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Algebra 1 - Omomorfismi di Gruppi, Appunti di Algebra I

Università degli Studi di Genova (UNIGE)Algebra I
Prof. Aldo Conca

Anno: 2023-24 Corso: Algebra 1 Professore: Aldo Conca Università: corso di laurea triennale all’università di Genova Complessivamente questa serie di appunti tratta i seguenti argomenti: Insiemi, sottoinsiemi, calcolo combinatorio, relazioni di equivalenza, insieme quoziente, gruppi e anelli, divisibilità, equazioni diofantee, aritmetica modulare, sistemi di congruenze, anelli di polinomi, irriducibilità di polinomi, quozienti di anelli di polinomi, gruppi e sottogruppi, omomorfismi di g In particolare questa settima parte tratta di omomorfismi di gruppo.

Tipologia: Appunti

2023/2024

In vendita dal 10/07/2024

olivia-vrenna
olivia-vrenna 🇮🇹

15 documenti

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bg1
Varianti
:
·
Gr
add
.
e
Gr
molt
:
f(n
+
u)
=
f(x)
-
f(y)
·
Ge
mot
.
e
Gr add
.:
f(x-y)
=
f(x)
+
f(y)
·
Gr
add
e
Gr
add
.
:
f(a
+
y)
=
f(x)
+
f(y)
OMOMORFISMI
rispettano
le
operazioni
in
gioco"
ENDOMORFISMO
:
sono
omomorfismi
da
G
in
G
(dow
=
cod)
ISOMORFISMO
:
ono
bigettivo
AUTOMORFISMO
:
Omo
bigettivo
da
G
in
G
OSS
:
(tutto
in
notazione
molt
.
)
f
:
G
-G
ono
di
gruppi
1
.
f(1a2)
=
14
2
.
f(x
-2)
=
[8(2)]
-
2
An
e
Gr
3
.
f(x)
=
[f(x)]"
FreGe
,
Fret
4
.
(g(a)))
it(x)
Fave
Ge
Dimostrazione
:
2
:
8(142
·
(az)
=
f(zan)
-
f(2a2)
=
192
Il
f(2a2)xey
=
f(22)
=
y
=
y72an
=
y
2
:
f(n
-
x
-2)
=
f(1a)
=
14
Il
f(x)
-f(x
-
2)
=
122
=>
molt
.
[f(x)]"
=
f(x
2)
=
[f(x)]
-
1
3
:
n
=
0
(a)
n
=
-
1
(2)
n
=
1
ovvia
Si
conclude
per
induzione
...
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff

Anteprima parziale del testo

Scarica Algebra 1 - Omomorfismi di Gruppi e più Appunti in PDF di Algebra I solo su Docsity!

Varianti :

·

Gr

add

. e Gr

molt :

f(n

+ u) =

f(x)

f(y)

·

Ge mot

.

e Gr add.:

f(x-y)

=

f(x)

f(y)

·

Gr

add e Gr

add

.

:

f(a

y)

=

f(x)

f(y)

OMOMORFISMI

rispettano

le

operazioni

in

gioco"

ENDOMORFISMO :

sono

omomorfismi

da G in G

(dow

cod)

ISOMORFISMO

:

ono

bigettivo

AUTOMORFISMO

:

Omo

bigettivo

da

G

in G

OSS

: (tutto

in notazione molt.

f

: G -G ono di

gruppi

1 .

f(1a2)

=

f(x

=

[8(2)]

  • 2

An e Gr

.

f(x)

=

[f(x)]"

FreGe

,

Fret

.

(g(a)))

it(x)

Fave

Ge

Dimostrazione

:

2 :

8(

·

(az)

=

f(zan)

f(2a2)

=

Il

f(2a2)xey

=

f(22)

=

y

=

y72an

=

y

:

f(n

  • x-2)

=

f(1a)

=

14

Il

f(x) -f(x

= 122 =>

molt .

[f(x)]"

=

f(x

=

[f(x)]

  • 1

:

n

= 0 (a)

n

=

1

n = 1 ovvia

Si

conclude

per

induzione...

Se (r)

=+ o nulla

da

provare

#(m)

= + e IN

> 0

Quindi

n=

1 az

f(x)

=

f(2xz)

=

Sa

f(xt)

=

[f(m)]

=>

π(f(x))(t

= π(x)

esempio

:

p

:

Gz

G

P(m)

= 1az

è omomorfismo

:

p(ny)

=

p(x)

p(y)

Il

az

= 142

· Laz

= 142 ol.

esempio

:

Dimmi ono da K in

p

:

f(u)

= 1

Dimmi ono

-d(m)

= o

Ono

da

Sz-

Gl(a)

d(5)

=

Fa

esercizio

:

f

=

G

  • G

f

=

ida

f(x)

= n automorfismo

· Ono

: det (A

.

B)

= det

(A)

  • det

(B)

det

:

Gln()

  • IR* è ono di

gruppi

·

it

: (

(n

a+

5 = a

b

a

latb)

= al+/b) è ono .

di

gruppi

escempio

:

G

gruppo

8 :

G

f(g)

=

g

g

ga

è omo

f(g-gz)

f(f)

.

f(gz)

Cgrgal"Egr

.

G

Si

è ono se

G

è Abeliano

esercizio

:

f

f(z)

= z

&

è un endomorfismo

,

e auto ?

No

esempio

:

f

:

f(x)

= m

E

ando

,

ma

non

automorfismo

.

8

:Q

0

f(n)

= n

è ando

iniettivo

,

ma

non auto

·

In notazione

add 1

  • Im

x

ful

=

In

n

    • 2n

è ando iniettivo

ma non

surgettivo

·

f

:

x

xf(m)

= n+

1

e ono

No

pre

floto

·

f

:

G

f(g)

=

8

y(gyz)

=

f(g)f(gz)

Igigal"

=

gigi

Si

se è abeliano

CONIUGAZIONI

G

gruppo

molt .

ge

G

fissato

dg

: G

G

Og(n)

=

guga

coniugazione

associata a

g

n

gug

È

amomorfismo

?

by(ny)

=

dg(n)

dg(y)

=

gng gyg

=

gnyg

=

ag(xy)d

ge

,

g

G

Agno

=

Ogiga

Agrofga(n)

=

dgs

(dgz(n))

=

ag1(gzxgz1)

=

gegangz

gi

=

(gngz) x(gngz)"

=

Gayz(x)

=

ida

quindi

gog

= ide

e

ago

g

= ide

=>

ap

è

bigettiva

e

(dg)"

=

g

È

un

Automorfismo

Se

G

è Abeliano

Og

=

ida

FgeG

At

Gl(R)

da(x)

=

AxA

f

: Gr

Gr ono di

gruppi

2mf

=

(f(g)

:

ge Gn

= G

nucleo

Kerg

=

(ge

Gr

:

f(g)

=

1y

=

f

2(42a))

Se

H

=

G

sottogruppo

abbiamo e

Ha nH

DEF

:

Un

sottogruppo

H = G

è detto normale se M

=

v

cioc se nH

=

Ha

FreG

Se H è normale in

G

si denota con

HEG

TEST

DI NORMALITA

:

H &

GgeG

WheH

ghgeH

Proviamo

era che

Kerf

e

normale in

Gr

hekerf

,

geGs ghgeKerf

8(ghgz)

=

f(g)

f(2)

f(g-2)

=

f(g)f(g)

2

= 1a

242

Inf

= Gr

>

f

è

surgettiva

Kerf

=

[1ar fe

iniettiva

Dimostrazione :

=> M

.

22

  • G +. C ·

f(r)

=

f(mal

=>

fleslf(x2)

= 1az =>

f(mm)f(mi

=>

f(mm21)

=

1az

=>

minitekerf

=>

muxzt

=

1a

= m

= xz

ne

Kerf

f(x)

=

sa

=

f(1as)

= m

=

14

OSS :

Se G è Abeliano

ogni

suo

sotogruppo

è normale

:

glig

=

hgg

= h = H

OSS

:

(

e normale in

G

e

G

è normale in

G

.

esempio

non normalità

:

G

=

S

H =

< (12k =

Gid , (121)

HS

(13) (12)(

2

=

=

fH

OSS

:

se

H = G

sottogruppo,

G

finito

=

HG

Dimostrazione

:

G(un

=

GH

(t))

↑. Lagrange:

#g

= #h.

#G/

Giun

G/n =

[H , Ca(H)]

per gli

stessi motivi

=>

m

= it

~

neI

H=

>

=

Gen

:

KeXYEL (sottogruppo

normale)

=

(a

= a + H

= a=

= xu

abla-bleh

nab

En è un

gruppo

co

operazione

: a+ 5 : = a b

GRUPPO

QUOZIENTE

G

,

G

gruppo

(rotazione

molt .)

G(N

=

G/ut

G

/H

:

=

G/m

=

Gli

G/

i= H

= Hw

i

=

j

xy

=

H

my

H

(perché

abbiamo

normalità

add

= n-

y

=

H

  • x +

y

H

= my

e ben definita

I

y

=

n

Ip

: m

    • H

,

yy

2

=

H

The

my

.

(n

4172eH

my(my)

=

xyy

pogo

h=

-H

24 = Hu= xH = 7hz H + c

uh = hem

ha

=

hua

eh de e

ben definita .

det= 2 detto

Sn(a) G(n()

dat :

Gln(Q) ->

è auomorfismo

di

gruppi

Ker

(det)

=

GA-Gln(Q)

: detA

=

=

SLn()

quindi

SLn()

Gln(a)

In

alternativa

:

Testdi

normalità

AGen(a) BeSLu(Q

ABA

e SLn(a) (ha det

= 1

? )

dat (ABA)

=

detA

det. dat(A)

= detA

. detAt = 1 e SLn(a)

a

In

=

Sinca

A

=

A

.

SLn(a)

A= [

A(zeS(n(Q)

Quali

proprietà

di

gruppo

vengono

creditate

dal

quoziente

HG

G/H

·

Se GAbeliano

= G/H è Abeliano

Dive :

i

=

negn

=

in

·

Se G ciclico

= G/H

è ciclico

Dim :

FgeG

. c.

G

=

G/H

=

12

ne Gl neG = <

g

> Jmek

+. c .

n

=

gh

i =

g

=

g

=

G/H =

PRIMO

TEO.

DI

ISOMORFISMO

PER GRUPPI

:

Gr

Gr

ono di

gruppi

x

=y

(

f(x)

=

f(y) f(x)f(y)

2

f(m)f(y

=

14 f(xy

= 2x my- Kerf

#merty

>

Y of

2

Cil nucleo è normale

&

GrG

gla)

=

f(u)

,

q

e iniettiva

↓

--

g

G/E

=

G/kerf

Ing

=

Imf

,

g

bigettiva frurgettiva

OSS

:

g è

ano

di

gruppi

:

g(zj)

=

g()g(j)

da

verificare

ciot

f(my)

=

f(n)f(y)

vero

pe

f

è ano

isomonfo

G1/Kerg

=

Inf

Foteo isomorfismo

dat

:

Gen (R)-R

Kerdet = SIn(i)

Im (det)

= R

Gen

= R

Cisomorfo)

(e vera

per ogni

campo

SLn(i)

f

:

Gr

G

f(g)

= 1ae

FgzGn

f(g)

= idae

Kerf

= Ge = Gs

Kerf

=

(2an)

Inf

=

(19)

Inf

=

Ge

G-/

=

42a1} Gn/Gz

= G

OSS

:

G

gruppo

,

ge

G

b

:

G

d/ml

=

gm

è

auo di

gruppi

& (m

n)

=

d(m)

.

b(n) vero

Ind

=

[gm

: mex)

=

(m)

= 2

H

2

esempio

:

Uo

ma

2

= 1

(g)

= 2

Proposizione

:

G

Gruppo

. c.

neGGé Abeliano

Dim

: n

= 1

significa

Merit

Fut G

Fy

,

z

G(yz)

=

(yz)

1

=

z

  • 2

.

y

1

=

zy

Proposizione

:

Se

G

gruppo

#G =

= G =

n o G

=

Tax The

Dim : se

JueG

+c +(al

=

4

=> G

=

(m)

=

24

Se meG

+. c. Cal FreG

Hall

N(m)

= 1

,

2

=

= 1 MEG

Abeliano

=>

#(n) + 4

Sia neG

,

n+ 1 +(m)

= 2

(m =

Ge

, n

= G sia

yeG

:

y

(

y

1

,

y

my

= 1

G =

52 ,

2

, 4 , my)

se

my

= 1 m

=

y

=

n

=

d

2xy

=

ny

= 1

muy

=

yn

= 16

1

14m

1 1 n

4 14

Tavola

moltiplicativa

n

n 124

Y

di G

n

my

I

2x

Do ol 1011

10000 d 10 11

Tavola

moltiplicativa

2

o

o do

11

10

di K2xYz

Y

10 10 11 00 o

my

1111

10 0 00

GRUPPO DI CLEIM

Dato che

la tabelle

corrispondono

G =

exz

Gli unici

gruppi

di

elementi

,

a meno

di isomorfismo

sono

46

,

53

S

:

1

.

,

,

(13)

,

(123)

,

(132)

Sz

a

=

(123) +

(a)

=

3

H

=

b

in 33/H

T

LAGRANGE

:

HOG

G

S3/

=

4

S

=

(1,

a

,

a

,

b

,

ab

,

ab]

esercizi tutorato :

·

f

e

ono di

gruppi

foid

Per costruire un ano da un

gruppo

ciclico a uno arbitrario

scelgo

geal

second

t

. c.

(g)/n

e

pago flat-ga

(not. add : Hal

=

ag)

Sia Bez

:7 a 5

Per renderlo iso :

deve essere invertibile in Ko U(d)

=

( ,

5

,

5

,

:

isomorfis

a

·

f

: S

ano iniettivo

8

:

Sn

ImG

= D

iso

Sa

=

Ind *

No AB AB

Non

può

esserci oro iniettivo

da

un

gruppo

non

Abe a un

gruppo

Abe

·

f

:*

2

surgettivo

R

YKerf

=

Inf

= /

neR

,

  • R

/Kerf

LAGRANGE

: G finito

= 1

= 1

Mekerf =

Raoakend Crealico vanno in el neutro di Ka

:

f(u) = 0 Va

> 0

idea =

E

n

> 0

n

0

Verifico se

è effettivamente

omomorfismo :

f(ny)

=

f(x)

f(y)

230

,

=

5

5

230

,

40

I= 0

I

n

,

I

= I+

110

5 = 5 + 5

·

f

:*

Te

Aurgettivo

/Kerz

a

Vze

e

/kerf

I zekerf

Ogni

el.

di

è un

quadrato

Kerf Kerf

=>

fle)

= fz

var c'è auomorfismo

·

J

:

SxSz 2

surgettivo

so che

AbSs #33/Az

=

2 => Sy/Aze z

: Su

  • >

Salaza

c'è ano .

x

  • n

Come

faccio

con S3xS ?

f

:

SaxS

S3/Az

è ano di

gruppi surgettivo

pl

proiezione

(n , y)

  • i sul

quoziente

·

2

: Se

e

Il

surgettivo

S3/Kerf

=

Tz(

=

Ima)

53 permutazione

=>

3

= I

Kerf

=> Kerf

=

((12) ,

(23)

,

(13)}

53/ker f

Il

=

3 erf

=

2

non con