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Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria
Esercizi di ripasso sulle applicazioni lineari
Esercizio 1. Sia L : R
3 → R
2 l'applicazione lineare rappresentata, rispetto
alle basi canoniche, dalla matrice :
A =
Determinare la matrice associata ad L rispetto alle basi :
B =
e B
′
Soluzione. Costruiamo la matrice M
B B
′ (L)^ per colonne. Il metodo standard
è quello di vedere come l'applicazione L agisce sugli elementi della base B e di
scrivere ciascun vettore trasformato come combinazione lineare degli elementi
della base B
′
. I coe cienti di tali combinazioni costituiscono le colonne di
M
B B
′ (L)^.
Cominciamo con la prima colonna. Lo scopo è quello di calcolare
x
y
per
cui si abbia :
L
= x
Risolvendo il sistema lineare :
x + 2y = 4
x + 3y = 1
si ricava che la prima colonna di M
B B
′ (L) è
. Proseguendo in modo
analogo per gli altri elementi di B si ottiene :
M
B B
′ (L) =
Esercizio 2. Sia T : R
5 → R
3 l'applicazione lineare de nita ponendo :
T
x
y
z
s
t
x + 2y + z − 3 s + 4t
2 x + 5y + 4z − 5 s + 5t
x + 4y + 5z − 5 s − 2 t
Trovare la dimensione e una base rispettivamente di Im(T ) e Ker(T ).
Soluzione. Siano B e B
′ le basi canoniche rispettivamente di R
5 e R
3 .
Costruiamo anzitutto la matrice associata a T rispetto a tali basi. Per come
è de nita T si ha che :
T
, T
, T
T
, T
Quindi :
M
B B
′ (T ) =
Ricordiamo che dim(Im(T )) = rg(M
B B
′ (T^ )) e che una base per Im(T^ ) è costi-
tuita da un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti di
Si ha quindi che :
Ker(T ) =
α
α, β, γ ∈ R
Come base per Ker(T ) possiamo prendere l'insieme :
Ker(T ) =
Esercizio 3. Sia L : R
4 → R
3 l'applicazione lineare de nita ponendo :
L
x
y
z
s
x + 2y + 3z + t
x + 3y + 5z − 2 t
3 x + 8y + 13z − 3 t
Trovare la dimensione e una base rispettivamente di Im(L) e Ker(L).
Soluzione. Questo esercizio è analogo al precedente. Fissate le base cano-
niche B e B
′ rispettivamente di R
4 e R
3 , la matrice associata a L rispetto a
tali basi è :
M
B B
′ (L) =
Per calcolare la dimensione e una base per Im(L) procediamo come al solito.
Applicando E-G a M
B B
′ (L)
′ otteniamo la matrice a scala :
Si vede immediatamente che dim(Im(L))=rg(M
B B
′ (L))= rg(M^
B B
′ (L)
′ ) = 2.
Come base di Im(L) possiamo scegliere
Applicando il teorema della dimensione otteniamo che dim(Ker(L)) = 4 −
dim(Im(L)) = 2. Per individuare una base per Ker(L) risolviamo il sistema
lineare omogeneo :
x
y
z
t
Usando E-G otteniamo il sistema equivalente :
x
y
z
t
che ammette come soluzioni tutti i vettori del tipo :
x
y
z
t
α − 7 β
− 2 α + 3β
α
β
α, β ∈ R
Si ha quindi che :
Ker(L) =
α
α, β ∈ R
arrivo). Questo signi ca che possiamo prendere come base di Im(T ) una
qualsiasi base di R 2 [t] , ad esempio la base canonica C.
Per trovare invece una base per Ker(T ) risolviamo il sistema lineare omoge-
neo :
x
y
z
t
Esso ammette come soluzione tutti i vettori :
x
y
z
t
= α
α ∈ R
Per esprimere il risultato in termini di elementi di R 3 [t] basta ricordare che il
vettore
di R
4 individua i coe cienti, rispetto alla base B , del cor-
rispondente polinomio in R 3 [t]. Si ha quindi che ker(T )={α(t − 1) , α ∈ R}
ed è chiaro che (t − 1) è una base.
b) Per costruire la matrice associata a T rispetto alle basi B
′ e C
′ osserviamo
che :
T (1) = 1 T (t + 1) = 2 T (t
2
3 ) = (1 + t
2 ) + 2(t + 1) − 2
Da ciò ricaviamo che :
M
B
′
C
′ (T ) =
Esercizio 5. Sia V = R 2 [t] , lo spazio dei polinomi a coe cienti reali
nell'indeterminata t di grado ≤ 2. Sia T : V → V , l'applicazione così
de nita :
T (a 0 + a 1 t + a 2 t) = a 0 (1 + t) + a 1 (1 + t
2 ) + a 2 (2 + t + t
2 ).
a) Veri care che T è lineare ;
b) Sia C = { 1 , t, t
2 } la base canonica di V. Si scriva matrice rappresentativa
di T rispetto alla base C ;
c) Si trovi Ker(T ) ;
d) Sia B = { 1 , 1 + t, 1 + t + t
2 } un altra base di V. Si scriva la matrice
rappresentativa di T rispetto alla base B ;
e) Si trovino le matrici che esprimono il cambiamento di base da C a B e
viceversa.
Soluzione. a) Per veri care che T è lineare basta controllare che , dati due
polinomi qualsiasi f (t) e g(t) ∈ V e λ ∈ R , sono valide le seguenti relazioni :
T (f (t) + g(t)) = T (f (t)) + T (g(t)) e T (λ(f (t))) = λT (f (t)). La loro veri ca
è abbastanza immediata, basta svolgere i conti.
b) Osserviamo che, per come è de nita T , si ha :
T (1) = 1 + t T (t) = 1 + t
2 T (t
2 ) = 2 + t + t
2 .
Per cui la matrice rappresentativa di T rispetto alla base C è :
M
C C (T^ ) =
c) Come al solito, per trovare Ker(T) risolviamo il sistema omogeneo :
x
y
z
Applicando l'Eliminazione di Gauss si trova che le soluzioni di tale sistema
sono date dall'insieme :
α
(^) α ∈ R
. Dunque Ker(T )={ 3 α−αt+
αt
2 , α ∈ R}.
