Algoritmi di taglio., Slide di Ricerca Operativa

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Algoritmi di taglio

Taglio valido

Sia

x

∗^

una soluzione ottima del rilassamento lineare, che si

suppone abbia almeno una coordinata non intera (se tuttele sue coordinate fossero intere allora

x

∗^

Z

ott

Definizione

Una disequazione

wx

v

si definisce

taglio

valido

per il problema di PLI se non è soddisfatta da

x

∗^

ma

è soddisfatta da tutti i punti nella regione ammissibile delproblema di PLI, ovvero

wx

∗^

v,

wx

v

∀^

x

Z

a

Algoritmi di taglio – p. 2/

Continua

Passo 1

Si generi un taglio valido, ovvero una disequazione

w

xk

v

k^

tale che

w

xk ∗k

v

k^

w

xk

v

k^

∀^

x

Z

a

Continua

Passo 2

Si aggiunga il nuovo taglio valido ai vincoli originari

del problema e ai tagli validi generati in precedenza e sirisolva il problema di PL

max

cx ai

x^

=^

bi^

i^ = 1

,... , m

w

xr ≤

vr

r^ = 1

,... , k

xj

≥ 0

j^ = 1

,... , n

Se:

il problema ha regione ammissibile vuota, alloraSTOP:

Z

a^

Altrimenti sia

x

∗(

k+1)

la sua soluzione ottima. Se

x ∗(

k+1)

ha coordinate tutte intere, allora STOP:

x ∗(

k+1)

Z

ott

. Altrimenti si ponga

k

k

e si ritorni

al Passo 1.

Esempio

Problema di PLI:

max

x^1

x

2

x^1

x^2

2 x

1

x

2

x^1

, x

2

,^

x^1

, x

2

Z.

Soluzione ottima rilassamento lineare:

x

∗ 1

x

∗ 2

/^3

Taglio valido:

x^1

x^2

Continua esempio

Soluzione ottima nuovo rilassamento lineare:∗ x^1

, x

∗ 2

/^2

Nuovo taglio valido:

x

1

x

2

Una soluzione ottima nuovo rilassamento lineare:∗ x^1

, x

∗ 2

. A coordinate intere e quindi: STOP

Ipotesi

Si suppone che almeno uno dei valori

β

,r

r

,... , m

, sia

non intero (se fossero tutti interi la soluzione di baseassociata a

B

∗^

sarebbe non solo ottima per il rilassamento

lineare ma anche per il problema di PLI).

Esempio

max

5 x 6

1

13 3

x 4

5 x

1

x^3

x^4

x^1

x^2

x^4

x^1

, x

, x 2

, x 3

4

,^

x^1

, x

, x 2

, x 3

4

Z.

Il taglio di Gomory

Sia

β

k^

un valore non intero. Equazione relativa a

x

ik

( equazione generatrice del taglio

xi

k^

β

k^

α

k^1

xi

m+

α

k^2

xi

m+

α

k,n

− m

xi

.n

Taglio di Gomory

fk

f

k^1

xi

m+

f

k^2

xi

m+

f

k,n

− m

xi

n^

dove:

fkj

,^

j^

,... , n

m

, è la mantissa di

α kj

, cioè

fkj

α kj

α

kj

fk

è la mantissa di

β

k^

(non intero per ipotesi), cioè

fk

β

k^

βk

⌋^

.^

Esempio

Equazione generatrice del taglio:

x^1

x^3

x^4

Mantissa di

12 5

Mantissa di

6 5

⌋^

Continua

Per mantenere il formato standard, possiamo aggiungereuna nuova variabile

y

1

e riscrivere il taglio attraverso la

seguente coppia di vincoli:

y^1

fk

f

k^1

xi

m+

f

k^2

xi

m+

f

k,n

− m

xi

n

y^1

Nell’esempio^ −

x^3

x^4

m

y^1

x^3

2 x 5

4

y^1

Generico punto in

Z

:a

xi

x

in

Sostituiamo le coordinate di tale punto nell’ equazionegeneratrice del taglio:

xi

k^

β

k^

n−

m

∑^ j=

α

kj

x im

+j

e nel taglio di Gomory:

y^1

fk

n−

m

∑^ j=

fkj

x im

+j

Si vuole dimostrare che il valore di

y

1

è^

e cioè che la

generica soluzione ammissibile in

Z

a^

soddisfa il taglio. Ma

prima dimostriamo che: in corrispondenza di ogni punto in

Z

, il valore dia

y

1

è intero

Sommo membro a membro le due equazioni:

xi

k^

β

k^

n−

m

∑^ j=

α

kj

x im

+j

e:

y^1

fk

n−

m

∑^ j=

fkj

x im

+j