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GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE

Anno: 2019/

Lorenzo Mugnai

GEOMETRIA

Sommario

Gruppo ............................................................................................................................................................... 3

Gruppo commutativo .................................................................................................................................... 4

Campo................................................................................................................................................................ 4

Relazioni ............................................................................................................................................................ 4

Relazione su A.................................................................................................................................................... 5

Somma in Z p

Prodotto in Z p

Matrici ............................................................................................................................................................... 7

Somma tra matrici dello stesso tipo .............................................................................................................. 7

Prodotto di una matrice per uno scalare ...................................................................................................... 7

Prodotto tra due matrici................................................................................................................................ 8

Matrice Identica ............................................................................................................................................ 8

Traccia di una matrice ................................................................................................................................... 8

Trasposta di una matrice ............................................................................................................................... 9

Determinante di una matrice ........................................................................................................................ 9

Spazio vettoriale ................................................................................................................................................ 9

Quoziente dello spazio ................................................................................................................................ 10

Somma tra vettori liberi .............................................................................................................................. 10

Prodotto per uno scalare............................................................................................................................. 10

Vettori paralleli ............................................................................................................................................ 11

Vettori complanari....................................................................................................................................... 11

Combinazione lineare .................................................................................................................................. 11

Vettori linearmente dipendenti .................................................................................................................. 11

Teorema della base ..................................................................................................................................... 12

Dimostrazione che una base non può essere di 4 vettori ....................................................................... 12

Prodotto scalare tra vettori ......................................................................................................................... 13

Prodotto vettoriale ...................................................................................................................................... 13

Prodotto misto ............................................................................................................................................ 14

Principio di funzione .................................................................................................................................... 15

Equazione vettoriali ..................................................................................................................................... 15

Prodotto scalare in IR

3

Prodotto vettoriale in IR

3

prodotto misto in IR

3

Ortogonalità e parallelismo ......................................................................................................................... 47

Rette e Piani................................................................................................................................................. 47

Rette equazione cartesiana ..................................................................................................................... 47

Rette equazione Parametrica .................................................................................................................. 47

Confronto tra rette .................................................................................................................................. 48

Piano ........................................................................................................................................................ 48

Equazione cartesiana del piano passante per tre punti .......................................................................... 48

Piano passante per un punto e perpendicolare a v=ai+bj+ck ................................................................. 48

Rette-piani ............................................................................................................................................... 48

Complanarità ............................................................................................................................................... 49

Formule con incognita ................................................................................................................................. 49

Aree ............................................................................................................................................................. 49

Fasci di piani ................................................................................................................................................ 49

Insieme dei piani paralleli ad un piano dato ........................................................................................... 49

Insiemi dei piani contenuti in una retta data .......................................................................................... 49

Distanza tra oggetti ..................................................................................................................................... 49

Punto-Punto ............................................................................................................................................ 49

Punto-piano ............................................................................................................................................. 50

Punto-retta .............................................................................................................................................. 50

Retta Piano .............................................................................................................................................. 50

Sottospazio Vettoriale ................................................................................................................................. 50

Basi di spazi vettoriali .............................................................................................................................. 50

Matrice associata ad una applicazione lineare........................................................................................ 50

Nucleo e immagine .................................................................................................................................. 50

Composizione di due applicazioni lineari: ............................................................................................... 51

Diagonalizzabilità ..................................................................................................................................... 51

Numeri Complessi........................................................................................................................................ 51

Forma polare ed esponenziale ................................................................................................................ 52

Suggerimenti................................................................................................................................................ 52

Gruppo

Def. Un gruppo è un insieme G in cui sono definite due operazioni prodotto e inversione (

1

3

inverso di 3):

1. Esista un elemento e tc gG eg=ge=g
2. gG ∃g
   • 1

G tc g*g

• 1

g=gg

• 1

=e

3.  g 1

,g 2

,g 3

G tc per la proprietà associativa: g 1

*(g 2

*g 3

)=(g 1

*g

*g 3

Esempi

• IRè un gruppo additivo dove 0 è l’elemento neutro

• IR{0} è un gruppo moltiplicativo dove 1 è l’elemento neutro

Def. Sia G un gruppo, allora l’elemento neutro del gruppo è univo.

Dimostrazione

Lo dimostriamo per assurdo siano e 1

,e 2

due elementi neutri  e 1

*e 2

= e 2

per proprietà di e 1

mentre per la

proprietà di e 2

 e 1

*e 2

= e 1

 e 1

=e 2

Def. Sia G un gruppo, allora l’inverso di g è unico

Dimostrazione

Lo dimostriamo per assurdo, sia gG e g 1

,g 2

sono inversi di g

g*g 1

=e  g*g 2

=e g*g 1=

g*g 2

 g 1

(g*g 1

)=g 1

(g*g 2

)  g 1

(g*g 1

)=g 2

(g*g 1

)  g 1

*e=g 2

*e  g 1

=g 2

Gruppo commutativo

Def. Un gruppo commutativo se g 1

,g 2

G g 1

*g 2

=g 2

*g 1

Esempio di Gruppo non commutativo

ABC = triangolo rettangolo G={simmetria del triangolo abc}

G={sc,sa,sb,r1,r2,e} e {

 e elemento neutro

sa {

sb {

sc {

r {

r {

sa*r1 applico la simmetria e poi la rotazione

sa*r1 {

 sc r1*sa {

 sb

Campo

Def. Un campo k è un insieme in cui sono definite due operazioni: prodotto e somma tc:

• K sia un gruppo commutativo rispetto alla somma con 0 l’elemento neutro
• K{0} sia un gruppo commutativo rispetto al prodotto con 1 l’elemento neutro
• Vale la proprietà distributiva:  a,b,c  K a(b+c)=ab+ac

Def. Sia k un campo, allora aK a*0=

Dimostrazione

A0=a(0+0)

Sia a

1

l’inverso di a*0 rispetto alla somma

a

1

+a*0= a

1

+(a0+a0)

0= (a

1

+a0) + a

0= a0+0  a0=

Def. Dato un campo K, indichiamo con – a l’inverso di aK rispetto alla somma allora - 1*a=- 1

Dimostrazione

(-1) *a+a= (-1) *a+1°= (-1+1) a=a0=

Relazioni

Def. Dati due insieme A,B il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme: AxB={(a,b),aA,bB}

Esempio

[0]={0,2,4,6,…}

[1]={1,3,5,…}

Se R è una relazione di equivalenza su A, l’insieme {[a],aA} è detto quoziente di A rispetto a R.

Nel caso dell’esempio precedente l’insieme quoziente di indica con Z p

(classi di resto con modulo p).

Z

2

= {[0], [1]}

p m ~ n m-n=k*p

m=q 1

*p+r 1

n=q 2

*p+r 2

m-n= q 1

*p+r 1

• (q 2

*p+r 2

m-n= (q 1

• q 2

)*p+(r 1

• r 2

) quindi m ~ n  r 1

=r 2

Esempio

P=

[0] = {0,3,6, …}

[1] = {1,4,-2,7,-5, …}

[2] = {2,5,-1,7,-4, …}

Z

3

= {[0], [1], [2]}

Z

p

= {[0], …, [p-1]}

Somma in Z

p

In Z p

definiamo l’operazione di somma:

[m]+[n]= [m+ n]

In Z 5

= {[0], [1], [2], [3], [4]}

[2]+[4]=[6]=[1]

In Z 13

[18]+[25]=[43]=[4]

Dimostrazione

[m]=[m

1

]

[n]=[n

1

]

 [m+ n] =[m

1

+n

1

]

m ~ m

1

 m- m

1

=k*p

n ~ n

1

 n- n

1

=k

1

*p

(m- m

1

) + (n- n

1

) =(k+k

1

)*p

(m+n) - (m

1

• n

1

) =(k+k

1

)*p

 (m+n) ~ (m

1

• n

1

)  [m+n]=[m

1

• n

1

]

Proprietà della somma:

1. [m]+[0]=[0]+[m]=[m]  [0] è l’elemento neutro della somma
2. [m]+[-m]=[m-m]=0 [-m] è l’inverso di [m] rispetto alla somma
3. [m]+([n]+[h])=[m]+[n+h]= [m+(n+h)]=[(m+n)+h]= [m+n]+[h]=([m]+[n])+[h]

Z

p

è un gruppo additivo e commutativo.

Esercizi

x+ [5] = [3] in Z 7

x+[5] = [10]  x=[10-5]  x=[5]

Prodotto in Z

p

[m][n]= [mn]

Esempio

In Z 6

[4]*[2]=[8]=[2]

Dimostrazione

[m]=[m

1

]  m-m

1

=k*p  m= m

1

+k*p

[n]=[n

1

]  n-n

1

= k

1

*p  n=n

1

+k

1

*p

m*n= (m

1

+kp)(n

1

+k

1

*p)=m

1

*n

1

+m

1

*k

1

*p+n

1

kp+ k*k

1

*p

2

= m

1

*n

1

+p*(m

1

*k

1

+n

1

k+kk

1

*p

1

 m*n ~ m

1

*n

1

 [m*n]= [m

1

*n

1

]

Esercizio

In Z 4

- [1]

• 1

=[1] perché se moltiplico queste due classi mi dà la classe [1] che è la classe neutra

- [3]

• 1

= [3]

- [2]

• 1

= non esiste  Z 4

non è un gruppo rispetto al prodotto  devo prendere un numero primo

Esercizio

[3]*x+[5]=[4] in Z 7

[3]*x=[-1]

Devo trovare l’opposto di [3] che in Z 7

è [5]

[5][3]x=[-1]*[5]

x=[-5]  x=[2]

Matrici

Def. Sia K un campo dove m,nIN {0}. Una matrice di tipo mxn a coefficiente in K è un insieme di mxn

elementi di K disposti su righe (m) e su colonne (n). L’insieme di tutte le matrici di tipo mxn a coefficienti in

K si indica con M(mxn, K) se m=n la matrice è detta quadrata di ordine m e l’insieme corrispondente si

indica con M(m, K).

Esempi

A=

 M(2*3, IR)

L’elemento che si trova sulla i-esima riga e la j-esima colonna di matrice A si indica con a ij

Somma tra matrici dello stesso tipo

A,B  M(mn, K) si definisce la matrice C somma di A,B C M(mn, K)

C=A+B  C

ij

= A

ij

+B

ij

per 1im 1jn

Esempio

A=

B=

C=

Proprietà della somma:

1. Definendo 0M(mxn) come la matrice i cui elementi sono tutti uguali a 0 si ha A+0=0+A=A  0 è

l’elemento neutro della somma

2. Data A M(mxn) definisco - AM(mxn, K) tc (-A) ij

=-a ij

 (A)+(-A)=(-A)+(A)=0  - A è l’opposto di A

rispetto alla somma.

3. Se A,B,CM(mxn,k)

((A+B)+C)

ij

=(A+B)

ij

+C

ij

=(a ij

+b ij

)+c ij

=a ij

+(b ij

+c ij

)=A

ij

+(B+C)

ij

=(A+(B+C))

ij

 vale la proprietà associativa 

M(mxn, K) è un gruppo additivo

4. Se A,B M(mxn, K)

(A+B)

ij

=a ij

+b ij

=b ij

+a ij

=(B+A)

ij

 il gruppo è commutativo

Prodotto di una matrice per uno scalare

Def. Sia AM(mxn,K), K

Si definisce la matrice AM(mxn, K):

(A)

ij

= a ij

1 im 1jn

A=

=- 5  A=

Proprietà del prodotto per K

5. AM(mxn, K) 1A=A1=A  A è l’elemento neutro
6. AM(mxn, K)  1

2

K

( 1 , 2 )A= 1 ( 2 A)

• Tr(AB)=tr(BA)
• Tr(A+B)=tr(B+A)= tr(A)+tr(B)

Trasposta di una matrice

Data AM(mxn, K) si definisce trasposta di A A

t

M(mxn, K)

A

t

ij

=a ji

Proprietà della trasposta:

- (A+B)

t

=A

t

+B

t

• Tr(A)=Tr(A

t

• Se AM(mxn, K), BM(n,h, K) (A*B)

t

=A

t

*B

t

Dim. ((A*B)

t

ij

=(A*B)

ji

𝑛

𝑘= 1

𝑛 𝑡

𝑘= 1

𝑡

𝑡

𝑡

𝑛

𝑘= 1

Determinante di una matrice

AM(n, K) n=

A=a 11

detA=a 11

n=2 A=

11

12

21

22

detA=Q11q22-q12q

Per Calcolare la determinante:

1. Scelgo un calore e cancello la riga e la colonna su qui il valore si trova poi calcolo il determinante

dei valori che restano e infine lo moltiplico per il valore scelto.

2. Poi mi posso muovere sia per le colonne che per le righe e faccio la stessa cosa
3. Il segno è dato da (-1)

i+j

se positivo il segno è positivo

Formula DetA=∑ (− 1 )

𝑖+𝑗

𝑖𝑗

𝑖𝑗

𝑛

𝑗= 1

dove  ij

è il determinante della matrice ottenuto da A cancellando

la i-esima riga e la j-esima colonna.

Esempio

n=3 A=

calcoliamo il detA partendo dalla seconda colonna

detA= (-1)

3

• 1 *det(

4

• 1 *det(

5

1det(

detA=-1*(- 2 - 2)+1(-3+1)-1(6+2)=4- 2 - 8=- 6

Proprietà della determinante:

1. det(AB)=det(A)det(B)
2. Det(*A)[in n=2]=

2

*detA

3. A=

1

2

3

detA= 1

2

3

Spazio vettoriale

Def. Sia E lo spazio Euclideo, un vettore applicato è un elemento della forma(p,q) con p,qE. p è detto

primo estremo (o punto di applicazione). q è detto secondo estremo. Se p=q il vettore è detto nullo.

• Se pq allora la direzione del vettore è la direzione della retta passante per p e q.
  • Il verso della retta è dato dalla scelta della semiretta di origine p contente q.
  • il modulo del vettore è la distanza tra p e q

Sull’insieme dei vettori applicati si definisce una relazione (p,q)~(p 1

,q 1

) se:

• p=q e p 1

=q 1

• Se (p,q) e (p 1

,q 1

) sono non nulli allora sono in relazione se sodisfano questi 3 campi:

1. Se hanno la stessa direzione
2. Se hanno lo stesso verso le semirette di origine p e p 1

contenti q e q 1

possono essere

sovrapposte con la traslazione

3. Se hanno lo stesso modulo

Quoziente dello spazio

Def. Se soddisfa questi 3 campi la relazione è di equivalenza. Il quoziente dello spazio dei vettori applicati

rispetto a questa relazione è detto insieme dei vettori liberi che indichiamo con. Useremo la notazione:

v=[(p,q)] per i vettori liberi. Sia v un vettore libero e pE, allora esiste ed è unico un rappresentante di v

applicato in p.

• Se v =[(q,q)]  (p,p)[(q,q)] quindi rappresenta v
• Se v =[(p 1

,q 1

)]  (p,q)[(p 1

,q 1

)]=v

Somma tra vettori liberi

Somma dati v e w  si sceglie p E

 sia (p,q) il rappresentante di v applicato in p

sia (q,r) il rappresentante di w applicato in q

v+w=[(p,r)]

La somma non dipende dal punto p

Proprietà della somma:

1. 0 +v=v+ 0 =v  0 (vettore nullo) è l’elemento neutro della somma
2. Se v [(p,q)] definisco – v [q,p]  v+(-v)=(-v)+v= 0  - v è l’inverso di v rispetto alla somma
3. Se v,w,t  , (v+w)+t=v+(w+t)

(v+w)+t

(v+w)=[(p,r)]

(v+w)+t=[(p,s)]

Vale proprietà associativa

4.  v, w  v+w=w+v

Vale proprietà commutativa

Prodotto per uno scalare

Sia v  e IR v .

• Se =0 o v=0  v=
• Se 0 e v 0  v è un vettore che:
  • Ha la stessa direzione di v
  • Ha lo stesso verso di v se >0, altrimenti verso opposto
  • Modulo di |v|=|v|

Proprietà del prodotto scalare:

5. v 1v=v1=v  1 è l’elemento neutro rispetto al prodotto scalare
6. v  1

2

IR (

1

2

)*v= 1

2

*v)

• n=1 v 1

linearmente dipendente se:

1

v 1

1

 0  v 1

• n=2 v 1

,v 2

linearmente dipendenti se:

1

v 1

2

v 2

=0 se  1

0 o  2

• n=3 v 1

,v 2

,v 3

linearmente dipendenti  sono complanari

Esercizio

Siano u,v,t linearmente indipendenti, determina se esiste un valore h tc - 2 u+v,u-v+t,u+v-t*h

1

(- 2 u+v)+ 2

(u-v+t)+ 3

(u+v-th)=  1

(- 2 u)+ 1

(v)+ 2

(u)- 2

(v)+ 2

(t)+ 3

(u)+ 3

(v)- 3

(th)=

u(- 2  1

2

3

)+v( 1

2

3

)+t( 2

h 3

1

2

3

1

1

3

3

1

3

1

3

1

2

3

2

1

3

2

3

2

3

3

3

3

Se h 3   3

2

1

 sono indipendenti

Se h=3  3

 0  sono linearmente dipendenti

Teorema della base

Dati tre vettori linearmente indipendenti  ogni altro vettore v è esprimibile in modo unico come loro

combinazione lineare: v ∃ 1

2

3

IRtc v= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

Dim.

Fissato pE siano (p,q),(p,q 2

),(p,q 3

) i rappresentanti di v 1

,v 2

,v 3

applicati in p. si manda

per q la parallela alla retta passante per p e q 3

, questa interseca il piano p,q 1

,q 2

nel

punto r. sia w=[(p,q)]. Per costruzione w è complanare a v 1

,v 2

w= 1

v 1

2

v 2

. Sia

t=[(r,q)] tc v=w+t. Il vettore t è parallelo a v 3

 t= 3

v 3

 w= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

Dim. Unicità

v= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

v= 1

I

v 1

2

I

v 2

3

I

v 3

1

v 1

2

v 2

3

v 3

1

I

v 1

2

I

v 2

3

I

v 3

1

1

I

)v 1

2

2

I

)v 2

3

3

I

)v 3

Visto che v 1

,v 2

,v 3

sono linearmente indipendenti  {

1

1

𝐼

1

1

𝐼

2

2

𝐼

2

2

𝐼

3

3

𝐼

3

3

𝐼

v :

• se v 1

,v 2

,v 3

linearmente indipendenti  v= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

v- 1

v 1

2

v 2

3

v 3

=0  v,v 1

,v 2

,v 3

sono linearmente dipendenti

• se v 1

,v 2

,v 3

linearmente dipendenti  1

v 1

2

v 2

3

v 3

=0 con  i

0*v+ 1

v 1

2

v 2

3

v 3

=0  v,v 1

,v 2

,v 3

sono linearmente dipendenti

Una base di è un insieme di tre vettori linearmente indipendenti. Ogni vettore libero può essere scritto

come combinazione lineare degli elementi di una base in modo unico.

Dimostrazione che una base non può essere di 4 vettori

v 1

,v 2

,v 3

 linearmente indipendenti

v  v= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

v 4

 tc v 4

=a 1

v 1

+a 2

v 2

+a 3

v 3

perché tuttii vettori possono essere rappresentati da 3 vettori lineramente

indipendenti v= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

+v 4

 v=( 1

• a 1

)v 1

2

• a 2

)v 2

3

• a 3

)v 3

 perdo l’unicità perché un valore

può essere rappresentato in infiniti modi diversi

Prodotto scalare tra vettori

Dati due vettori non nulli v,w sia pE e (p,q),(p,q 1

) rappresentanti di v,w. Si definisce angolo tra v e w

l’angolo 𝑣𝑤̂ dato dall’angolo convesso 𝑞𝑝𝑞

1

Def. Il prodotto scalare tra v e w  :

∗ cos (𝑣𝑤̂ )

Due vettori si dicono perpendicolari (ortogonali) se uno dei due è nullo oppure le loro direzioni sono

perpendicolari si indicano v⊥w. Proposizione: v⊥w  v*w=0 se v0 e w0 sono ⊥

vw=|v||w|*cos(90)=

Dimostrazione

v*w=0 se:

• se v=0 o w=
• se vw=|v||w|*cos(𝑣𝑤̂ )=0 v 0 w 0  cos(𝑣𝑤̂ )=0 𝑣𝑤̂ =90  v⊥w

Proiezione ortogonale di w su v:

wv=|w|*cos(𝑣𝑤̂ )vers(v)=(|v|

2

|w|cos(𝑣𝑤̂ ))/|v|

2

vers(v)=(|v||v||w|cos(𝑣𝑤̂ ))/|v|

2

*vers(v)

|v|vers(v)=v |v||w|cos(𝑣𝑤̂ )=vw  wv=(v*w)/|v|

2

*v

Proprietà del prodotto scalare:

1. v*v=|v|

2

2. (v)w=v(w)
3. (v 1

+v 2

)*w=v 1

*w+v 2

*w

4. Vw=wv=|v||w|cos(𝑣𝑤̂ )

Rappresentazione di v:

v  dove v= 1

v 1

2

v 2

3

v 3

 v( 1

2

3

Esercizio

|v|= 2 |w|= 3 |v+w|=

Trova l’angolo 𝑣𝑤̂ :

|v+w|

2

=16 (v+w)(v+w)=vv+vw+wv+ww= |v|

2

+vw+wv+|w|

2

 4 + 2 vw+ 9 =16  13 + 2 [ 2 * 3 *cos(𝑣𝑤̂ )]=16 cos(𝑣𝑤̂ )=(16-13)/12  cos(𝑣𝑤̂ )=1/

𝑣𝑤̂ =arcos(1/4)

Prodotto vettoriale

Def. Dati v,w  definiamo il prodotto vettoriale di v e w: vw

vw=0  v// w

se v e w non sono paralleli vw è un vettore che ha direzione perpendicolare a v e w, ha il verso tc v,w, vw

sia una terna positiva, e modulo |vw|=|v||w|sin(𝑣𝑤̂ )).

Def. Dati tre vettori non complanari v,w,t. questi formano una terna

positiva(ordinata). Se applicando tre vettori in un punto p (p,q 1

),(p,q 2

),(p,q 3

). Un

osservatore in q 3 vede ruotare (p,q 1 ) su (p,q 2 ) secondo un angolo convesso in verso

antiorario. Se v,w,t è una terna positiva v,w,t è positiva se >0 senno diventa

negativa.

Il segno di una terna cambia se si scambiano due vettori adiacenti:

(v-w+t) (v+2w)*(hv+w-t)=

(vw)+(2vw)-(wv)-( 2 ww)+(tv)+(t 2 w)*(hv+w-t)=

ww=

=(2vw-wv+tv+2tw)(hv+w-t) vw ⊥ v o w  vwv=0 o vw*w=

=(- 3 vwt+tvw+2twhv)=- 3 vw+vwt-2h vwt=(- 2 - 2h)vw*t

vw*t>0 per ipotesi  per far sì che la terna si positive - 2 - 2h>0  h<

Principio di funzione

IN =0,1,2,…

Data una proprietà Pn (dipendente da mIN se esiste n0IN tc Pn0 sia vera e si riesce a dimostrare che se Pn

è vera allora Pn+1 è vera allora Pn è vera nn0.

Pn, dato 0<k, k1, kIR allora 1+k+…+k

n

=(1-k

n+

)/(1-k)

𝑖

𝑛

𝑖= 0

Dimostriamo che P0 è vera:

0 𝑖

𝑖= 0

=k

0

Dimostriamo che vale per n+

𝑛+ 1 𝑖

𝑖= 0

=(1-k

n+

)/(1-k) ∑ =

𝑛+ 1

𝑖= 0

𝑛+ 1

𝑛 𝑛+ 1

𝑖= 0

 (1-k

n+

)/(1-k)+k

n+

=(1-k

n+

+k

n+

• k

n+

)/(1-k)=

(1-k

n+

)/(1-k)

Equazione vettoriali

Dati v,x ,  IR cerchiamo dei vettori c tc x*v=

Casi particolari:

• v=0  l’equazione diventa 0=

v=0 ha soluzione  =0 e in questo caso x è soluzione

• Supponiamo che v≠ 0 xv=  |x||v|*cos(xv)=

|x|cos(xv)=/|v| xcos(xv)=componente orientata di x lungo v

/|v|vers(v)=/|v|

2

|v|vers(v)=K/|v|

2

*v  le soluzioni sono tutti e soli i vettori x=/|v|

2

v+w

con w⊥v

• Supponiamo =0  x equivale a tutti i vettori perpendicolari a v x⊥v

Dati v,w,x ,  IR cerchiamo dei vettori c tc xv=w

Casi Particolari:

• Se v non è perpendicolare a w non ci sono soluzioni
• Supponiamo v⊥w:
  • v=0 l’equazione diventa w=0  l’equazione ammette soluzioni  w=0 in questo caso x

è soluzione

• w=0, l’equazione diventa x  v=0. Le soluzioni sono della forma v, IR
• Supponiamo che v,w≠0, v⊥w se le soluzioni di x esistono ⊥w  x è la combinazione lineare

di v e v  w  x sono della forma x=av+ b*(v w)

Sostituendo nell’equazione: (av+b(v w)) v=w  b(v w) v= w  v w v è //w ed ha il

verso di w mentre il modulo è: |v w||v|sen(v w v) = |vw|*|v|

=|v||w|sen(vw)*|v|=|v|

2

*|w|  b[|v|

2

|w|vers(w)]=w  b|v|

2

*w=w

Quindi x è soluzione  b|v|

2

=1 cioè b=1/|v|

2

 x=a*v+1/|v|

2

*v w  l’equazione

ammette infinite soluzioni.

K

n

, nIN , K campo K

n

={x 1

,-,x n

}, x 1

K , i=1,-,n

Definiamo la somma in K

n

(x 1

,-,x n

)+(y 1

,-,y n

)=(x 1

+y 1

,--,x n

+y n

Proprietà:

• (x 1

,-,x n

)+(0,-,0)=(0,-,0)+(x 1

,-,x n

)=(x 1

,-,x n

) (o,-,0)=0 ed è l’elemento neutro rispetto alla somma

• Dato (x 1

,-,x n

)K

n

 (x 1

,-,x n

)+(-x 1

,-,-x n

)=(0,-,0)  ogni elemento ammette un opposto rispetto alla

somma

• Dato (x 1

,-,x n

),(y 1

,-,y n

),(z 1

,-,z n

) K

n

[(x 1

,-,x n

)+(y 1

,-,y n

)]+(z 1

,-,z n

)=(x 1

,-,x n

)+[(y 1

,-,y n

)+(z 1

,-,z n

)]  vale la proprietà associativa

• Dati (x 1

,-,x n

),(y 1

,-,y n

)K

n

 (x 1

,-,x n

)+(y 1

,-,y n

)=(y 1

,-,y n

)+(x 1

,-,x n

)  la somma è commutativa

Esempio

In IR

5

In

2

7

([2],[5])+([3],[4])=([5],[2])

Definiamo il prodotto di K per (x 1

,-,x n

)K

n

 (x 1

,-,x n

)=(x 1

,-,x n

Proprietà del prodotto

• (x 1

,-,x n

)K

n

 1*(x 1

,-,x n

)=(x 1

,-,x n

)  1 è l’elemento neutro del prodotto

1

2

K (x 1

,-,x n

)K

n

1

2

)*(x 1

,-,x n

1

2

*x 1

2

*x n

)  vale la proprietà associativa

1

2

K (x 1

,-,x n

)K

n

1

2

)*(x 1

,-,x n

1

*(x 1

,-,x n

2

2

x 1

2

*x n

• K (x 1

,-,x n

), (y 1

,-,y n

)K

n

 [(x 1

,-,x n

)+(y 1

,-,y n

)]=(x 1

,-,x n

)+(y 1

,-,y n

K

n

è uno spazio vettoriale

Fissiamo una base v 1

,v 2

,v 3

di se v possiamo scrivere, in modo unico, v= 1

*v 1

2

*v 2

3

*v 3

con  1

2

3

 IR

Definiamo f: --> IR

3

f(v)=( 1

2

3

) f è una corrispondenza biunivoca dipendente dalla base scelta

Esempio

v= 2*v 1

• v 2

+5*v 3

f(v)=(2,-1,5)

Siano v, w v= 1

*v 1

2

*v 2

3

*v 3

w= 4

*v 1

5

*v 2

6

*v 3

v+w=( 1

4

)v 1

2

5

)v 2

3

6

)v 3

 f(v)=( 1

2

3

) f(w)=( 4

5

6

) f(v+w)=( 1

4

2

5

3

6

1

2

3

4

5

6

)=f(v)+f(w)

Siano v  IR v= 1

*v 1

2

*v 2

3

*v 3

v=( 1

*v 1

2

*v 2

3

*v 3

1

*v 1

2

*v 2

3

*v 3

f(v)=( 1

2

3

) f(v)=( 1

2

3

1

2

3

)=*f(v)

Esempio

v=2v 1

• v 2

+5v 3

w=-v 1

+2v 2

+3v 3

F(v)=(2,-1,5) f(w)=(-1,2,3) f(v+w)=(1,1,8) v+w=v 1

+v 2

+8v 3

Il prodotto scalare standard in K

n

è definito da: (x 1

,-,x n

)*(y 1

,-,y n

)=x 1

*y 1

,-,x n

*y n

(x 1

,x 2

,x 3

) (y 1

,y 2

,y 3

)*(z 1

,z 2

,z 3

=(x 2

y 3

• x 3

y 2

,x 3

y 1

• x 1

y 3

,x 1

y 2

• x 2

y 1

)*(z 1

,z 2

,z 3

= (x 2

y 3

• x 3

y 2

)z 1

+(x 3

y 1

• x 1

y 3

)z 2

+(x 1

y 2

• x 2

y 1

)z 3

=det

1

2

3

1

2

3

1

2

3

Tre vettori sono complanari  il suo determinante è 0. Nel determinante se scambio due righe adiacenti

mi cambia il segno.

Base ortonormale positiva

i, j, k sarà sempre una base ortonormale positiva.

ii=jj=k*k=

ij=ji=ik=ki=jk=kj=

ij=k ji=-k

jk=i kj=-i

ki=j ik=-j

Esercizio

Determinare se esiste un valore del parametro h tc i vettori:2i-hj,i+j-k,j+2k formano una base positiva di

Det

lo calcolo partendo dalla terza riga= (-1)

5

6

2(2+h)=3+4+2h

 7+2h>0 h>-7/2 la base è positiva h=-7/2 sta sul piano (3 vettori complanari)

h<-7/2 la base è negativa

Esercizio

i, j, k base ortonormale positiva

Determina una base, se esiste, una base ortonormale positiva che contenga due

vettori paralleli a i+j e i-j

Verifichiamo che i+j e i-j sono perpendicolari se (i+ j)*(i- j)=

(i+ j)*(i- j)=1-1=0  i+j e i-j sono perpendicolari

Il modulo di i+j deve essere 1 |i+j|

2

=(i+j)(i+j)=1+1=2  |i+j|=√ 2

Poniamo v 1

=1/√ 2 *i+1/√ 2 *j

Il modulo di i-j deve essere 1 |i-j|

2

=(i-j)(i-j)=1+1=2 |i+j|=√ 2

Poniamo v 2

=1/√ 2 *i-1/√ 2 *j

v 3

=v 1

v 2

=1/√ 2 (i+j)  1/√ 2 (i-j)=1/2(-k-k)=-k

v 1

,v 2

,v 3

è una base ortonormale positiva

Geometria analitica nello spazio

Coordinate nello spazio

Fissiamo un punto OE (origine) e una base ortonormale positiva i, j, k di (= sistema di coordinate). Dato

un punto pE consideriamo (O,P) come vettore applicato e v (v è un vettore libero) tc [(O,P)]=v.

Possiamo scrivere v=xi+yj+z*k  f(v)=(x,y,z)IR (x,y,z) son dette coordinate di P nel sistema di coordinate

scelto. Questo definisce una corrispondenza biunivoca fra punti dello spazio Euclideo e IR

3

Dato P(x,y,z) cioè P ha coordinate (x,y,z)  v=xi+yj+z*k

P

0

(x 0

,y 0

,z 0

) v 0

=x 0

*i+y 0

*j+z 0

*k

v-v 0

=(x-x 0

)i+(y-y 0

)j+(z-z 0

)k Q(x-x 0

,y-y 0

,z-z 0

Equazione della retta in IR

Dato una retta r, r è univocamente determinata da due punti distinti p 0

,pr. Supponiamo di avere fissato

un sistema di coordinate e P 1

(x 1

,y 1

,z 1

) P

0

(x 0

,y 0

,z 0

). Dato P(x,y,z) vogliamo sapere se appartiene alla retta

pr. Se [(p 0

,p 1

)]=v 0

e [(p 0

,p)] allora Pr v//v 0

tIR tc v=t*v 0

v=(x-x 0

)i+(y-y 0

)j+(z-z 0

)k

v 0

=(x 1

• x 0

)i+(y 1

• y 0

)j+(z 1

• z 0

)k

 Pr {

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

La retta passante per P 0

(1,-3,2), P

1

(5,1,-7) ha equazione parametrica

P(-11,-15,29)r

Poniamo l=x 1

• x 0

, m=y 1

• y 0

, n=z 1

• z 0

Retta passante per il punto P(1,5,0) e // a i+j-k

Ha equazione: {

Per t=-2 (-1,3,2)r {

è un equazione parametrica di r

0

0

0

è un eq. parametrica di una retta per il punto di coord. (x 0 ,y 0 ,z 0 ) e // li+mj+n*k

Esercizio

Determinare l’equazione della retta passante per il punto di coordinate (1,3,-2) e parallela alla retta

passante per i punti di coordinate (3,2,0),(1,1,1). La retta passante per quei due punti ha equazione

parametrica= {

//2i+j-k. La retta che sto cercando ha

equazione parametrica={

Esercizio

Determinare l’equazione di una retta passante per (1,3,1) e ortogonale a {

//-i+j+2k //1i+2j

(-i+j+2k)(i+2j)=-2k-k+2j-4i=-4i+2j-3k {

Equazione cartesiana della retta

L’equazione cartesiana della retta a differenza dell’equazione parametrica non contiene variabili.

Retta passante per (1,3,1) e parallela a - 2i-j+k {

 t=z- 1

= equazione cartesiana della retta. 2 piani non paralleli si intersecano in

una retta con equazione cartesiana.