Scarica Analisi matematica 2 - Numeri complessi e più Schemi e mappe concettuali in PDF di Analisi Matematica II solo su Docsity!
Numeri Complessi
Operazioni di somma e prodotto su
Consideriamo , insieme delle coppie ordinate di numeri reali,
^ ^ ^
per cui si ha
!#" $ (^) e %& '
Introduciamo in tale insieme una operazione di somma
( )+& , -./ 0 ,1*2 - 34 5 , - (^) (1)
ed una operazione di prodotto
76- , -./ - 98:; ( - *0; ) 34 , (^) (2)
dove le operazioni di somma e di prodotto che compaiono nei secondi membri della (1) e della (2) sono le usuali operazioni definite sul campo dei numeri reali. Esempio. <>= ? A@,BDC
E @F?AG,B%H
E
< ?AI,BJ?
@F?AG,B+K
E
.L BMH
@NC
@F? ENO^ CPG,BQH
L
E
I
,BJR
Propriet`a della somma
Si verifica facilmente che, per l’operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti propriet`a: per ogni , -;,^ ST;UV^
- Propriet`a associativa W ( )Q& , -YXZ& ST;UV./ +* W , -[*$ ST;U[\XT'
- Propriet`a commutativa ]& , -. -+& '
- Esistenza dell’elemento neutro ^4_ (^) ` +* _ _ *$ ( ) a
tale elemento `e costituito dallo zero di , _ /^ b bc^.
- Esistenza dell’elemento opposto ^ 8 d 0 (^) +* W 8 YXV W 8 e YX *$ N _ '
E facile verificare che tale opposto `` e costituito dalla coppia A8f (g8^.
**Proprieta del prodotto** L’operazione di prodotto in , definita dalla (2), soddisfa le seguenti proprieta: per ogni , , - (^) , ST;U[ (^)
- Propriet`a associativa W 76- , -YXh6- ST;UV./ 76 W , -76- ST;U[\XT'
- Propriet`a commutativa 76- , -. -76- ( );'
- Esistenza dell’elemento neutro ^ji (^) k .6 i i 6 - N a
tale elemento `e costituito dalla coppia i AlFbc ;
- _Propriet
a distributiva rispetto alla somma_ W Q*$ \X6- ST;U[./ ( )76- ST;U[+*& , -m6- ST;UV'
Dimostrazione. Dimostriamo, a titolo di esempio, la propriet `a commutativa del prodotto, lasciando per esercizio la verifica delle altre: utilizzando la definizione di prodotto data dalla< (2) si ottiene che n ?AoBVK
p?YqFBmH
nrp^ E oJq-? n q%CPo pBJs
d’altra parte si ha (^) < p ? YqFB+K
n ?AoBmH
pn E qro)? poQCtq n BJR
La tesi segue banalmente sfruttando la propriet `a commutativa della somma e del prodotto in u.
Il campo dei numeri complessi
Poich`e l’insieme
ev w bTxN y
e contenuto in , anzie facilmente identificabile (mediante una corrispondenza biunivoca) con , e sensato, anzi utile, scrivere al posto di bc^ per ogni coppia di v. Definendo inoltre l’ _unita immaginaria_ z
z m{ bhgl,
possiamo usare la seguente notazione per scrivere ogni coppia ( ) di nella forma
/ ( bc[$ bh& |& bh )76c AlTbT.$ }& 5bc76- bh~l,.d | z,'
Osserviamo inoltre che, con le notazioni appena adottate, z soddisfa la condizione
z8lF' Possiamo ora dare la definizione di insieme dei numeri complessi:
(iv) r * r *
(v) r 6 r 6
(vi) !y"^
(vii) 6 & *0 e un numero reale non negativo.`
Dimostrazione. Dimostriamo le propriet `a (v) e (vii) , lasciando per esercizio la verifica delle rima- nenti. Ponendo H n C^ o e H p C q^ si ottiene
K H
n C oBVK
p Ct qFBQH H nFp^ C n q,hCPo p E oJq|H H nFp^ E oq E
n q%CPo pB
e
K
H
n E o BVK
p E qTB H nrp^ E n q E op E oq H nrp^ E oJq E
n qCPo pBYR
Se H n C^ o, ne segue che
K
H
n C oB
n E oBQH n CPo (^) %P hn^ ?Ao u R
Per la propriet`a (vii) , ha senso dare la seguente definizione:
Definizione. Definiamo modulo di il numero
H
¡ K R
Propriet`a del modulo
Sia & |*^ zP^. Valgono le seguenti relazioni:
(i) F¢^
(ii) `e un numero reale non negativo e
F$b !y" c1*2$b !#" d%$b !y" (^) $bh'
(iii) r 6 F r Q
(iv) r * Z£^ r )*^ nota come disuguaglianza triangolare.
Diamo qui di seguito l’interpretazione geometrica della disuguaglianza triangolare. Essendo i nu- meri complessi identificabili con coppie di numeri reali, e naturale rappresentarli graficamente come punti del piano cartesiano. Quindi, facendo riferimento alla figura 1, il numero ¤ *^ z verra rappresentato dal punto di coordinate ( ). In particolare l’origine bh bc rappresenta il numero complesso b , il punto YlTbc^ rappresenta il numero complesso lfl[tb^ z e il punto bhgl,^ rappresenta il numero complesso z $bdl z.
i=(0,1)
z = (a,b) = a+ib
Asseimmaginario
(0,0) 1=(1,0) (a,0) Asse reale
(0,b)
Figura 1: Forma algebrica nel piano complesso
i=(0,1)
Asseimmaginario
(0,0) 1=(1,0) Asse reale
Z
Z
Z 1 1
1 + Z 2
2
Figura 2: Somma di numeri complessi
Asseimmaginario
(0,0)
θ
θ
i=(0,1)
1=(1,0) (|z|cos , 0) Asse reale
(0, |z|sen ) θ^ z = |z|(cos^ θ^ + i sen ) θ |z|
Figura 3: Forma polare di un numero complesso
o analogamente ² ¢¾ (^) *0 (^) ³ ¿FÀ^ ¸)Á^ ¿ ¼ ©F -;
da cui segue la rappresentazione polare di :
}*^ z5 ²9¸)¹Tº^ ³ * z²9ºJ»½¼^ ³ ² ¸)¹Tº^ ³ * z º»Â¼^ ³ ;
visualizzata in figura 3.
Osservazione. Osserviamo che l’argomento di e definito a meno di multipli interi di` @~Ã^ , ossia variando l’angolo Ä di @~Ã^ non varia l’argomento di . Tenendo costante Å ed aumentando Ä di @~Ã si individua sempre lo stesso numero complesso, in quanto viene completato un giro sulla circon- ferenza di centro
?B e raggio Å tornando al punto di partenza. D’altra parte, per la @~Ã^ -periodicit `a delle funzioni ÆAÇÉÈ.Ä e ÊË,Æ-Ä , si ha che
H Å
ÊË,Æ-Ä C^ ÆYÇÉÈ.Ä B+H^ Å
ÊË,Æ
Ä C@~ÃÌB(C^ ÆYÇÍÈ
Ä CP@~ÃÌB\BhR
Osservazione. Facendo formalmente le serie di Taylor di Î;ÏÑÐ di ÊË,Æ-Ä e ÆAÇÉÈ.Ä otteniamo:
ÎÏÑÐ H
Ct^ Ä C
@FÒÄ B C
Ä
B
¬Ó
GFÒ C
Ä
B
Ô
L Ò C
Ä
B
¬Õ
IFÒ CxKKK5C^
Ä B\Ö
@5×ZBJÒ C
Ä
B
< \Ö Ø
@5×C
BJÒ C«KKK
H
Ct (^) Ä E Ä@FÒ E ÄGFÒÓ C ÄLÔÒ C ÄIFÒÕ C«KKKgC
E
BÖ Ä\Ö
@5×ZBJÒ C^
E
BÖ Ä\ÖØ^
@5×C
BJÒ CxKKK HÚÙ
E Ä@FÒ E ÄLÔÒ C«KKKgC
E
BÖ Ä\Ö
@5×ZBJÒ CxKKKÜÛ C ÙÄ E ÄGFÒÓ C ÄIFÒÕ C«KKK~C
E
BÖ Ä\ÖØ^
@5×C
BJÒ CKKK^ Û
H ÊË,Æ Ä C ÆYÇÍÈ.Ä
quindi il numero complesso Å
ÊË,Æ-Ä CÝ^ ÆYÇÉÈÄ B si pu `o scrivere come: Å
ÊË,Æ-Ä C^ ÆYÇÉÈ.Ä B+H^ ÅTÎ ÏÑÐ
Esercizio. Dato H
E , determinare i valori del suo modulo e del suo argomento. n H
e o.H^ E
Þ
(^) Å H @ e Ä Hß~à (^) Êáß È
E
BQHwâL Ã[R
La forma polare di e quindi`
H
±ã (^) ÊË,Æ ã Lâ ÃäC (^) ÆYÇÉÈ ã âL ÃäQäR
Esercizio. Dato H E @
ÊË,Æ å Cæ^
E ÆYÇÉÈå B\B (^) , con å u , determinare i valori del suo modulo e del suo argomento. n H
E
Ê
Ë
,Æhå? e o1H¡@^ ÆYÇÉÈNå
Þ
Å H:@^ e Ä H«Ã^ E å R
Infatti,
Ä
H
&ß~à (^) Êáß È ã E ÆYÇÍÈåÊË,Æhå ä? H&ß~à (^) Êáß È
E áßÈ9å BJ? H&ß~à (^) Êáß È
(^) áß È
à E å B\BJ? H&à E å R
La forma polare di e quindi`
H
ÊË,Æ
à E å B(C^ ÆYÇÉÈ
à E å B\B`R
Prodotto di numeri complessi in forma polare Per il prodotto di numeri complessi in forma polare vale la seguente proposizione, che faciliter`a il calcolo delle potenze.
e ñ~òôó (^) <
¯ BH
ñ ~òôó (^) <
B
C
ñ ~òõó Ù
Û
H
ñ~òôó (^) <
B
C
ñ ~òõó (^) <
B
h? H
ñ~òôó (^) <
B
E
ñ~òõó (^) <
B
hR
Negli ultimi passaggi abbiamo tenuto conto del fatto che l’argomento di un numero complesso non varia se tale numero complesso viene moltiplicato per un qualsiasi numero reale, cio `ñ5òõó^ < e
×
B
QH
ñ ~òôó (^) <
B
e × u
e del fatto che ñ~òôó^ <
B
QH E
ñ ~òôó (^) <
B
R
Tali verifiche sono lasciate per esercizio.
Proposizione (Formula di de Moivre). Sia ³ e ö P÷^. Allora vale ¸g¹Tº (^) ³ * z ºJ»½¼ (^) ³® ¸)¹Tº (^) öV³ Q* z ºJ»½¼ (^) ö[³
Dimostrazione. Sia H ÊË,Æ-Ä Cæ^ ÆYÇÉÈNÄ. Allora
H
, ed inoltre dalle regole di moltiplicazione in forma polare si ha
H
K
H
Ê
Ë
,Æ
@Ä BCt^ ÆYÇÉÈ
@Ä B?
e ®
H
H
Ê
Ë
,Æ
<
E
B
Ä
B
C ÆAÇÉÈ
<
E
B
Ä
B
\B
ÊË,Æ-Ä C ÆAÇÉÈÄ B-?
H
ÊË,Æ
° ÄBC^ ÆYÇÉÈ
° Ä B\B^ R
Per induzione si ha immediatamente il risultato.
Osservazione. Assumendo valide le propriet a della funzione esponenziale per l’elevamento a potenza anche nel campo complesso ottemiamo la proposizione in maniera piu semplice:
,® H
ÎÏøÐ B® H ÎÏ® Ð
A questo punto siamo in grado di calcolare Al*^ z\\ : baster`a scrivere il numero complesso nella sua forma trigonometrica e applicare iterativamente le regole del prodotto in forma polare.
Al9* (^) z ¾ ã ¸g¹Tº^ ãù^ ú7ä^ * z º»Â¼^ ã(ù^ úmä]ä
Al9* (^) zA\| ¾ \^ ã¸g¹Tº^ ã bTbFb ùú ä * z º»Â¼^ ã bTbTb ùú äQä^ ¾ \^ ¸)¹Tº^ Fû^ b|6 ù [* z º»½¼^ Tû^ b}6 ù JD \1 ¸g¹Tº^ b* z º»½¼^ bTV \,'
Esercizio. Dato tale che
H
, trovare sul piano cartesiano i numeri complessi E , ,
ü , , C (^) . Risoluzione. Osserviamo che appartiene alla circonferenza unitaria. Allora le sue espessioni, algebrica e trigonometrica, sono date da H ÊË,ÆZÄ C^ ÆYÇÉÈ.Ä? H n Ct^ o)?^ con ý n CPo^ H
da cui si ricava E
H
E
n E o )? = H n E ¬o?
H
H
R
Il numero e il prodotto dei due numeri complessi` e ; pertanto, utilizzando le regole del prodotto in forma polare, ricaviamo che:
H
(^
H
ñ~òôó (^) <?
B
%H
ñ ~òôó (^) <
B(C
ñ ~òôó (^) <
B
QH Ã@ C Ä R
Quindi appartiene alla circonferenza unitaria e il suo argomento `e pari all’argomento di aumen- tato di un angolo retto. Analogamente, C^ H
C
¬B (^) e tale che` C^
H
C
t
H
ñ~òôó (^) < @H2 @
C
B%H
ñ ~òôó (^) <
B
(C
ñ ~òõó (^) <>= C ¬BH (^) Ä C ÃL
Quindi CP^ appartiene alla circonferenza di raggio @ e il suo argomento `e pari all’argomento di aumentato di un angolo di ÃL.
Esercizio. Trovare i valori dei numeri complessi che risolvono l’equazione
® H«¯f?
dove ¯ e un numero complesso assegnato.` Risoluzione. Siano
H
Å
Ê
Ë
,Æ-Ä CÝ^ ÆYÇÉÈÄ BZ?
¯$H&ç
(^) ÊË,Æ-å C (^) ÆYÇÍÈå Bh?
dove Å e Ä sono valori incogniti da determinare, mentre ç e å sono valori assegnati. Imponendo la condizione ® H«¯^ , si ottiene
Å ®
ÊË,Æ
° Ä BC^ ÆYÇÉÈ
° Ä B\B+Hç^
(^) ÊË,Æ å C (^) ÆYÇÉÈå Bh?
da cui, per confronto, si ricava Å
H
þ ç +? ÄÖ H å CP@5×Tð^? × ÿ^ R
Quindi
Å
H
@ H @F? ÄÖ H âLÃ C @5×TÃL^? ×±H^ ?
?A@F?AGF? L R
Esercizio. Scrivere nella forma Ct^ il numero complesso H
C
E
R
Risoluzione. Scrivendo (^) =
C NH @ ãÊË,Æ ÃL CÝ (^) ÆYÇÉÈ ÃL ä? = E NH @ ãÊË,Æ ELà Ct (^) ÆYÇÉÈ ELà ä?
e utilizzando il corollario delle regole del prodotto in forma polare, otteniamo che
H
e ñ5òõó^ <
B
QH ÃL C ÃL H Ã@ R
Quindi, in forma algebrica,
H
«YR
Esercizi Proposti
1) Scrivere i seguenti numeri complessi nella forma ¥ * z¬¦ con ¥ ¦ : 1.1) A8kl^ zª ; 1.2) AlN^ zg Ylf8^ z; 1.3) AlN^ zg^ ^8 z; 1.4) % (^) ù zg (^) ù * z; 1.5) z * l, (^) ù z; 1.6) z dl5g^ z^8 g^ z * c^ ; 1.7) l^ zÓ; 1.8) lNl9 zz; 1.9) l%^ z l* (^) zÓ. 2) Scrivere nella forma ¥ * z¬¦^ l’inverso dei seguenti numeri complessi: 2.1) * z; 2.2) (^) z 8 l l ;
2.3) z; 2.4) zÕ * z *dl.
3) Trovare il luogo geometrico dei numeri complessi tali che:
3.1) Fl^ ; 3.2)
wl^ ; 3.3) ¨l^ ; 3.4) 8 zZ£wl ; 3.5) ^8 * z$l^ ; 3.6)
; 3.7) ^8 $^ F^ ; 3.8) ^8 ,8 k$b^ ; 3.9) ´F쬶|^ ^ ùú.
4) Determinare modulo, argomento e rappresentazione trigonometrica dei numeri complessi
4.1) ^ * z ¾
; 4.2) ã¸)¹Tº^ ùú^8 z º»Â¼^ ùú7ä^ ^.
5) Esprimere in forma trigonometrica l’inverso del numero complesso
5.1) ã ¸)¹Tº^ ùú * z º»Â¼^ ùú7ä^6 l ã ¸g¹Fº^ ùú * z º»Â¼^ ùú7ä^.
6) Determinare le soluzioni complesse delle seguenti equazioni:
6.1) Ô z; 6.2) Ô l*^ z; 6.3) Ô l; 6.4) Ó l8 z¾.
7) Per ognuno dei seguenti ^ calcolare ,
, e l,©^ .
7.1) }8^ z; Sol. * z;
; ª * z 7.2) l%8^ z; Sol. wl9*^ z;
^ ; ª l * z 7.3) 8 z; Sol. *^ z;
^ û; ª û * û z 7.4) 8^ û^8 ^ z;
12.2) e uguale al valore assoluto della differenza dei moduli degli addendi?`
13) Utilizzando la forma polare, determinare tale che
13.1) 8^ l9^ z; 13.2) g * z. Dopo aver determinato il risultato, si proceda alla verifica.
14) Sia dato il numero complesso l9*^ ¸g¹Fº#"^ * z º»Â¼$"^ , dove " . Calcolare
14.1) ® per ö P÷^ ; Suggerimento: applicare la formula di de Moivre (^) 14.2) ; 14.3) ´F쬶| .
15) Sia ^ tale che
- l ¸g¹Tº^ ³ dove ³ /´Fμ^ ¶|^ ; calcolare
15.1) ® * l® ; (^) Suggerimento: applicare la formula di de Moivre 15.2) .
16) Utilizzando la formula di de Moivre, calcolare
16.1) ¸g¹Tº^ ã lTlù ä * ¸)¹Tº^ ã lTlù ä * ¸g¹Fº^ ã û lTlù ä * ¸g¹Fº^ ã lFlù ä * ¸g¹Tº^ ã lTlù ä. (^)
Sol. (^) l
