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Set Domande
ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
L'INSEGNAMENTO DELLE MATERIE SCIENTIFICHE NEGLI
ISTITUTI
SECONDARI DI I E II GRADO: MATEMATICA E FISICA
Docente: MASTER
Lezione 004
01. Il simbolo A? B indica che
A è sottoinsieme di B
02. L'espressione D 10,3 si sviluppa come
prodotto di 3 fattori decrescenti partendo dal 10
03. La classe di equivalenza di un sistema lineare S è:
l'insieme di tutti i sistemi lineari equivalenti ad S
04. Due sistemi lineari di m equazioni in n incognite si dicono equivalenti
in quale caso?
se hanno le stesse soluzioni
05. Quale tra i seguenti raggruppamenti di oggetti?
I punti di un segmento
06. Nelle combinazioni semplici , se k=n i gruppi che si potranno formare
saranno uguali a :
07. 07. Sia A ={1, 2, 3, 4}, definire su A un esempio di relazione di
equivalenza, e calcolare le sue classi di equivalenza
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}, le cui classi di equivalenza sono i
singoletti{1},{2},{3},{4}
08. Il simbolo a? A indica che
a è un elemento di A
09. Quanti sono i possibili anagrammi (anche senza senso) della parola
COMPUTER?
P8=8!=
Lezione 009
01. Moltiplicando una matrice n per m per la sua trasposta si ottiene:
una matrice quadrata di ordine n.
02. Definizione di matrice quadrata triangolare inferiore:
se Qualunque i <k si ha a ik = 0 cioè se tutti gli elementi al di sopra della diagonale
principale sono nulli.
03. Una matrice quadrata A di ordine n è detta nilpotente di ordine k se
la potenza A elevato a k è una matrice nulla (O).
04. Quali delle seguenti operazioni fanno parte del Teorema di Gauss:
un'equazione è sostituita dalla somma di se stessa con un multiplo di un'altra.
05. L'inversa di una matrice diagonale, quando esiste è una matrice 06. Siano A(2, 3), B(3, 4) C(4, 1), esiste la matrice D = A B C? se si di che tipo è?
Si, di tipo(2,1)
D
Tr
i i
a a
g n
o g
n ol
a a
l r
e e (per il test è quella corretta ma la risp corretta è Diagonale)
07. Due matrici A e B sono uguali se e solo se:
sono dello stesso tipo e se a ik= b ik qualunque i, k.
08. Una matrice quadrata A di ordine n è detta idempotente di ordine k se
la potenza A elevato a k è uguale a A.
09. Siano A(2, 3) B(3, 3) e C(3, 2). La matrice ABC è quadrata? se sì di che ordine?
Si di ordine 2
Lezione 013
01. Dati i seguenti 4 vettori di R3: ~ e1 = [1, 0, 0], ~ e2 = [0, 1, 0], ~ u = [3, 4, 2] e ~ v
= [2, 5, 0], quale bisogna eliminare tra ~ u e ~ v in modo che i rimanenti 3
formino una base. (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore)
~ v = 2 ~ e1 + 5 ~ e...
02. Dati ~ v = [1 0 - 1] ~ w = [1 0 2] ~ u =[ 0 2 1] ~ z =[ 0 0 3] dire se ~ v, ~ w e ~ z
sono linearmente dipendenti o indipendenti. (questo simbolo ~
rappresenta la freccia del vettore)
~ v, ~ w e ~ z sono linearmente dipendenti
03. In R3 sono dati i seguenti insiemi di vettori: i) S1 = [1, 1, 1], [0, 1, 1], [1, 0, 0];ii)
S2 = [2,
1, 0], [0, 1, 0],[1, 0, 1];iii) S3 = [1, 1, 2],[-1, 0,-1], [0, 1, 0], [0, 0, 1]. Stabilire, per
ciascuno
di essi, se costituiscono un sistema di generatori e, in particolare, se sono
delle basi per R3. (Gli insiemi come S1 è omessa la parentesi graffa di
apertura e chiusura per problemi di quiz, ovviamente e come se ci fosse.)
S1 ed S2 sono delle basi, S3 è un sistema di generatori.
04. Trovare le componenti del vettore ~ v = 2 ~ e1 +~ e2 + 7 ~ e3 rispetto alla
base B1 = ~ e1 ,~ e1 + ~ e2 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la
freccia del vettore)
[-5, 1, 7]
05. Per quali valori del parametro t l'insieme B = [2, t], [t, 2] è una base di R 2?
Qaulunque t diverso da + - 2.
06. Trovare una base ~ e1 , ~ e2 di R2 tale che [1, 0]= ~ e1 + ~ e2 [ 0, 1] = ~ e1 ~ e . (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore)
~e1 =[1/2 , 1/2], ~e2 =[1/2 , - 1/2].
07. Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~
e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W1 generato da ~ e1 +
2 ~ e3 , ~ e3 ,~ e1 +~ e3 (questo simbolo ~ rappresenta la freccia del vettore)
W1=<[1, 0, 2], [0, 0, 1], [1, 0, 1] > quindi dimW1= 3.
08. Nello spazio vettoriale R3 si consideri la base canonica B = ~ e1 = [1, 0, 0], ~
e2 = [0, 1, 0], ~ e3 = [0, 0, 1] ed il seguente sottospazio W2 generato da ~ e
,~ e1 - ~ e2 ,~ e1 +~ e3 W2=<[1, 0, 0][1,-1, 0], [1, 0, 1] > quindi dimW2= 3.
09. Delle seguenti terne di vettori di R3, dire quali sono linearmente dipendenti
e quali linearmente indipendenti. i) ~ v1 = [2, 1, 0], ~ v2 = [0,-1, 1] e ~ v3 = [1,
1, 0]; ii) ~ v 1 =
[1, 1, 1], ~ v 2 =[-2,-2,-2] e ~ v 3 = [0, 1, 1]; iii) ~ v 1 = [0, 1, 0], ~ v 2 = [1,-1, 2] e ~
v 3 =
[2, 1, 3]
Gli unici linearmente dipendenti sono quelli della terna ii.
01. Una matrice U è ortogonale se e solo se le sue colonne formano
un sistema ortonormale di vettori.
02. Una matrice quadrata A di ordine n è diagonalizzabile se e solo se
ammette n autovettori indipendenti.
03. Due matrici simili A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico. Quale
affermazione è corretta?
Le matrici non sono invertibili.
04. Sia A quadrata di ordine n 3 e rango 1, allora A
ha n autovalori uguali a 1
05. Siano A e B due matrici quadrate reali di ordine n. Allora è vero che:
A e B hanno gli stessi autovalori
06. Una matrice A appartenente a Mn(R) e' sicuramente diagonalizzabile per
similitudine se
è simmetrica
07. Sia A l'insieme delle matrici associate a forme quadratiche su R
Tutte le matrici di A ammettono terne di autovettori linearmente indipendenti.
08. Siano A e B due matrici quadrate tra loro simili. Quale affermazione è
falsa?
Le matrici A e B sono diagonalizzabili
09. Sia A una matrice simmetrica reale. Qual è quella corretta?
Due autospazi di A sono sempre ortogonali
Lezione 033
01. Una forma quadratica è definita negativa se e solo se tutti gli autovalori di A
sono
negativi
02. Si chiama forma canonica ogni forma quadratica la cui matrice associata è
diagonale
03. Si chiama rango della forma quadratica il rango della matrice
ad essa associata
04. Un polinomio omogeneo di grado m si chiama forma quadratica se:
il polinomio è di secondo grado
05. Una matrice A è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo
ammette
solo radici sempilici.
06. Due matrici simili hanno:
lo stesso polinomio minimo
07. Teorema di Cayley-Hamilton è:
non invertibile
08. Una matrice è unitariamente simile ad una matrice diagonale se e solo se
è normale
09. Ogni forma quadratica a coefficienti complessi (reali) di rango r > 0 si può
ridurre, mediante una trasformazione lineare invertibile a
coefficienti complessi (reali) alla forma canonica
01. Due rette sono parallele se e solo se hanno
lo stesso coefficiente angolare
02. Il fascio di rette di centro P (x0; y0) ha equazione
y - y0 = m (x - x0)
03. Quale dei seguenti punti soddisfa la relazione 2x+3y=
04. In un piano cartesiano, un punto corrisponde a
una coppia di numeri
05. La distanza di un punto dall'asse y è:
l'ascissa del punto
06. Le rette di equazione x = 3 e y = - 2 sono fra loro
perpendicolari
07. Che cos'è un fasco di rette?
L'insieme di tutte le rette del piano che passano per un punto P
08. Cosa rappresenta il oefficiente angolare?
rappresenta la tangente goniometrica dell'angolo che la retta forma con l'asse x
09. Se k = 0, la retta di equazione kx+y+1=0 è:
parallela all'asse x
Lezione 041
01. Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono
immaginarie la retta
è esterna
02. In una circonferenza, se si uniscono gli estremi di una corda con il centro
si ottiene generalmente un triangolo
isoscele
03. Quale delle seguenti rette incontra la circonferenza in un solo punto?
tangente
04. DOMANDA 7 Tutte le circonferenze di un fascio concentriche, sono tangenti
alla retta impropria nei
punti ciclici
05. Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se sono reali e
coincidenti la retta
è tangente
06. Una retta ed una circonferenza hanno in comune due punti: se i due punti
sono reali e distinti la retta
è secante
07. I punti ciclici del piano soddisfano l'equazione di una
qualsiasi circonferenza
08. Per descrivere un fascio di circonferenze è necessario avere
avere due punti (base)
09. Dato P un punto e una circonferenza. Se P è esterno alla circonferenza da P
escono due e due sole tangenti alla circonferenza
01. In un sistema di coordinate omogenee nello spazio, se la quarta coordinata
omogenea sarà nulla, allora si avrà a che fare con punti dello spazio
chiamati:
impropri o all'infinito
02. Non è possibile descrivere una retta nello spazio mediante:
una sola equazione cartesiana
03. Due rette si dicono parallele se
hanno la stessa direzione
04. Nello spazio, dati il punto P e la retta r che non si appartengono, quante
sono le rette che passano per P e sono parallele ad r?
una ed una sola
05. Siano dati due piani, saranno non paralleli se i vettori v1 e v2 sono:
sono linearmente indipendenti
06. Due rette che non hanno punti in comune e non sono parallele, cioè due
rette non complanari, si dicono
sghembe
07. Teoema: nello spazio tutte e sole le equazioni della forma
ax+by+cz+d=0 rappresentano un piano in cui a, b e c sono
numeri non tutti e tre nulli
08. Nello spazio un punto è quindi individuato da
una terna ordinata di numeri reali
09. l'equazione del fascio di piani che ha per sostegno la retta r si
ottiene come combinazione lineare delle equazioni
di due piani qualsiasi passanti per r
Lezione 063
01. Una retta ed una superficie algebrica di ordine n
hanno al più n punti in comune
02. Nello spazio tutte e sole le equazioni della forma ax + by + cz + d = 0
rappresentano un piano in cui a, b e c sono numeri
non tutti e tre nulli
03. Due rette nello spazio sono dette sghembe se e solo se:
non appartengono allo stesso piano
04. Per quanto riguarda le rotazioni vale un teorema secondo cui la
matrice di una rotazione è:
una matrice ortogonale
05. Se tutti i punti di una curva appartengono ad un medesimo piano la curva si
dice:
piana
06. Un punto P di un a superficie algebrica si dice multiplo per la superficie
stessa se:
ogni retta passante per P è tangente alla superficie algebrica
07. In un sistema di riferimento cartesiano le equazioni parametriche di un piano:
possono anche non essere lineari
08. Si chiama superficie nello spazio
il luogo dei punti dello spazio che soddisfano un'equazione cartesiana o parametrica
09. La composizione di una rotazione e di una traslazione
non è commutativa
01. Si dice rigata una superficie S tale che per ogni suo punto passi
almeno una retta reale tutta contenuta nella stessa superficie
02. Il piano che fa parte di un fasco di sfere si chiama
piano radicale del fascio
03. Si definisce un fascio di sfere
l'insieme F di tutte e sole le sfere che passano per una data circonferenza e dal
piano che la contiene
04. Si chiama di rotazione o rotonda una superficie S ottenuta facendo ruotare
una linea L attorno ad una retta r
05. L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza, reale
se la sua distanza dal centro è minore del raggio R
06. L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza,
immaginaria se
se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio R
07. L'intersezione di una sfera con un piano rappresenta una circonferenza,
ridotta ad un solo punto se
se la sua distanza dal centro è uguale al raggio R
08. del piano tangente in O ad una sfera passante per O si ottiene
sempre eguagliando a zero il complesso dei termini lineari dell'equazione della
superficie
09. Si chiama sfera il luogo dei punti dello spazio
equidistanti da un punto fissato
Lezione 072
01. Una curva algebrica L , si chiama cono di vertice V e direttice L
l'insieme di tutte e sole le rette passanti per V e secanti la L
02. Le equazioni omogenee intere nelle incognite x, y, z rappresentano tutti e soli
i coni con il vertice nell'origine
03. si chiama cilindro di direttrice g e generatrice r la superficie (rigata) formata
da:
tutte e sole le rette parallele ad r che intersecano la g
04. Nello spazio, riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali,
si chiama superficie quadrica ogni superficie rappresentata da
un'equazione polinomiale di secondo grado nelle variabili x, y e z
05. L'equazione di una qualunque quadrica si può ricondurre, con una
opportuna rototraslazione del sistema di riferimento, ad una ed una sola
delle forme canoniche elencate che riguarda le quadriche specializzate
cilindro quadrico a sezione ellittica
06. Un punto P di una quadrica S si dice parabolico a seconda che il piano
tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in:
due rette coincidenti
07. Un punto P di una quadrica S si dice ellittico a seconda che il piano tangente
in P tagli la quadrica rispettivamente in:
due rette immaginarie
08. Un punto P di una quadrica S si dice iperbolico a seconda che il piano
tangente in P tagli la quadrica rispettivamente in:
due rette distinte
09. La conica all'infinito è reale e non degenere:
per il cilindro quadrico a sezione parabolica
