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ELEMEN TI DI ALG EBRA d. p.d.v.s.
Si presentano qui alcune nozioni sugli insiemi, le funzioni e le strutture algebriche, inseriti nel
filo conduttore dei polinomi.
Contenuto:
Introduzione al corso sui polinomi, motivazioni e schema seguito.
§ 1 Funzioni tra insiemi; rappresentazioni tabulari, grafiche e matriciali delle funzioni;
grafi e digrafi. Operazioni in un insieme, rappresentazione, proprietà; tipi elementari
di strutture algebriche: monoidi e gruppi, anelli e campi; esempi e proprietà di base.
§ 2 Polinomi come funzioni sul campo reale: l’anello delle funzioni dal campo reale a se
stesso, il sottoanello dei polinomi, il principio d’identità; il grado, la divisione
euclidea, le radici, la regola di Ruffini, molteplicità delle radici, polinomi irriducibili
e divisibilità. Il caso del campo complesso e del campo razionale. Applicazioni dei
polinomi: polinomi di Taylor; polinomi di interpolazione e regressione; polinomio
caratteristico di una matrice; le coniche. Polinomi in più indeterminate.
§ 3 Successioni in un insieme. Esempi nel campo reale. L’anello delle successioni in un
anello e le sue proprietà; il sottoanello dei polinomi; rappresentazione dei polinomi.
Polinomi e funzioni polinomiali in un anello; l’ideale dei polinomi identicamente
nulli e i suoi generatori. Funzioni polinomiali invertibili o biiettive.
§ 4 Estensione di campi; elementi algebrici e trascendenti; polinomi come estensioni
trascendenti. Estensioni di un campo mediante le radici di un polinomio; estensioni
algebriche di un campo e loro elementi. Il campo di spezzamento. Estensioni
normali. Estensioni quadratiche di un campo.
§ 5 Operazioni esterne, azioni e rappresentazioni; azione di strutture e compatibilità,
spazi vettoriali, azione di un gruppo su un insieme. Il gruppo di Galois di un
polinomio a coeffcienti complessi; la sua azione sulle radici del polinomio e il suo
ordine. Il teorema di Sylow e le sue applicazioni.
§ 6 Gruppi risolubili: sottogruppi normali, gruppo quziente, serie abeliane, la serie
derivata; risolubilità e gruppi simmetrici. Il teorema di Galois sulla risolubilità per
radicali di una equazione algebrica.
§ 7 Azione dei gruppi di trasformazioni nel piano e loro invarianti: le varie geometrie: i
gruppi metrici, simili, affini, proiettivi sul piano.
§ 1. – FUNZ IONI, OPERAZIONI E STRUTTURE.
Contenuti: Funzioni tra insiemi; rappresentazioni tabulari, grafiche e matriciali delle funzioni; grafi e digrafi.
Operazioni in un insieme, rappresentazione, proprietà; tipi elementari di strutture algebriche: monoidi e
gruppi, anelli e campi; esempi e proprietà di base.
FUNZIONI. Dati due insiemi A e B si chiama funzione da A a B, e si denota con f:A→B,
una relazione f⊆A×B tale che per ogni x∈A esiste uno ed un solo y∈B tale che (a,b)∈f. Si
scrive di solito f:a→b oppure b = f(a) anziché (a,b)∈f.
Per indicare le funzioni, si usano lettere minuscole o talora maiuscole, latine o
greche (f, g, F, Φ, σ, ...). Se f:A→B, l'insieme A si dice dominio e l'insieme B si dice codominio
di f. L'insieme
b " B #a " A, f a
= b
si chiama immagine di f, e si denota con Im f o con
f(A).
Sia f:A→B una funzione e siano C⊆A, D⊆B. Indichiamo con f(C) l’insieme
b " B #a " C, f c
= b
, che si può descrivere anche come
f c
c " C
, e che si chiama
immagine di C in B tramite f. In particolare, come già detto,
f A
è l’immagine di f.
L’insieme
a " A f a
" D
è un sottoinsieme di A detto controimmagine di D in A tramite f,
e si denota spesso con
f
" 1 D
, anche se talora questo simbolo può assumere significati
diversi.
Nell’esempio qui a lato c’è la funzione
f : R " R , f x
= x
2
. L’immagine dell’intervallo
[ ]
è l’intervallo
[ ]
, mentre la
controimmagine dell’intervallo
[ ]
è
[ ]
[ ]
. Si ha poi
Im f = 0 , +"
[ [
Date due funzioni
f : A " B e
g : A " B , con lo stesso dominio A e lo stesso codominio B, si ha
f = g quando (come insiemi di coppie ordinate) esse posseggono gli stessi elementi. Si ricava allora
che
f = g " #x $ A, f x
= g x
Siano A, B, C, D quattro insiemi e siano f:A→B, g:B→C, h:C→D. Siano
id A
e
id B
le funzioni
identità su A e B rispettivamente.
f o g
o h = f o g o h
(associatività)
f : A
1 " 1
su
> B allora
f
" 1
o f = id A
f o f
" 1
= id B
f : A
1 " 1
su
> B e
g : B
1 " 1
su
> C allora
g o f : A
1 " 1
su
> C.
id B
o f = f = f o id A
RAPPRESENTAZIONE DI FUNZIONI.
Nel caso reale, ossia per una funzione f da un
sottoinsieme E del campo reale R in R , è
possibile usare un grafico cartesiano, in cui
ogni coppia
x, f x
( (^ ))
viene rappresentata dal
punto P che ha quelle coordinate. Il grafico di f
è quindi in generale una curva del
piano.L’Analisi Matematica interviene in questo
caso.
Qui accanto vediamo una cubica con tre zeri,
un punto di massimo ed uno di minimo relativi
ed un punto di flesso. Per trovarli servono
limiti e derivate.
Nel caso finito, è possibile servirsi di rappresentazioni tabulari, matriciali o mediante grafi.
Per esempio, consideriamo un insieme X con m ≥ 1 elementi. Possiamo ordinarlo totalmente
in uno degli m! modi possibili e quindi per
1 " i " m denotare con
x i
il suo elemento che
occupa il posto i. Meglio ancora, in qualche caso potremmo denotare tale elemento
direttamente con i, quindi assimilare X ad
N
m
= i " N 1 # i # m
Una funzione tra un insieme X con m elementi ed uno, Y, con n elementi diventa una
tabella
x x 1
x 2
K x m
f x
f x
f x
K f x
( m)
, che può trasformarsi anche nella matrice a due righe
x 1
x 2
K x m
f x
f x
K f x
( m)
, più usata per le permutazioni, ossia le funzioni biiettive da un
insieme in sé, o anche direttamente nella seconda riga della matrice, ossia nella stringa
f x
f x
K f x
( (^ m))
. Ogni casella può essere un qualunque elemento di Y, quindi ha n
possibilità. Ne viene che, per il principio di moltiplicazione, ci sono
n
m funzioni
f : X " Y.
Un’altra possibile rappresentazione è mediante le matrici booleane di incidenza.
Codifichiamo X ed Y mediante i tratti iniziali
N
m
ed
N
n
di N. Definiamo la seguente matrice
M = M
f
, di tipo m×n, ponendo
m ij
1 se f i
= j
0 se f i
" j
. In questa matrice, in ogni riga c’è uno
ed un solo 1; se f è iniettiva, anche in ogni colonna c’è un solo 1 ed m ≤ n; se è suriettiva,
in ogni colonna c’è almeno un 1 e m ≥ n; infine, se f è biiettiva, M è necessariamente
quadrata ed è detta matrice di permutazione, perché in ogni riga e colonna c’è uno ed un
solo 1.
Nel caso Y = X, con n elementi, allora M è sempre quadrata. La sua traccia indica quanti
sono gli elementi uniti, ossia portati da f in se stessi; il determinante è 0 se f non è biiettiva,
altrimenti è ±1. La matrice trasposta di M è la matrice della relazione trasposta. Se f è
biiettiva, M è ortogonale e l’inversa coincide con la trasposta:
M
f
" 1 =^ M
( f)
" 1
= M
( f)
t
Oltre alla rappresentazione cartesiana, che qui è assai più convenzionale rispetto alle
funzioni dell’analisi, si può usare un’altra rappresentazione geometrica, mediante un grafo
orientato o digrafo, di tipo opportuno.
Chiameremo grafo (non orientato) Γ = (V, B) una coppia formata da un insieme non vuoto V, i cui
elementi sono detti vertici ed un insieme B di coppie non ordinate di elementi di V, dette spigoli.
Se V è finito, V = {v 1
, ..., v n
}, il grafo Γ si rappresenta nel piano nel modo seguente: ogni vertice si
rappresenta con un punto, contrassegnato con il suo stesso nome, e ogni spigolo {v i
, v j
} si rappresenta
mediante un arco di curva continua e semplice di estremi v i
, v j
e che non passi per alcun altro vertice.
Il grafo si dice planare se si può rappresentare sul piano in modo che gli spigoli non abbiano altri
punti in comune al di fuori dei vertici
Si chiama laccio uno spigolo con gli estremi nello stesso vertice. In tal caso il vertice in questione si
può rappresentare con un cerchietto vuoto.
Una catena di lunghezza r che congiunge i vertici v i
e v j
è una sequenza di spigoli consecutivi distinti
del tipo {v i 0
= v 1
, v i
}, {v i
, v i 2
}, ...., {v i r−
, v i r
= v j
}. Dati due vertici v i
e v j
, poniamo v i
~ v j
se esiste una catena
che li congiunge. Si ha così una relazione d'equivalenza in V, le cui classi si dicono componenti connesse.
Un grafo si dice connesso se ha una sola componente connessa.Un grafo sconnesso è planare se e solo se
lo sono le sue componenti.
Un grafo si dice completo se per ogni i, j = 1,..., n si ha {v i
, v j
}∈B. Un tal grafo è connesso e tutti i
suoi vertici sono rappresentati da cerchietti. E' planare solo per n = 1, 2, 3.
NOTA. Nei disegni dei grafi orientati associati alle funzioni si può adottare la seguente convenzione, per
evitare quanto possibile l'uso delle frecce:
- rappresentare i nodi con piccoli quadratini vuoti
- per i circuiti l'orientamento è antiorario;
- per i rami che portano ai vertici facenti parte del circuito, l'orientamento è verso il circuito.
Due vertici x, y del digrafo sono detti connessi se esiste una sequenza finita
x = x 0
, x 1
, ... , x n
= y
di vertici, ciascuno adiacente al successivo. In tal caso, esiste al più un j tale che
x = x 0
! x 1
! ...! x j
← ... ← x n
= y
dato che, altrimenti, da almeno un vertice dovrebbero uscire due frecce. Se si ha
x 0
! x 1
! ...! x n
oppure x 0
← ... ← x n
considereremo rispettivamente j = n e j = 0. Ciò posto, la relazione di connessione C (unita all’identità) è una
relazione d'equivalenza, le cui classi sono dette componenti connesse. L’esempio precedente mostra una
funzione non biiettiva, il cui grafo è composto da due componenti connesse isomorfe.
Ogni componente connessa contiene un solo circuito, ridotto eventualmente ad un cappio (che
corrisponde ad un punto unito ). Una funzione è biiettiva se e solo se il suo digrafo contiene solo circuiti;
questi ultimi corrispondono ai cicli disgiunti che la fattorizzano.
La versione grafica delle funzioni pone in evidenza nuove categorie: oltre alle biiettive o le costanti,
ci sono le connesse, quelle cui corrispondono digrafi isomorfi, e tante altre. Si può osservare che
permutazioni coniugate hanno digrafi isomorfi, e viceversa.
OPERAZIONI. Una operazione binaria (interna) in un insieme non vuoto X è una
applicazione (o funzione) da X×X ad X. Per indicare una operazione si usano i simboli +, × ,
⋅, *, ° ecc. Di solito nelle considerazioni "astratte" si adopera il simbolo
; in tal caso il
risultato dell'operazione sulla coppia (x,y) è detto prodotto ed è indicato con x
y o più
brevemente con xy.
Se X è un insieme finito con n elementi, per definire una operazione si può costruire
una tabella, simile alla tavola pitagorica, che contiene i risultati.
ESEMPIO 1.3. Sia
X = 1 , 2 , 3
{ }
. La tabella seguente definisce una operazione in
X. In essa per esempio:
2 " 3 = 1 , 2 " 1 = 1 , ecc. Ognuna delle 9 caselle interne
della tavola contiene uno ed uno solo dei 3 elementi di X.
Ne segue che sull'insieme X si possono definire ben
9
= 19 .683 operazioni diverse!
Naturalmente non tutte le operazioni definibili in un insieme saranno in qualche
modo interessanti. Ciò che le rende tali è la presenza di particolari proprietà. Vediamo un
elenco delle proprietà più comuni.
- Proprietà associativa: per ogni a, b, c∈X si ha a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c.
- Proprietà commutativa: per ogni a,b∈X si ha a⋅b = b⋅a.
- Elemento neutro: esiste un elemento e∈X (che è univo) tale che:
per ogni a∈X, a
e = e
a = a.
- Elementi simmetrici (se c'è l’elemento neutro e):
per ogni a∈X esiste a'∈X tale che a
a' = a'
a = e.
- Leggi di cancellazione:
destra: da a⋅b = c⋅b segue a = c;
sinistra: da a⋅b = a⋅c segue b = c.
- Proprietà di idempotenza: per ogni a∈X si ha a
a = a.
- Elemento assorbente: esiste u∈X tale che, per ogni a∈X, a
u = u
a = u.
Uno degli scopi dell’algebra è riconoscere ciò che c’è in comune tra situazioni
diverse, discriminare ciò che è strutturale da ciò che è accidentale. Dall’esame di varie
situazioni si osservano schemi che si ripetono di frequente, e che meritano un nome. Si
tratta delle principali strutture algebriche, costituite da un insieme sostegno e da una o più
operazioni, con opportune proprietà. La parte dell'algebra che studia le proprietà generali
delle strutture algebriche si chiama "Algebra universale". Essa prende in considerazione
anche operazioni con un numero di fattori diverso da due; per esempio le operazioni
ternarie che operano su tre fattori, e così via. Si definisce poi operazione unaria su X ogni
funzione da X ad X ed operazione zeroaria ogni elemento di X. Chiameremo sinteticamente
operazione finitaria su X una operazione n-aria, con n intero ≥ 0. Una struttura algebrica
è una sequenza formata da un insieme e da una o più operazioni finitarie:
X, f 1
, f 2
,K, f ( r)
Nel seguito ripassiamo alcuni tipi di strutture algebriche con operazioni interne,
ossia nelle quali i termini ed il risultato appartengono ad uno stesso insieme X. Per ciascuna
di esse vedremo alcuni esempi ed alcune nozioni. Non saranno trattate tutte le strutture
interessanti, ma solo alcune di esse, funzionali agli scopi ed al contenuto di questo corso.
Osserviamo che, quando non vi sia pericolo di ambiguità, una struttura algebrica
X, f 1
, f 2
,K, f ( r)
sarà denotata anche solo con X.
Un elemento
x " M si dice:
- cancellabile a sinistra se
"y, z # M, x $ y = x $ z % y = z
"y, z # M, y $ x = z $ x % y = z
Un monoide commutativo
M, ", 1
( M)
si dice regolare se ogni
x " M è cancellabile a
destra ed a sinistra. Un esempio è ( N ,+,0).
Un elemento
x " M si dice invertibile se esiste
x " # M tale che
x " x# = x# " x = 1 M
; in tal
caso, x' è il simmetrico (o l' inverso) di x, ed è unico, infatti, se x ha due simmetrici x' ed x"
si ha:
x " = x" # 1 M
= x" # x # x" ( )
= x" # x ( )
x"= 1
M
x"= x".
L'insieme degli elementi invertibili di M si denota spesso con M
: non è vuoto perché
contiene 1 M
. Inoltre,
"x, y # M
anche
x " y # M
dato che ha per simmetrico
y " # x". Infine,
(x')' = x.
Di un elemento invertibile x si possono definire inoltre anche le potenze con
esponente intero negativo: se x' è il suo simmetrico, per ogni n
" N ,
n > (^0) , poniamo
x
"n = x# ( )
n
. In tal modo
x
" 1 = x# e per questo il simmetrico di x è usualmente denotato con
x
" 1
. Inoltre valgono anche in questo nuovo caso le proprietà già viste per le potenze ad
esponente positivo.
Un monoide M tale che M = M
, ossia nel quale ogni elemento sia invertibile è detto
gruppo. In tal caso, associando ad ogni
x " M il suo simmetrico
x
" 1 otteniamo una
funzione biiettiva
" : M # M.
Gruppo
G, ", 1
G
( )
: l'operazione binaria
" è associativa,
G
ne è l'elemento neutro e ogni
elemento x ha il simmetrico
x
" 1 = #(x), dove con il simbolo
" indichiamo la funzione, cioè
l'operazione unaria che ad ogni x associa il suo simmetrico
x
" 1
. Tale funzione
" è biiettiva
e coincide con la sua inversa.
Se l'operazione
possiede anche la proprietà commutativa il gruppo si dice abeliano.
Di solito nei testi di algebra un gruppo è indicato soltanto con
G, "
( )
ESEMPIO 1.5. a ) Il gruppo delle unità di un monoide. Dato un monoide
M, ", 1
( M)
l’insieme
M
" degli
elementi invertibili costituisce un gruppo rispetto alle operazioni di M e alla funzione che ad ogni
x " M
associa l’inverso. Per esempio, il gruppo delle unità del monoide delle funzioni da un insieme X a se stesso
è detto gruppo simmetrico
S
X
b) Nel caso finito, siano n∈
N
ed
N
n
= i " N 1 # i # n
. Se prendiamo come insieme X con n elementi
proprio l’insieme
N
n
, che supporremo ordinato nel modo naturale, il suo gruppo simmetrico si denota con
S
n
. Dal calcolo combinatorio sappiamo che ha n! elementi. Ricordiamo una proprietà importante di questi
gruppi. Sia r un intero positivo, 2 ≤ r ≤ n e siano dati r elementi distinti
i 1
,K, i r
" 1 , 2 ,K, n
. Col simbolo
i 1
,K, i
( r)
denoteremo la permutazione γ che per ogni k, 1 ≤ k ≤ n-1 porta
i k
in
i k+ 1
, mentre porta
i r
in
i 1
e lascia fisso ogni altro oggetto diverso da questi. Questa permutazione si chiama ciclo di lunghezza r.
Vediamo un ciclo di lunghezza 4 in
S
5
, con accanto una possibile traduzione grafica:
1 2
3
4
5
Lo stesso ciclo si può scrivere in più modi:
, ma se ci accordiamo di
cominciare dall’oggetto più piccolo tra quelli spostati, ossia, in questo caso, da 1, abbiamo l’unicità della
rappresentazione. Inoltre, in un prodotto di cicli disgiunti, conveniamo di ordinare i fattori, che come
sappiamo commutano, in modo che i loro elementi iniziali siano in ordine crescente. Chiameremo questa
forma standard del prodotto. I cicli hanno un ruolo importante nel gruppo simmetrico, simile a quello che
hanno i numeri primi in N. Si ha infatti la seguente proprietà: ogni permutazione diversa dall’identità in
S
n
o
è un ciclo oppure si esprime come prodotto di cicli disgiunti, e questa fattorizzazione è unica se in forma
standard. Vediamo un esempio, che inoltre spiega come ottenere praticamente la fattorizzazione.
Sia
" # S
9
. Il primo elemento spostato da α è il 2. Abbiamo così:
"
##$ 3
"
##$ 5
"
##$ 6
"
##$ 2
che ci fornisce il primo fattore
1
, ciclo di lunghezza quattro.
Dopo l’1, fissato ed il 2 e il 3, che fanno parte del ciclo
1
, c’è il 4:
"
##$ 8
"
##$ 9
"
##$ 4
ed otteniamo un secondo ciclo
2
, di lunghezza tre.
Gli elementi 5, 6 fanno parte di cicli già considerati. Il primo elemento non ancora trattato è il 7, che è fissato
da α, poi l’8 ed il 9 già considerati.
Allora diciamo che
1
o # 2
. Infatti, i due elementi 1, 7 fissati da α sono fissati anche dai due cicli. Quindi
anche da
1
o " 2
. Si ha poi:
1
o # 2
1
2
1
, e più in generale per ogni i = 2, 3, 5, 6 si ha
1
o " 2
i
1
2
i
1
i
= # i
. Infine, per ogni i = 4, 8, 9 si ha
1
o " 2
i
1
2
i
1
i
= # i
Allora si ha proprio
1
o # 2
L'insieme delle potenze ad esponente intero relativo di un elemento x si denota con
x. Il numero di elementi di questo insieme si chiama periodo o anche ordine di x e si
denota con
x. Dal corso di Algebra I si sa che se G è un gruppo e
x " G:
a) Il periodo di x è infinito se e solo se
"h, k # Z , x
h
= x
k
$ h = k.
b) Se
x = n , si ha
n = min k " N
x
k
= 1 G
. In tal caso si ha:
x = 1 G
= x
0
, x
1
,K, x
n" 1
c) Se
x = n , si ha
x
k
= 1 G
" n divide k.
Quando in un gruppo
G, "
( )
c'è un elemento x tale che
x = G allora il gruppo si dice
ciclico ed x si chiama generatore di G. Con questa terminologia,
Z , +
( )
è ciclico, generato da
- Un gruppo ciclico è sempre abeliano, ed è finito o numerabile.
Esistono gruppi G nei quali, a parte l’elemento neutro, tutti gli altri elementi hanno
per ordine uno stesso numero primo p. Se sono abeliani, sono detti abeliani elementari. Se
p = 2 l’essere abeliani è una conseguenza. Infatti, per ogni
a, b " G si ha:
abab = ab ( )
2
G
= a
2 b
2 = aabb " ba = ab
ESEMPIO 1.6. Siano X un insieme,
" X
( )
l’insieme dei sottoinsiemi.
"A, B # $ X
( )
poniamo
A"B = A # B
( )
\ A $ B
( )
. Allora l’operazione Δ è associativa, commutativa, ha l’insieme vuoto per elemento
neutro ed ogni elemento è opposto di se stesso:
"A # $ X
( )
, A%A = &.
x∈A x∈B x∈AΔB
V V F
V F V
F V V
Dunque, ogni A ≠ ø ha ordine 2. Dimostriamo che vale l’associatività con
l’uso delle tavole di verità. Innanzi tutto, mostriamo come si traduce
l’operazione AΔB mediante l’appartenenza o no di un generico elemento x
all’insieme AΔB. F F F
x∈A x∈B x∈C x∈AΔB x ∈ (A Δ B) Δ C x∈BΔC x ∈ A Δ (B Δ C)
V V V F V F V
V V F F F V F
V F V V F V F
V F F V V F V
F V V V F F F
F V F V V V V
F F V F V V V
F F F F F F F
Per mostrare che (AΔB)ΔC è uguale
ad AΔ(BΔC) basta mostrare che
ogni x che appartiene al primo
insieme, appartiene anche al
secondo e viceversa. Ciò si traduce
nell’uguaglianza delle rispettive
colonne.
NOTA. Questa tavola, mettendo 0 e 1 al posto di F e V, è ottenibile automaticamente mediante il software
Excel e l’uso dell’operazione
x"y = x + y # 2 $ x $ y.
Anello (associativo con unità)
A, +, ", 1
( A)
A, +, 0
A
( A)
, dove
A, +
( )
= A, +, 0
A
( )
è un
gruppo abeliano;
A, ", 1
( A)
è un monoide e valgono le due proprietà distributive (destra e
sinistra) di
rispetto a +, ossia:
"a, b, c # A,
a $ b + c ( )
= a $ b + a $ c
a + b ( )
$ c = a $ c + b $ c
Si ha:
"x # A, x $ 0 A
= x $ 0 A
( A)
= x $ 0 A
% x $ 0 A
A
. Si osservi poi che i due
elementi neutri possono coincidere, ma in tal caso l'anello stesso si riduce ad un solo
elemento, ossia è banale. Infatti, se 0 A
A
, allora
"x # A, x = x $ 1 A
= x $ 0 A
A
Se l'operazione
è commutativa l'anello si dice commutativo.
Z , +, ", 1
( )
è un anello
commutativo. Vediamo altri esempi.
ESEMPI 1.6 a) Anelli di funzioni. Siano X un insieme ed
A, +, ", 1
( A)
un anello. Nell'insieme A
X costituito
dalle funzioni da X ad A definiamo le seguenti operazioni, dette operazioni punto per punto :
"f, g # A
X , "x # X,
f + g ( )
(x) = f(x) + g(x)
f $ g ( )
(x) = f(x) $ g(x)
%f ( )
(x) = %f(x)
Consideriamo inoltre le due funzioni costanti 0 ed 1 tali che
"x # X ,
0 : x a 0 A
ed
1 : x a 1 A
. Si prova
facilmente che con queste operazioni A
X è un anello in cui 0 è l'elemento neutro di + e 1 quello di
. Se
l'anello A è commutativo lo è anche l'anello delle funzioni.
b) Anelli di successioni. Sia A un anello commutativo e consideriamo l'insieme A
N delle successioni , cioè
delle funzioni da N ad A. Definiamo in esso la seguente moltiplicazione (detta convoluzione ):
f " g : n a f j ( )
g n # j ( )
j= 0
n
$
Questa operazione è associativa ed ha per elemento neutro la funzione 1 tale che
1 : n a
A
se n = 0
A
se n > 0
Indichiamo poi con + l'addizione punto per punto:
A
N
, +, ", 1
( è un anello commutativo.
c). Gli anelli Z m
. Sia
m " N , m > 0 e sia Z m
= {0, 1,..., m-1}. In questo insieme definiamo le seguenti
operazioni:
x + m
y = resto della divisione di x + y per m
x " m
y = resto della divisione di xy per m
Un campo finito con q elementi si denota con GF(q). In questo caso, come noto dal corso di
Algebra II, si ha:
- La sua caratteristica è necessariamente un numero primo p, quindi il gruppo additivo è un
p−gruppo abeliano elementare.
n per un opportuno n > 0.
GF q
"
è ciclico.
- Per ogni primo p e per ogni n ≥ 1 esiste uno e "sostanzialmente" un solo campo di ordine p
n .
Reticolo (R, ∨, ∧), dove ∨ e ∧ sono operazioni binarie associative, commutative e tali che
per ogni a, b
" R si ha:
a∨a = a = a∧a ( idempotenza delle due operazioni)
a∨(a∧b) = a = a∧(a∨b) ( legge di assorbimento).
ESEMPIO 1.8. Due esempi di reticoli costruiti sull'insieme dei numeri naturali sono:
- (N, MCD, mcm), in cui le due operazioni hanno anche elementi neutri (0 e 1 rispettivamente) e le due
operazioni sono anche distributive l'una rispetto all'altra;
- (N, max, min), dove max{a, b} e min{a, b} indicano rispettivamente il più grande ed il più piccolo fra a e b. In
quest'ultimo, solo max ha elemento neutro, lo zero.
Gli (eventuali) elementi neutri di ∨ ed ∧ si indicano con 0 R
ed 1 R
rispettivamente. Un
reticolo si dice complementato se ha gli elementi neutri e per ogni elemento x esiste un
elemento x' tale che x∨x' = (^1) R, x∧x' = (^0) R.
Un reticolo si dice distributivo se le due operazioni sono distributive l'una rispetto
all'altra. Se è anche complementato, ogni suo elemento ha un solo complemento.
Un reticolo si dice infine algebra di Boole se è distributivo e complementato, e si
indica in tal caso con (A, ∨, ∧, 0 A
A
ESEMPIO.1.9. Se X è un insieme e
"(X) è l'insieme dei suoi sottoinsiemi,
"(X), #, $, %, X ,&
è un'algebra di
Boole, indicando con Y' il complementare di un sottoinsieme Y di X. Si osservi che un’algebra di Boole ha lo
stesso tipo di operazioni di un anello, ma con proprietà diverse. Se però prendiamo
"(X), #, $, X
otteniamo
un anello commutativo idempotente, di caratteristica 2, detto anello di Boole associato all’algebra di Boole.
In un reticolo (R, ∨, ∧) poniamo: x ≤ y se x∧y = x. Si può dimostrare che la relazione ≤
è un ordine in R, tale che per ogni a,b
" R si ha
sup(a, b) = a " b
inf(a, b) = a # b
Per esempio, in ( N , mcm, MCD) la relazione d'ordine associata è "a è divisore di b"; in
"(X), #, $
( )
la relazione è "A è sottoinsieme di B". Inversamente, ogni insieme ordinato (R, ≤)
nel quale per ogni coppia {x, y} di elementi esistano l'estremo superiore ed inferiore, è un
reticolo in cui x∨y = sup{x, y} ed x∧y = inf{x, y}.
In particolare, ogni insieme totalmente ordinato è un reticolo ed è distributivo.
NOZ I ONI COMUNI A TUTTE LE S TR UTTUR E ALG EBR I CH E. Vediamo ora un breve
studio parallelo delleprincipali nozioni comuni alle strutture algebriche che abbiamo
rivisto, ed anche alle altre, che non abbiamo esaminato.
A. Sottostruttura. Sia (X,
) una struttura algebrica. Un sottoinsieme Y di X si dice chiuso
rispetto all'operazione se, ogni volta che si esegue l'operazione su elementi appartenenti ad
Y, anche il risultato appartiene ad Y. In tal caso possiamo considerare
l'operazione
ristretta ad Y ed ottenere la nuova struttura algebrica (Y,
). Se l'operazione è
zeroaria, cioè è un fissato elemento u !X, affermare che Y è chiuso rispetto a tale operazione
significa affermare che u !Y.
Più in generale, data una struttura algebrica
X, f 1
, f 2
,K, f ( r)
, una sua sottostruttura è
costituita da un sottoinsieme Y di X, chiuso rispetto a tutte le operazioni di X, e dalle
restrizioni ad Y delle operazioni di X. In tal caso,
Y, f 1
, f 2
,K, f ( r)
risulta una struttura dello
stesso tipo di
X, f 1
, f 2
,K, f ( r)
. Si osservi che se non ci sono operazioni zeroarie, anche
l’insieme vuoto è una sottostruttura.
ES EMPI O A.1. Sottogruppo. Se (G,
G, ", 1
G
( )
è un gruppo, un sottogruppo è una
struttura
H, ", 1
G
( )
, dove H è chiuso rispetto alle tre operazioni finitarie di G; in particolare
H contiene 1 G
e contiene il simmetrico di ogni suo elemento. Si ha così che
H, ", 1
G
( )
è un
gruppo e 1 H
G
Per esempio, dato un gruppo (G,
) ed un elemento a !G, l'insieme
a delle potenze
di a costituisce un sottogruppo, detto sottogruppo ciclico generato da a.
Ogni sottogruppo H di un gruppo G dà luogo a due partizioni di G, costituite
rispettivamente dai sottoinsiemi Hg, g∈G, detti laterali destri di H, e gH, g∈G, detti laterali
LEMMA A.5 Sia
X, f 1
, f 2
,K, f ( r)
una struttura algebrica e sia
" un insieme di
sottostrutture. Allora
Y = H
H"#
I
è una sottostruttura.
Dimostrazione. Per ogni i !{1, 2, ..., r} sia f i
operazione k - aria. Se k > 0, siano x 1
, ..., x k
!Y e proviamo che
f(x 1 , ..., xk) !Y. Poiché x 1 , ..., xk !Y, allora essi appartengono ad ogni
H " # e quindi, essendo H una
sottostruttura di X, si ha f(x 1
, ..., x k
) !H. Ma allora f(x 1
, ..., x k
H
H"#
I
. Se k = 0, f i
è un elemento u di X:
poiché ogni H è una sottostruttura, si ha u !H, quindi u !Y.
Pertanto, Y è chiuso rispetto a tutte le operazioni
f 1
,K, f r
ed è una sottostruttura.
Dal lemma precedente segue che l'insieme L(X) delle sottostrutture di una struttura X
è chiuso rispetto alla intersezione. Non è vero in generale per l'unione.
Dato un sottoinsieme Y della struttura X, consideriamo l'intersezione
Y di tutte le
sottostrutture di X che contengono Y, e la chiamiamo sottostruttura generata da Y. Date ora
due sottostrutture H e K di X, definiamo sottostruttura somma di H e K la sottostruttura
H " K generata dall'unione insiemistica di H e K. Ne segue che L(X) è un reticolo, ed è
completo, nel senso che ogni sottoinsieme non vuoto possiede estremi superiore ed
inferiore. In particolare, questo reticolo ha per massimo X e per minimo l'intersezione di
tutte le sottostrutture, che è il vuoto se non ci sono operazioni zeroarie, altrimenti è
generato da queste ultime.
ESEMPIO A.6: il sottoanello fondamentale di un anello A è il minimo sottoanello di A.
A partire quindi da ogni struttura algebrica è possibile perciò costruire un reticolo, il
reticolo delle sottostrutture. Esso non è in generale un sottoreticolo di
"(x), #, $ ( )
, poiché,
come già detto, se H e K! L(X) di solito si ha
H " K # H " K.
B. O mo morfismi e i so morfi smi. Date due strutture (X, *) e (Y,
), si chiama
omomorfismo una funzione
" : X # Y tale che per ogni coppia a, b di elementi di X sia
" a # b ( )
= " a ( )
$ " b ( )
. Un omomorfismo biiettivo si chiama isomorfismo. In tal caso, anche
l'inversa
1
di Φ è un isomorfismo e le due strutture differiscono solo per il nome degli
oggetti ed i simboli usati per descriverli, ma sono essenzialmente coincidenti.
Nozioni analoghe si danno per operazioni finitarie qualsiasi; in particolare, un
omomorfismo rispetto ad operazioni zeroarie u !X e v !Y deve portare u in v; rispetto ad
operazioni unarie f in X e h in Y, si deve avere
" f(x) ( )
= h "(x) ( )
per ogni x !X. Definiamo
omomorfismo tra due strutture algebriche
X, f 1
, f 2
,K, f ( r)
e
Y, g 1
, g 2
,K, g ( r)
dello stesso
tipo, una funzione
" : X # Y tale^ che^ sia^ omomorfismo^ tra^ (X,^ fi)^ e^ (Y,^ gi)^ per^ ogni
i = 1, 2,.., r. In ogni caso, l'immagine
"(X) è una sottostruttura di Y.
Un omomorfismo suriettivo si chiama epimorfismo e in tal caso si dice che Y è
immagine omomorfa di X. Un omomorfismo iniettivo si chiama monomorfismo o
immersione di X in Y, e Y si chiama estensione di X.
Si noti che una funzione che sia omomorfismo rispetto ad una operazione può non
esserlo rispetto ad altre. Ciò accade per esempio nel caso dei monoidi: un omomorfismo
rispetto all'operazione binaria non porta necessariamente l'elemento neutro del dominio
nell'elemento neutro del codominio. Pertanto, un omomorfismo tra due monoidi
M, ", 1
( M)
ed
H, ", 1
( H)
è una funzione
f : M " H tale che
"x, y # M, f(x $ y) = f(x) % f(y)
f( 1 M
H
Invece, nel caso dei gruppi una funzione che sia omomorfismo rispetto
all'operazione binaria lo è automaticamente rispetto all'operazione zeroaria e a quella
unaria. Questo giustifica l'uso della notazione abbreviata
G, "
( )
per indicare un gruppo.
Di conseguenza, nel caso degli anelli con unità è sufficiente che la funzione sia
omomorfismo rispetto all'addizione, alla moltiplicazione ed all'elemento neutro
moltiplicativo. Quest'ultima condizione non è necessaria nel caso dei campi e per questo un
campo si denota solo con
F, +, "
( )
Esempio B.1. La funzione esponenziale f(x) = e
x è un isomorfismo tra il gruppo
R , +
( )
ed il gruppo
moltiplicativo ( R
,
) dei numeri reali strettamente positivi. Infatti la funzione f è una biiezione e per ogni
x,y !R si ha: f(x+y) = e
x+y = e
x e
y = f(x)f(y). I gruppi ( R , +) ed ( R
,
) sono dunque isomorfi.
Esempio B.2. Sia (M, *, 1 M
) un monoide e sia (M
M , °
, id M
) il monoide delle funzioni su M. Associamo ad
ogni elemento a !M la funzione
a
: M # M, "
a
: x a a $ x. La funzione
" : M # M
M , " : a a $ a
, è un
monomorfismo di monoidi. Ogni monoide, pertanto, è isomorfo ad un monoide di funzioni.
Esempio B.3. Sia G un gruppo e sia S G
il gruppo simmetrico sull'insieme sostegno di G. Associamo ad ogni
elemento a !G la funzione
a
: G # G, "
a
: x a a $ x.^ Si^ prova^ subito^ che
a
!S
G
. La funzione
" : G # S
G
, " : a a $ a
, è un monomorfismo di gruppi. Infatti, per ogni a, b !G ed x !G si ha:
