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Prova esame di Algebra Lineare e Geometria
Tipologia: Prove d'esame
Offerta a tempo limitato
Caricato il 04/09/2020
4.5
(56)25 documenti
1 / 20
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A
Istruzioni:
Q1 a (^) b c (^) d Q5 a (^) b c (^) d
Q2 a (^) b c (^) d Q6 a (^) b c (^) d
Q3 a (^) b c (^) d Q7 a (^) b c (^) d
Q4 a^ b c^ d Q8 a^ b c^ d
Non scrivere in questo spazio
A
Q1. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati le rette r 1 e r 2 rispetti- vamente di equazioni:
r 1 :
x = 2 + 3t y = − 2 t z = 2 + 2t
r 2 :
x = 1 + s y = 1 + 2s z = 2 Quale delle seguenti affermazioni `e vera? (a) r 1 e r 2 s’intersecano in un punto. (b) Il piano di equazione 4 x − 2 y − z = 0 contiene sia r 1 che r 2. (c) Il piano di equazione x + y + z = 0 contiene r 1 ma non r 2. (d) r 1 che r 2 sono sghembe
Q2. Sia dato l’endomorfismo f : R^2 → R^2 definito da:
f (− 1 , 0) = (1, 1) , f (1, 1) = (0, 0) , e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) A =
(b) A =
(c) A =
(d) A =
Q3. Sia f : R^3 → R^3 l’endomorfismo avente come matrice rappresentativa, rispetto alle basi canoniche,
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) fe invertibile. (b) L’immagine di f ha dimensione 2. (c) dim Ker(f ) = 0. (d) f non `e diagonalizzabile.
Q4. Sia h ∈ R. Nello spazio vettoriale P 2 [x] i polinomi
p 1 (x) = 2 − x + x^2 , p 2 (x) = 1 + hx + x^2 , p 3 (x) = 3 + x + hx^2
(a) formano una base per h = 1. (b) sono generatori per h = − 1. (c) sono linearmente dipendenti per ogni h. (d) sono linearmente indipendenti per h = 2.
Q5. Si consideri la conica C di equazione
2 x^2 − xy − y^2 + x − y = 0.
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) C e un’ellisse. (b) C e una parabola.(c) C e l’unione di due rette distinte. (d) C e l’unione di due rette coincidenti (retta doppia).`
A
Sia f l’endomorfismo tra lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 2 cosi’ definito:
f :
a b c d
a b + d c + 2d − 2 b + c
Svolgimento dell’esercizio
A
Svolgimento dell’esercizio
B
Q1. Sia f : R^3 → R^3 l’endomorfismo avente come matrice rappresentativa, rispetto alle basi canoniche,
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) fe diagonalizzabile. (b) f non e invertibile. (c) dim Ker(f ) = 1. (d) (1, 1 , 1) e un autovettore di f.
Q2. Il seguente sistema (^)
x + 2y + 2z = 1 x + z = 2 3 y + z = 1
(a) rappresenta una retta di R^3. (b) ammette una sola soluzione. (c) ammette infinite soluzioni. (d) non ammette soluzione.
Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati le rette r 1 e r 2 rispetti- vamente di equazioni:
r 1 :
x = 1 + t y = − 2 t z = 1 + 2t
r 2 :
x = 1 + 3s y = 2s z = 1 Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) Le rette r 1 che r 2 sono sghembe. (b) Esiste un piano contenente sia r 1 che r 2 chee ortogonale al vettore −~ı + ~ + ~k. (c) r 1 e r 2 s’intersecano in un punto (d) Le rette r 1 e r 2 sono parallele.
Q4. Sia h ∈ R. Nello spazio vettoriale P 2 [x] i polinomi
p 1 (x) = 2 + x + 3x^2 , p 2 (x) = −1 + hx + x^2 , p 3 (x) = 1 + x + hx^2
(a) sono generatori per h = 2. (b) formano una base per h = − 2. (c) sono linearmente indipendenti per ogni h. (d) sono linearmente dipendenti per h = 1.
Q5. Si consideri la conica C di equazione
4 x^2 + 4xy + y^2 + 4x + 2y + 1 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) C e un’ellisse. (b) C e una parabola.(c) C e l’unione di due rette distinte. (d) C e l’unione di due rette coincidenti (retta doppia).`
B
Q6. Sia A una matrice simmetrica 3 × 3 con unici autovalori 2 e 3. Sapendo che l’autospazio relativo a 2 eL{(1, 1 , 1), (1, 1 , 0)}, l’autospazio relativo a 3 e (a) L{(1, 1 , 0)}. (b) L{(− 1 , 1 , 0)}. (c) L{(0, 0 , 0)}. (d) L{(0, 1 , 1)}.
Q7. Sia dato l’endomorfismo f : R^2 → R^2 definito da:
f (1, 1) = (0, 0) , f (0, −1) = (1, 2) ,
e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) A =
(b) A =
(c) A =
(d) A =
Q8. Siano U e V sottospazi vettoriali di R^6 tali che dim(U ) = 5 e dim(V ) = 3. Quale delle seguenti affermazioni `e sempre vera? (a) U + V = R^6. (b) dim(U ∩ V ) = 1. (c) dim(U ∩ V ) ≥ 2. (d) U ∩ V = {~ 0 }.
B
Svolgimento dell’esercizio
C
Istruzioni:
Q1 a^ b c^ d Q5 a^ b c^ d
Q2 a (^) b c (^) d Q6 a (^) b c (^) d
Q3 a (^) b c (^) d Q7 a (^) b c (^) d
Q4 a^ b c^ d Q8 a^ b c^ d
Non scrivere in questo spazio
C
Q6. Si consideri la conica C di equazione
2 x^2 − xy − y^2 + x − y = 0.
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) C e un’ellisse. (b) C e una parabola.(c) C e l’unione di due rette coincidenti (retta doppia). (d) C e l’unione di due rette distinte.`
Q7. Sia dato l’endomorfismo f : R^2 → R^2 definito da:
f (− 1 , 0) = (1, 1) , f (1, 1) = (0, 0) ,
e sia A la matrice associata ad f rispetto alla base canonica (nel dominio e codominio). Quale delle seguenti affermazioni `e vera?
(a) A =
(b) A =
(c) A =
(d) A =
Q8. Sia A una matrice simmetrica 3 × 3 con unici autovalori 1 e 2. Sapendo che l’autospazio relativo a 2 eL{(1, 0 , 1), (1, 1 , 0)}, l’autospazio relativo a 1 e (a) L{(1, 0 , 0)}. (b) L{(1, 1 , 1)}. (c) L{(0, 1 , 1)}. (d) L{(− 1 , 1 , 1)}.
C
Sia f l’endomorfismo tra lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 2 cosi’ definito:
f :
a b c d
a b + d c + 2d − 2 b + c
Svolgimento dell’esercizio
D
Istruzioni:
Q1 a (^) b c (^) d Q5 a (^) b c (^) d
Q2 a (^) b c (^) d Q6 a (^) b c (^) d
Q3 a (^) b c (^) d Q7 a (^) b c (^) d
Q4 a^ b c^ d Q8 a^ b c^ d
Non scrivere in questo spazio
D
Q1. Si consideri la conica C di equazione
4 x^2 + 4xy + y^2 + 4x + 2y + 1 = 0.
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) C e l’unione di due rette coincidenti (retta doppia). (b) C e un’ellisse.(c) C e una parabola. (d) C e l’unione di due rette distinte.`
Q2. Sia f : R^3 → R^3 l’endomorfismo avente come matrice rappresentativa, rispetto alle basi canoniche,
Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) (1, 1 , 1) e un autovettore di f. (b) f non e invertibile. (c) dim Ker(f ) = 1. (d) fe diagonalizzabile.
Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati le rette r 1 e r 2 rispetti- vamente di equazioni:
r 1 :
x = 1 + t y = − 2 t z = 1 + 2t
r 2 :
x = 1 + 3s y = 2s z = 1 Quale delle seguenti affermazioni e vera? (a) Le rette r 1 che r 2 sono sghembe. (b) Esiste un piano contenente sia r 1 che r 2 chee ortogonale al vettore −~ı + ~ + ~k. (c) r 1 e r 2 s’intersecano in un punto (d) Le rette r 1 e r 2 sono parallele.
Q4. Sia A una matrice simmetrica 3 × 3 con unici autovalori 2 e 3. Sapendo che l’autospazio relativo a 2 eL{(1, 1 , 1), (1, 1 , 0)}, l’autospazio relativo a 3 e (a) L{(− 1 , 1 , 0)}. (b) L{(1, 1 , 0)}. (c) L{(0, 0 , 0)}. (d) L{(0, 1 , 1)}.
Q5. Il seguente sistema (^)
x + 2y + 2z = 1 x + z = 2 3 y + z = 1
(a) ammette una sola soluzione. (b) rappresenta una retta di R^3. (c) ammette infinite soluzioni. (d) non ammette soluzione.
D
Sia f l’endomorfismo tra lo spazio vettoriale delle matrici 2 × 2 cosi’ definito:
f :
a b c d
a b − 2 d c + d b + c − d
Svolgimento dell’esercizio
D
Svolgimento dell’esercizio
