A.A. 2023/2024
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Algebra Lineare e Geometria
26 gennaio 2024 - Traccia A
Esercizio 1.
Discutere, al variare dei parametri h, k ∈R, il numero di soluzioni del seguente sistema lineare:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
−x+2y+z=3
ky +3z=−1
x−2y+kz =−1
ky +3z=h−1
.
Determinare inoltre le soluzioni quando h=0 e k=1.
Esercizio 2.
Si consideri l’applicazione lineare f∶R3→R4associata alla seguente matrice:
F=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0 1 2
3 5 −1
6 12 2
3 6 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
a) Determinare la dimensione e una base di Ker(f)eIm(f);
b) L’applicazione f`e suriettiva? Giustificare la risposta;
c) Determinare l’immagine del vettore v=(1,1,−1).
Esercizio 3.
Si considerino i punti P=(3,2,1),Q=(2,2,1)e la retta r∶(1,−1,1)+t(2,3,−2)t∈R.
Determinare:
a) equazioni parametriche e cartesiane del piano πpassante per Pe contenente la retta r;
b) la distanza tra il punto Qe il piano π.
Esercizio 4.
Determinare una matrice ortogonale Pche diagonalizzi la seguente matrice:
A=⎛
⎜
⎜
⎝
001
002
124
⎞
⎟
⎟
⎠
.
Calcolare P−1AP .
Esercizio 5.
Si considerino i seguenti sottospazi di R5:
V={(x1, x2, x3, x4, x5)∈R5∣x2−x3=0 e x2+x3+2x4=0}eW={(x1, x2, x3, x4, x5)∈R5∣x4=0}.
Determinare la dimensione e una base per V,W,VeV∩W.