ESAME DI ALGEBRA 26/01/2009
1. Si provi che la funzione
Φ : P(X)∈R[X]−→(P(1), P (2)) ∈R×R
e’ un omomorfismo di anelli.
Si descriva KerΦ e si trovi la decomposizione canonica di Φ. Si verifichi che in ogni
laterale di KerΦ c’e’ uno ed un solo polinomio del tipo ax +b. Si controlli che Φ e’
suriettiva. Si dica se Ker Φ e’ un ideale massimale o primo.
(12 punti)
2) Si descriva il minimo sopracampo Kdi Z3che contiene le radici quadrate della
classe [2]3. E’ vero che Ke’ costituito da tutte e sole le soluzioni dell’equazione X9−X= 0?
(10 punti)
3) Di ciascuna delle seguenti affermazioni, si dica se e’ vera o falsa, giustificando la
risposta.
a) Tutti i gruppi finiti sono ciclici.
b) In un omomorfismo f:G−→G0, l’immagine di un sottogruppo normale di Ge’
un sottogruppo normale di G0.
c) Gli ideali propri di Znsono tanti quanti i divisori propri di n.
d) La cifra delle unita’ di 72391 e’ 3.
e) Nell’insieme Z∗degli interi non nulli la relazione:
xρy ⇔xha lo stesso numero di fattori irriducibili di y
e’ di equivalenza.
f) Tutti gli elementi di un campo hanno la stessa caratteristica.
(12 punti)
1
