Analisi Matematica 1: Appunti e Esercizi, Dispense di Analisi Matematica I

Scarica Analisi Matematica 1: Appunti e Esercizi e più Dispense in PDF di Analisi Matematica I solo su Docsity!

• ANALISI

CONCETTO DI LIMITE

Che cosa si intende per infinitesimo? ∀𝜀 > 0 ⇒ 𝑥 − 𝑥 0 < 𝜀 Che cosa si intende per infinito? ∀ 𝑘 > 0 ⇒ x > k Qual è lo scopo di studiare un limite di una funzione? lim 𝑥→𝑎

Che cos’è un intorno di un punto?

DEFINIZIONI DI LIMITI

1. DEFINIZIONE DI LIMITE

∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿𝜀 > 0 : 𝑥 − 𝑥𝑜| < 𝛿𝜀 ⇒ |𝑓 𝑥 − l < 𝜀

2. DEFINIZIONE DI LIMITE lim 𝑥→𝑥𝑜

3. DEFINIZIONE DI LIMITE

4. DEFINIZIONE DI LIMITE

lim 𝑥→𝑥𝑜

lim 𝑥→∞

lim 𝑥→∞

∀ 𝑘 > 0 ⇒ ∃𝛿𝑘 > 0 ∶ 𝑥 − 𝑥𝑜| < 𝛿𝑘 ⇒ |𝑓 𝑥 > k ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝑀𝜀 > 0 : 𝑥| < 𝑀𝜀 ⇒ |𝑓 𝑥 − l < 𝜀 ∀ 𝑘 > 0 ⇒ ∃𝑀𝑘 > 0 ∶ 𝑥| < 𝑀𝑘 ⇒ |𝑓 𝑥 > k

TEOREMI DEI LIMITI

TEOREMA DELL’UNICITÀ

Se il limite di una funzione esiste, allora esso è unico lim ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿𝜀 > 0 : 𝑥 − 𝑥𝑜| < 𝛿𝜀 ⇒ |𝑓 𝑥 − l < 𝜀 𝑥→𝑥𝑜

Ipotizzando per assurdo che il limite di una funzione dia due valori diversi: lim 𝑥→𝑥𝑜

𝜀 >^0 :^ 𝑥^ −^ 𝑥𝑜|^ <^ 𝛿𝜀^ ⇒^ |𝑓^ 𝑥^ −^ 𝑚^ <^ 𝜀

Per cui (^) ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿 𝜀 >^0 ∶^ 𝑥^ −^ 𝑥𝑜|^ <^ 𝛿𝜀^ ⇒^ |𝑓^ 𝑥^ −^ 𝑚^ +^ |𝑓^ 𝑥^ −^ 𝑙|^ <^2 𝜀 ∀𝜀 > 0 ⇒ f x − m − 𝑓 𝑥 + 𝑙 < 2 𝜀 ∀𝜀 > 0 ⇒ 𝑙 − 𝑚 < 2 𝜀 Questa relazione se l ed m sono diversi tra loro non può essere soddisfatta. È vera se e VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021^ solo se^ 𝑙^ =^ 𝑚

FORME INDETERMINATE DEI LIMITI

ALCUNI LIMITI NOTEVOLI Limiti notevoli Delle funzioni goniometriche Generalizzazione

APPROFONDIMENTO ARCHI ASSOCIATI

RIPASSO GONIOMETRIA

GERARCHIA DEGLI INFINITI

GERARCHIA DEGLI INFINITESIMI

LIMITI NOTEVOLI DIMOSTRAZIONE 1

lim

𝑥→ 0

Considerando la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑥 definita per tutti i punti del dominio a meno di 𝑥 = 0. La funzione seno è definita tra - 1 e +1. − 1 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≤ 1 Dividendo tutto per x − 1 𝑥 ≤ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ≤ 1 𝑥 Da qui, si deduce che − 1 𝑥 e 1 𝑥 saranno due rami di iperbole. Dunque rappresentando le funzioni graficamente Comportamento al limite che può essere studiato: Perché il limite permette di studiare la funzione in quei punti in cui non è definita. Questo perché per x=0 f(x) non è definita, è qui y tenderebbe a 1. E se il limite va a + o – infinito??

CONTINUITÀ DI UNA FUNZIONE Si definisce una funzione continua una funzione che può essere tracciata in un grafico senza staccare la penna dal foglio Formalmente, una funzione è continua in un punto interno al suo dominio se lim 𝑥→𝑥𝑜

Altra definizione formale: (^) lim 𝑥→+𝑥𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥𝑜) lim 𝑥→−𝑥𝑜

Una funzione è continua se è continua in ogni suo punto del dominio.

TEOREMA DEI DUE CARABINIERI Dimostrazione lim 𝑥→𝑥𝑜 𝑓 𝑥 = lim 𝑥→𝑥𝑜 ℎ 𝑥 = L ⇒ lim 𝑥→𝑥𝑜 g x = L lim ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿𝜀 > 0 : 𝑥 − 𝑥𝑜| < 𝛿𝜀 ⇒ |𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 𝑥→𝑥𝑜

lim ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿𝜀 > 0 : 𝑥 − 𝑥𝑜| < 𝛿𝜀 ⇒ |ℎ 𝑥 − 𝐿 < 𝜀 𝑥→𝑥𝑜

Per cui ∀𝜀 > 0 si ha L−𝜀 < 𝑓 𝑥 < 𝐿 + 𝜀 L−𝜀 < ℎ 𝑥 < 𝐿 + 𝜀 Quindi dall’ipotesi del teorema L−𝜀 < 𝑓 𝑥 ≤ 𝑔 𝑥 ≤ ℎ 𝑥 < 𝐿 + 𝜀 ∀𝜀 > 0 ⇒ ∃𝛿𝜀 > 0 : 𝑥 − 𝑥𝑜| < 𝛿𝜀 ⇒ |𝑔 𝑥 − 𝐿 < 𝜀

Discontinuità di prima specie (^) Discontinuità di seconda specie Discontinuità di terza specie La funzione presenta un salto finito. Limite destro e sinistro sono finiti e diversi: il limite non esiste La funzione presenta un salto infinito. Limite destro e sinistro divergono e sono diversi: il limite non esiste, però funzione ammette un asintoto per 𝑥 = 𝑎 La funzione manca di un solo punto. Limite destro e sinistro sono finiti e uguali: il limite esiste, però funzione non esiste nel punto 𝑥 = 𝑎