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Analisi statistica delle incertezze casuali
Le incertezze sono classificate in due gruppi: le incertezze casuali , che possono essere
trattate statisticamente e le incertezze sistematiche che non possono essere trattate
statisticamente. Le incertezze sperimentali possono essere rivelate ripetendo le misure e
sono chiamate errori casuali. Mentre quelle che non possono essere rivelate in tale modo
sono chiamate errori sistematici. Questo genere di errori è chiamato sistematico perché
spinge i nostri risultati sempre nella stessa direzione. Tutte le misure sono soggette sia ad
incertezze casuali che incertezze sistematiche. Le comuni sorgenti di incertezze casuali
sono: piccoli errori di valutazione dell'osservatore, piccoli disturbi dell' apparato, problemi
di definizione. Mentre la causa più ovvia di errore sistematico è l'errata calibrazione degli
strumenti. Esaminando la distribuzione dei valori misurati possiamo facilmente valutare gli
errori casuali ma non possiamo trarre alcuna indicazione sugli errori sistematici. La
distinzione tra errori casuali e sistematici non è sempre netta.
Parallasse : è il fenomeno per cui un oggetto sembra spostarsi rispetto allo sfondo se si
cambia il punto di osservazione, dunque uno strumento può essere letto correttamente
solo se ci si mette esattamente di fronte ad esso
Le incertezze sistematiche sono difficili da valutare e da rivelare. Dunque il compito dello
scienziato è quello di prevenire le possibili sorgenti di errore sistematico ed accertarsi che
tutti gli errori sistematici siano molto minori della precisione richiesta. Si analizzano in
seguito esperimenti nei quali le sorgenti di errore sistematico sono state identificate
Stime di tendenza centrale
Dati N valori osservati di una grandezza fisica, si vuole ricercare la migliore stima del
valore “vero” della grandezza. Posizione centrale nella distribuzione dei valori (stime
della tendenza centrale) Infatti se non ci sono errori sistematici e se N è elevato ci si
aspetta una distribuzione simmetrica attorno al valore “vero”
Media
Supponendo di fare N misure della grandezza x e di trovare N valori, la miglior stima per x
è la media di x 1 , x 2 , … xn cioè xbest = 𝑥 dove 𝑥 =
∑ 𝑥 𝑖
𝑁
Moda:
Valore corrispondente al massimo della frequenza, anche se in generale la distribuzione
potrebbe non avere un massimo oppure averne più di uno in intervalli non contigui. In
quest’ultimo caso la distribuzione è chiamata distribuzione multimodale.
Mediana:
Valore che divide l’istogramma della distribuzione in due parti di area uguale. La mediana,
a differenza della moda, esiste sempre
Stime di dispersione:
Per dispersione si intende la larghezza dell’intervallo in cui le misure sono distribuite.
Inoltre esiste anche il concetto di semidispersione ⇒
𝑥 𝑚𝑎𝑥
− 𝑥 𝑚𝑖𝑛
2
Varianza: dove di=xi - 𝑥indica lo scarto
2 σ (^) x =
1
𝑁 𝑖=
𝑁
𝑖
2
Media per dati raggruppati
nj= frequenza
j= 1, … k classi
xj= valore (centrale) della classe
Si ricorda che xj
𝐽=
𝑘
𝑗
1
𝑁 𝑖=
𝑁
𝑖
1
𝑁 𝐽=
𝑘
𝑗
Frequenza relativa: frazione delle misure che ha dato il risultato xj ⇒ Fj =
𝑛 𝑗
𝑁
Valor medio:
un valore misurato si potrebbe ripetere più di una volta⇒
Definita la frequenza o “peso” Fj dei diversi valori ottenuti
xj l’espressione sopra viene chiamata “somma pesata” e si ha ⇒ 1=
𝑗=
𝑘
𝑗
Deviazione standard (radice quadrata della varianza)
La deviazione standard delle misure x 1 , x 2 , … xn è una stima dell’incertezza media delle
misure x 1 , x 2 , … xn.
procedimento:
Inizialmente si valuta lo scarto ovvero la differenza di xi da 𝑥 ⇒ di=xi - 𝑥. Lo scarto
indica quanto la misura iesima xi differisce dalla media 𝑥. Se gli scarti sono tutti molto
piccoli, le misure sono precise. NB: la media degli scarti è nulla ⇒ 𝑑 = 0. Per questo
motivo si devono elevare al quadrato tutti gli scarti in modo da ottenere tutti numeri
positivi, per poi mediare questi numeri
σ x =
1
𝑁 𝑖=
𝑁
𝑖
2
Definizione alternativa
Argomentazioni teoriche suggeriscono di sostituire il fatto N con N-1. La nuova definizione
σ x = dà un risultato leggermente più grande della precedente
1
𝑁− 𝑖=
𝑁
𝑖
2
definizione. Questo corregge la tendenza a sottostimare l’incertezza nelle misure x 1 ,...xn
specialmente se il numero di N è piccolo.
moltiplicando ciascun valore per il numero di volte che è occorso. L’ultima forma ( somma
pesata ) è più utile quando si fanno un gran numero di misure inoltre
= N ovvero il numero totale delle misure fatte
𝑘
𝑘
La frazione Fk= è la frazione delle nostre N misure che hanno dato il risultato xk e
𝑛 𝑘
𝑁
specifica la distribuzione di risultati ( descrive come sono distribuite le nostre misurazioni
tra i vari intervalli possibili). Le misure sono raggruppate in classi di frequenza k
Fk= 0 Fk 1 la probabilità del verificarsi di un evento non può mai essere
𝑛 𝑘
𝑁
maggiore di 1
Dunque 𝑥= F ovvero la media è la somma pesata di tutti i valori xk
𝑘
𝑘 𝑘
Condizione di normalizzazione: =1 qualunque insieme di numeri la cui somma è 1 è
𝑘
𝑘
detta normalizzata
nk = frequenza assoluta mentre Fk = frequenza normalizzata
Istogrammi:
- istogramma a barre: la distribuzione dei risultati è indicata nelle altezze delle
barre verticali sopra gli xk. Utilizzato quando i valori xk sono ordinatamente
spaziati, con valori interi
- istogramma a intervalli:
La frazione di misure che cadono in ciascun intervallo è indicata dall’area del rettangolo
disegnato sopra l’intervallo. Si denota la larghezza dell’intervallo k esimo ∆k mentre
l’altezza del rettangolo è fk. Dunque fk ∆k = frazione di misure nell’intervallo k esimo=
Area rettangolo
f = distribuzione della classe, la ottengo dividendo la frequenza normalizzata di ogni classe
per la larghezza della classe ⇒ fk = NB: L’area del rettangolo k esimo dell’istogramma
𝐹 𝑘
∆ 𝑘
ad intervallo ha lo stesso significato dell’altezza Fk della barra di un istogramma a barre
Fk= fk ∆k ⇔ Fk =
𝑛 𝑘
𝑁
Quando il numero totale di misure N tende ad aumentare è possibile scegliere intervalli
più stretti, ma Il numero di classi è comunque finito. Passando invece al continuo Il
numero di classi è infinito e la distribuzione della popolazione f(x) determina la
probabilità che una misura cada attorno ad un certo valore x
NB: per N che tende all’infinito, ∆𝑥tende a zero
Distribuzione limite: quando il numero di misure si avvicina all’infinito, la loro
distribuzione si avvicina a una curva continua. Quando ciò accade, la curva continua è
chiamata distribuzione limite. Importante evidenziare come la distribuzione limite sia una
curva teorica che non può mai essere misurata con esattezza. All’aumentare del numero di
misure della grandezza x il nostro istogramma diventerà sempre più indistinguibile dalla
curva limite f(x). La frazione di misure che cadono in un intervallo compreso tra x e x+δ𝑥
(due valori qualsiasi a e b ) è l’area f(x)dx della striscia nera, ovvero della zona sotto il
grafico tra a e b. L’area è l’integrale definito di f(x):
𝑎
𝑏
Dunque conviene scrivere la probabilità Pk come Pk= Δxk fk ⇔ dP= f(x)dx ⇔probabilità che
una misura dia un risultato compreso tra x e x+dx
Generalizzando
−∞
+∞
𝑘
𝑘
valore medio: 𝑥 = = F
−∞
+∞
𝑘
𝑘 𝑘
deviazione standard: (^) x
2 σ = e (^) x=
−∞
+∞
2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 σ
−∞
+∞
2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
NB: una gran quantità di misure avranno come distribuzione limite una curva simmetrica a
campana centrata sul valore vero X sse le misure sono soggette a molte piccole sorgenti di
errori casuali e trascurabili errori sistematici. La presenza di un errore sistematico
apprezzabile spinge tutti i valori in una direzione e così sosta la distribuzione fuori centro
dal valore vero
costrizione della funzione avente: simmetria pari, massimo nel punto medio, due flessi,
limite , condizione normalizzante
𝑥 ±∞
lim
−∞
+∞
la funzione matematica che descrive la curva a campana è chiamata la
distribuzione normale o funzione di Gauss , il prototipo di tale funzione è
dove σ indica il parametro di larghezza (se σ è piccolo f(x) si allontana
rapidamente dallo zero, mentre se σè grande si allontana lentamente)
Proprietà:
- centrata in x=
- se x=0 allora la funzione f(x)= 1
- funzione simmetrica attorno x=0 dato che assume lo stesso valore
per x e -x
all'esponente è minima dunque
𝑖=
𝑁
𝑖
2 / σ
2
[...] ⇒ miglior stima per X (= = ovvero
𝑖=
𝑁
𝑖
∑ 𝑥 𝑖
𝑁
Mentre il valore di σ che rende massima la PX, σovvero
migliore stima di σ = sostituisco X con
1
𝑁 𝑖=
𝑁
𝑖
2
𝑥 ⇒ σ =
1
𝑁− 𝑖=
𝑁
𝑖
2
NB: il denominatore presenta N-1 dato che nel sostituire X con 𝑥è stata sottostimata la
larghezza di σ, per correggere questa sottostima si è coretto N con N-1, migliorando la
deviazione standard
La larghezza σè il limite di confidenza del 68% , cioè vi è un 68% di probabilità che una
misura cada entro una distanza σ dal valore vero X
Incertezza in 𝑥 : è la deviazione standard della media ( σ vedi argomenti 𝑥
= σ 𝑥
precedenti
Incertezza relativa in σ x (^) = e questo spiega la necessità di fare numerose misure
1
2 (𝑁−1 )
prima di poter conoscere realisticamente l’incertezza
Accettabilità di una risposta misurata
Se misuriamo una grandezza x diverse volte, la miglior stima per x è la media 𝑥e la sua
incertezza sarà σ dunque valore di x= ci attendiamo che il 68% di qualunque 𝑥
⇒ 𝑥 ± σ𝑥
insieme di misure susseguenti di x, cada nell’intervallo 𝑥 ± σ𝑥 ⇔ x = xbest ± δx= 𝑥 ± σ𝑥
Se xbest è la media di tante misure ( 𝑥 ) allora la deviazione standard σ del suo risultato
dovrebbe coincidere con la SDOM (deviazione standard media)
NB: potrebbe essere scelto un intervallo differente
Analizziamo un determinato xexp
Se 𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑒𝑥𝑝
| | <^ σ^
𝑥
Se 𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑒𝑥𝑝
| | >^ σ^
𝑥
Presupponiamo che:
- la misura sia governata da una distribuzione normale centrata su x (^) exp e dunque
che tutti gli errori sistematici siano stati ridotti a livello trascurabile e che la
distribuzione sia incentrata sul valore vero cioè xexp
- avente parametro di larghezza σ= σ (^) 𝑥
La discrepanza sarà 𝑥 mente il numero di deviazioni standard per cui x (^) best 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑒𝑥𝑝
differisce da x (^) exp ⇒ t =. La probabilità di ottenere un risultato che differisce
𝑥 𝑏𝑒𝑠𝑡
− 𝑥
σ
da x (^) sosp per t o più deviazioni standard è la seguente:
P( x < xexp - t σ ; x> xexp + t )σ = 1 - P(xexp - t σ < x< xexp + t )σ ⇔ P(al di fuori di t )= 1-P(entroσ
t )σ
Se questa probabilità è grande, allora la discrepanza è ragionevole e xbest è accettabile,
mentre se è piccola la discrepanza è inaccettabile
NB: P (xbest - xexp ) = 1- Area (^) interna ad x exp = 1- ∫ 𝐺(𝑥)𝑑𝑥 = 1 − 𝐸𝑟𝑓(𝑡)
Il limite tra l’accettabilità e l'inaccettabilità è il 5%. Di conseguenza ogni discrepanza più
grande di 1,96 σ è inaccettabile poiché 𝑥 = 2 ) = 4,6% 𝑏𝑒𝑠𝑡
𝑒𝑥𝑝
| | σ^ ⇒ 𝑃(𝑓𝑢𝑜𝑟𝑖 𝑑𝑖 𝑡σ
Rigetto dei dati
Trovando una misura in una serie di dati che sembra essere in disaccordo stridente con le
altre è necessario comprendere se tale misura è frutto di qualche errore ( e dunque deve
essere rigettata) oppure se deve essere utilizzata. Si deve decidere se rigettare o meno
tale risultato esaminando i risultati stessi. è importante ripetere la misura molte volte in
modo da non avere una grande differenza finale se si decide di includere o meno la
misurazione anomala
Il criterio di Chauvenet
Il criterio di Chauvenet stabilisce che se un numero atteso di misure cattive almeno
quanto quella sospetta è minore di un-mezzo, allora la misura dovrebbe essere rigettata
considerando la misura sospetta: xsosp ⇒ t (^) sosp = ovvero il numero di deviazioni
𝑥 𝑠𝑜𝑠𝑝
−𝑥
| | |
| | |
σ 𝑥
standard di cui xsos differisce da 𝑥. Poi valuto P(al di fuori di t (^) sosp σ) per trovare:
- numero atteso di misure anomale quanto xsosp = n= N P( al di fuori di t· (^) sosp σ)
Se n< ½ allora xsosp può essere rigettato e dunque occorre ricalcolare media e deviazione
standard
( nb il criterio non deve essere applicato una seconda volta usando i valori ricalcolati di σe
Le medie pesate
Se una grandezza fisica viene misurata N volte in ogni esperimento con medie e differenti
come si possono combinare i risultati dei diversi esperimenti?
Date due misure x=xA + σA e x=xB + σ B :
● le misure sono inconsistenti: se la discrepanza 𝑥 è molto più grande di 𝐴
𝐵
entrambe le incertezze σA e σ B (probabili errori sistematici)
se xi e yi non fossero soggetti ad incertezze. Dunque il massimo che possiamo aspettarci è
che la distanza di ogni punto (xi , yi ) dalla retta sia ragionevole a confronto con le
incertezze
NB: Per relazioni più complesse ci si può ricondurre comunque ad una relazione lineare
● interpolazione : stimare il valore della y anche per valori di x che non ho misurato
“tra un punto e l’altro”
● estrapolazione : stimare il valore della y anche al di fuori dell’intervallo delle x
misurate
Trovare la miglior linea retta y=A+Bx
Preso per garantito che y e x sono in relazione lineare, si può trovare la miglior stima per
le costanti A e B. Vi sono due metodi:
- graficamente: valutando se la linea retta passa attraverso l’origine ed attraverso o
vicino tutte le barre di errore
NB: in questo caso una delle due grandezze può avere incertezza trascurabile e dunque
assumendo σ e l’incertezza su x è trascurabile; quelle su y sono 𝑥
= 0 σ 𝑦𝑖
= σ 𝑦
tutte uguali
- analiticamente : regressione lineare o adattamento dei minimi quadrati per una
retta
Supponendo trascurabile l’incertezza nelle misure di x (solitamente le incertezze di una
variabile sono molto più grandi di quelle nell’altra). Abbiamo assunto che la misura delle yi
sia normalmente distribuita intorno ai valori attesi con parametro σ ovvero la misura di 𝑦
yi è governata da una distribuzione normale centrata su questo valore vero. Le migliori
stime per le costanti incognite A e B sono quei valori di A e B per i quali la probabilità PA,B
(y 1 ,....yn ) è massima o per le quali è minima la somma degli scarti
𝑖=
𝑁
𝑖
𝑖
Infatti PA,B (y 1 ) ∝
1
σ 𝑦
−𝑋
2 / 2 𝑑𝑜𝑣𝑒 𝑙'𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 è 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑋
2
𝑖=
𝑁
(𝑦 𝑖
− 𝐴− 𝐵𝑥 𝑖
)
2
σ 𝑦
2
Il criterio che viene usato per definire il “modo migliore” di approssimare i dati e
permette di trovare l’equazione della retta che li approssima, consiste nel minimizzare
2
. Consente di determinare un’unica retta di regressione per ogni
𝑖=
𝑁
𝑖
𝑖
insieme di dati. La retta dei minimi quadrati o retta di regressione è la retta di equazione
y= A+Bx per la quale è minima la quantità
2
𝑖=
𝑁
𝑖
𝑖
Ma perché minimizzare proprio la somma dei quadrati degli scarti?
La somma degli scarti non è adatta a quantificare l’aderenza della retta agli N punti ( gli
scarti possono essere sia negativi che positivi e la loro somma in valore assoluto ∑ può
essere piccola anche per rette palesemente inadatte). Dunque la somma dei quadrati
anziché dei valori assoluti si accorda in modo naturale con la media aritmetica: la media
aritmetica gode della proprietà di rendere minima la somma dei quadrati degli scarti.
La miglior stima per A e B si ottiene applicando il criterio di massima verosimiglianza che
minimizza gli esponenti X
2 ( da qui metodo dei minimi quadrati)
dove x e y sono rispettivamente xi e yi
La retta risultante è chiamata retta dei minimi quadrati
o retta di regressione di y in x
Incertezza nella misura di σ y
Abbiamo assunto che la misura delle yi sia normalmente distribuita intorno ai valori attesi
con parametro σy. In questo modo gli scarti (𝑦 risultano normalmente 𝑖
𝑖
distribuiti e σy può essere determinata sempre con
il criterio della massima verosimiglianza:
denominatore N-
- finchè N è grande la differenza tra N ed N-2 al denominatore è trascurabile
- se si considerano due coppie di dati, con solo due punti si può sempre trovare una
retta che passa esattamente attraverso entrambi i punti. Con N-2 al denominatore
σ y = 0/0 indicando come dopo solo due misure l’incertezza nella misura di y sia
indeterminata
Considerazioni
σ y rappresenta la distanza media dei punti dalla retta di interpolazione, se σy ≃δ𝑦
(incertezza attesa) allora i dati sono consistenti con la relazione lineare stabilita. Se
invece σy >> δ𝑦ci sono motivi per dubitare della relazione lineare da cui dovrebbero
essere legate le variabili x e y
Incertezza nelle costanti A e B
Le incertezze in A e B sono date dalla semplice propagazione degli errori
A
2 = (^) Y
2 B
2 = (^) Y
2 2 σ σ · = 0
∑ 𝑥
2
∆
σ σ ·
𝑁
∆
σ ∆
NB:
Metodo dei minimi quadrati pesati
I risultati qui ottenuti derivano dall’ipotesi che le misure di y abbiano tutte la stessa
incertezza σy , e che le incertezze delle misure di x siano trascurabili. Se non si verificano
queste ipotesi e ad esempio le incertezze sulle misure di y non sono tutte uguali si può
ricorrere al metodo dei minimi quadrati pesati. Supponiamo quindi che le yi abbiano errori
quadratici medi σ (^) yi diversi tra loro. In tal caso: wi =
1
σ 𝑦𝑖
2
q =^ ( qi -^
2 σ con una serie di
(^2 )
𝑁
passaggi ( Taylor pag 213) si ottiene la
Covarianza di x e y ed è denotata:
Indica una dipendenza tra le due variabili:
● POSITIVA : quando x e y variano tendenzialmente nella stessa direzione, cioè al
crescere della x tende a crescere anche y e al diminuire della x tende a diminuire
anche y
● NEGATIVA : quando le due variabili variano tendenzialmente in direzione opposta,
cioè quando al crescere di una variabile l’altra variabile tende a diminuire (e
viceversa)
● NULLA: quando non vi è alcuna tendenza delle due variabili a variare nella stessa
direzione o in direzione opposta. Quando σxy = 0 si dice anche che x ed y sono non
correlate
Quando la covarianza non è zero, si dice che gli errori in x e y sono correlati
NB : Si noti tuttavia che la condizione σxy = 0 è necessaria ma non sufficiente per
l’indipendenza tra le due variabili. Inoltre il fattore 1/N al denominatore garantisce che
la covarianza sia 0 per un numero di misure che tende all'infinito
Espressione alternativa per il calcolo della covarianza
σ 𝑥𝑦
1
𝑁−
𝑖=
𝑁
𝑖
𝑖
Espressione per il calcolo della varianza
σ 𝑥
2
1
𝑁−
𝑖=
𝑁
𝑖
2 − 𝑁𝑥
2 )
Coefficienti di correlazione lineare
Riprendendo il concetto di relazione lineare dato un gruppo di misure, se si conosce già
una stima ragionevole delle incertezze si può utilizzare il metodo dei minimi quadrati per
vedere se i punti giacciono vicino alla retta. Mentre nel caso in cui sia difficile/
impossibile ottenere in anticipo una stima affidabile delle incertezze si deve utilizzare un
metodo diverso. Inoltre il valore della covarianza dipende anche dalle varianze di x e y e
per indicare questo tipo di dipendenza in una forma indipendente dalla varianza di x e y si
introduce un parametro adimensionale definito coefficiente di correlazione lineare o
coefficiente di correlazione. Quest’ultimo evidenzia una relazione lineare tra le variazioni
relative di x e le variazioni relative di y
⇔ r =
σ 𝑥𝑦
σ 𝑥
2 σ 𝑦
2
Al numeratore vi è la covarianza e al denominatore il
prodotto delle due deviazioni standard. Inoltre il coefficiente di correlazione lineare può
anche essere scritto come:
-1 ≤ 𝑟 ≤ 1 il coefficiente è un indice di quanto
bene i punti si adattano ad una retta
Quanto bene un gruppo di misure di due variabili
risponde all’ipotesi lineare? Quanto più grande è
σ 𝑥𝑦
Se i punti (xi ,yi ) giacciono “esattamente” sulla
retta di interpolazione y= a +
bx allora per ogni i si ha yi=
a+bxi ⇒ 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑑𝑖
yi - 𝑦 = 𝑏( 𝑥 dunque 𝑖
sostituendo quest’ultima nella
formula precedente si ottiene
Il segno di r viene definito dal segno di b e quindi dalla pendenza della retta. Infatti r=
per B positivo e r=-1 per B negativo. Importante evidenziare come ci si aspetti che il
valore di r sia vicino a ± 1
Punti non correlati
Se i punti (xi ,yi ) non sono correlati, per ogni yi gli xi dovrebbero essere distribuiti
casualmente intorno al valore medio, quindi:
r = e con N che tende ad , r tende a 0
𝑖=
𝑁
𝑖
𝑖
𝑖=
𝑁
𝑖
2
𝑖=
𝑁
𝑖
2
● Numeratore:I termini dovrebbero essere tanto positivi quanto negativi
● Denominatore: sicuramente positivo
Dunque se con un numero finito di dati ci aspettiamo che r sia piccolo e tenda a zero
Significato quantitativo di r
Con quale ragionevolezza si può dire che esiste una relazione lineare tra due grandezze?
Supponiamo che due variabili x e y siano in realtà non correlate, se il valore di r osservato
è r 0 si valuta la probabilità di trovare «per caso» (cioè per variabili non correlate) un
valore di N così grande ⇒ PN ( | | ≥ 𝑟𝑟 ). Se la probabilità di trovare valori di r maggiori del 0
valore osservato è piccola, allora le variabili devono essere correlate: la correlazione può
essere considerata buona. In genere, se la probabilità è <5% si parla di correlazione
significativa , se è <1% si dice che la correlazione è altamente significativa
NB: Espressioni più efficienti dal punto di vista computazionale: y=a+bx
a= 𝑦 − 𝑏𝑥 ⇔ a=
1
𝑁 𝑖=
𝑁
𝑖
𝑏
𝑁 𝑖=
𝑁
𝑖
Fattoriale
Si definisce fattoriale di n e si indica con n! il prodotto dei primi n numeri naturali positivi:
n!= n( n-1) (n- 2)... 3 2 1· · (dove per convenzione 0!=1 )
Disposizioni semplici
Fissiamo un numero k ϵ N0 ( ≤ n). Si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti
distinti che si ottengono prendendo k oggetti di J in modo che valgano le seguenti
proprietà:
● in ciascun raggruppamento ci sono k oggetti senza ripetizion i;
● i raggruppamenti sono distinti per almeno un oggetto o per l’ordine con cui essi
sono disposti
NB: In generale Dn,k è pari al prodotto di k numeri naturali consecutivi decrescenti a
partire da n
Disposizioni con ripetizioni
Fissiamo un numero k ϵN 0 , senza alcuna limitazione superiore. S vogliono costruire tutti i
possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di J, in modo che valgano le
seguenti proprietà:
● in ciascun raggruppamento ci sono k oggetti. Un oggetto può essere ripetuto al
massimo k volte;
● due qualsiasi raggruppamenti sono distinti se e solo se:
- uno di essi contiene almeno un oggetto che non figura nell’altro,
- gli oggetti sono diversamente ordinati
- gli oggetti che figurano in uno figurano anche nell’altro ma sono ripetuti un
numero diverso di volte
I predetti raggruppamenti si dicono disposizioni con ripetizione degli n
oggetti di J , a k a k (o di classe k). Il loro numero è→
Permutazioni semplici
Le permutazioni semplici degli oggetti di J sono le disposizioni semplici dei predetti n
oggetti a k a k con k=n. Si deduce che due qualsiasi permutazioni semplici differiscono
solo per l’ordine con cui sono disposti gli n oggetti distinti in esse contenuti. Il loro
numero è D (^) n,n ma si preferisce usare il simbolo Pn
Permutazioni con oggetti identici
Volendo permutare n oggetti in cui ve ne siano α identici tra loro, si
ottiene un numero di permutazioni dato da →
Permutazione con ripetizione:
Per un insieme finito di n elementi di cui α 1 , α 2 ,.., αn ripetuti sono tutti i possibili
raggruppamenti
che si possono
formare
Combinazioni
semplici
Fissiamo un numero k Nϵ 0 , con k ≤n; si vogliono costruire tutti i possibili raggruppamenti
distinti che si ottengono prendendo k oggetti di J in modo che valgano le seguenti
proprietà:
● in ciascun raggruppamento figurano k oggetti senza ripetizioni;
● due raggruppamenti sono distinti per almeno un elemento
Questa formula è
giustificata dal fatto
che da ogni
combinazione semplice
si possono ottenere, permutando in tutti i modi possibili i k oggetti che la compongono, k!
disposizioni semplici
Proprietà dei coefficienti binomiali
Può essere utile ricordare la “formula del binomio di Newton”:
Combinazioni con Ripetizione
Fissiamo un numero k Nϵ 0 , senza alcuna limitazione superiore; si vogliono costruire tutti i
possibili raggruppamenti distinti, prendendo k oggetti di J , in modo che valgano le
seguenti proprietà:
● in ciascun raggruppamento figurano k oggetti di J, potendovi uno stesso elemento
figurare ripetuto fino ad un massimo di k volte ;
● due raggruppamenti sono distinti se e solo se o uno di essi contiene almeno un
oggetto che non figura nell’altro oppure gli oggetti che figurano in uno figurano
anche nell’altro ma sono ripetuti un numero diverso di volte
m è la probabilità di avere m successi
n-m è la probabilità che le restanti prove siano insuccessi
m (1-p)
n-m · è la probabilità di avere m successi e n-m insuccessi in una sequenza
ben precisa (es. prima n successi e poi m insuccessi)
Per tener conto di tutte le possibili successioni di successi e insuccessi, occorre
moltiplicare per il numero di combinazioni di m oggetti su n, cioè il binomio di Newton.
La misura di p ed n (o del valor medio e della varianza) è sufficiente per caratterizzare
completamente la distribuzione e viceversa. Bastano quindi 2 parametri come nella
distribuzione Gaussiana
Distribuzione di Poisson:
La “ Distribuzione di Poisson ”; ovvero una distribuzione di probabilità discreta di una
singola realizzazione dell’evento in un determinato intervallo di tempo o spazio.
Dall’evento, che in un dato ∆si verifica a volte, è possibile calcolare la probabilità che
tale evento si verifichi m volte nello stesso intervallo attraverso la seguente formula:
f(m)= P(X=m)=Pm,a =
𝑎 𝑚
𝑚!
−𝑎
Dove P(X=m) indica la probabilità che X assuma valore m, mentre il valor medio è
espresso come: mx= a e la deviazione standard come σx = 𝑎. A differenza della
distribuzione Bernoulliana, la distribuzione di Poisson analizza un numero di prove
tendenzialmente infinito ed il valore m (numero di successi) può essere infinitamente
grande.
Il numero eventi nell’intervallo: varia da 0 a n, con n non determinabile a priori. Questa
distribuzione risponde alla domanda: se ho un evento che in un dato intervallo si verifica
mediamente «a» volte, quale è la probabilità che si verifichi «m» volte nello stesso
intervallo?
- Vale per eventi casuali di probabilità estremamente piccola
- li possiamo vedere solo perché si compiono osservazioni su un numero molto
elevato di essi
NB: Calcoliamo il limite della distribuzione di Bernoulli per n →∞ e p → 0
La distribuzione di Bernoulli per
n →∞ e p → 0, tende alla
distribuzione di Poisson
