato nel capitolo precedente. Si intende algebrizzare tale concetto con il duplice scopo di dimostrare teoremi dalle con- seguenze fondamentali nel caso dello spazio vettoriale ordinario V3 e di estendere tali nozioni a spazi vettoriali di dimensione superiore a tre. Definizione 4.1 Un insieme V si dice spazio vettoriale sul campo dei numeri reali R 0 spazio vettoriale reale se sono definite su V le due operazioni seguenti: A, la somma: +:VxV_4 (ayox+y rispetto alla quale V_ ha la strattura di gruppo commutativo, ossia valgono le proprietà: 1. commutativa: x—y-Y+x, Va.ye Vi; 2. associativa: (x—y)+z=x+(y+z), Vay,z€V; 3. esistenza dell'elemento neutro: FO EV |x+o-x, Va eV; A. esistenza dell’opposto: (x eV 3-x€V|x-(-x)- 0; 133