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Numero di matricola:
MATEMATICA GENERALE, A.A. 2017/2018
Prova scritta del 24 maggio 2018, docente: Sebastiano Carpi
Rispondere esplicitamente alle domande e giustificare le risposte in-
cludendo i calcoli e i commenti necessari.
0. Determinare l’insieme Sdelle soluzioni reali della disequazione |x−2|<5 e
scriverlo come unione finita di intervalli limitati o illimitati.
1. Studiare la funzione
f(x) = 4
4−x2
e disegnarne il grafico con ragionevole precisione determinando in particolare:
(a) il dominio, le intersezioni con gli assi, il segno, i limiti e gli eventuali asintoti;
(b) gli intervalli di crescenza e decrescenza, i punti di massimo e di minimo
locale e globale;
(c) gli intervalli di concavit`a e di convessit`a e i punti di flesso.
2. (a) Calcolare l’integrale definito
Z1
02
(x+ 1)4+ sin(π x) + e3x−2dx ;
(b) Utilizzando la sostituzione t=x2calcolare l’integrale indefinito
Zxe−x2dx .
(c) Calcolare la derivata seconda f00(x) della funzione
f(x) = Zx
0
e2 sin2(t)dt.
3. Si consideri il sistema lineare
2x1−x2−2x3=−1
3
x1+ 2x2−3x3=−1
3
x1+ 2x2−x3=2
3
(a) Determinare la matrice Adei coefficienti del sistema e calcolarne il determi-
nante.
(b) Spiegare perch´e A`e invertibile e determinare la matrice inversa A−1.
(c) Determinare tutte le soluzioni del sistema.
1
