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Lezione 3
Tempo di esecuzione di un algoritmo: Numero di operazioni primitive/elementari che vengono eseguite da un algoritmo. Dipendono da:
- Dimensione input
- Tipo di input (Se dim è uguale) Insertion sort Caso migliore -> T(n)=an+b (Lineare) Caso peggiore -> T(n)=an^2+bn+c (Quadratica) caso peggiore di insertion sort `e T(n) = Θ(n2). Analisi asintotica
- Ignoro il costo Ci di ogni istruzione
- Guardiamo solamente il tasso di crescita di T(n) “Voglio classificare gli algoritmi in classi di algoritmi aventi complessità simili” Notazione Θ (Limite asintotico stretto per f(n)) 0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n) per ogni n ≥ n Una funzione f(n) appartiene all’insieme Θ(g(n)) se esistono delle costanti positive c1 e c tali che essa possa essere compresa fra c1g(n) e c2g(n)
Notazione O (Upper Bound) (limite asintotico superiore per f(n)) 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) per ogni n ≥ n Per qualsiasi valore n a destra di n0, il valore della funzione f(n) coincide o sta sotto cg(n) Notazione Ω (Lower bound) (limite asintotico inferiore) 0 ≤ cg(n) ≤ f(n) per ogni n ≥ n Per tutti i valori di n a destra di n0, il valore di f(n) coincide o sta sopra cg(n) Analogia con i >=,<=, = “=” -> Θ <= -> O
= -> Ω Teorema: Per ogni coppia di funzioni f(n) e g(n), si ha f(n) = Θ(g(n)) , se e soltanto se f(n) = O(g(n)) e f(n) = Ω(g(n))
Regola:
- Funzioni logaritmiche crescono più lentamente di funzioni polinomiali
- Funzioni polinomiali crescono più lentamente di funzioni esponenziali 1 < log n < √n < n < nlog n < n^2 < n^3 < 2^n < n! < x^x Algoritmo addizione binaria: Complessità: Θ(n)
Divide et Impera Basato sulla ricorsione:
- Se l’istanza può essere risolta direttamente, la risolvo.
- Altrimenti, la riduco in sottoproblemi in modo da avere più istanze ed arrivare a risolvere direttamente. Si suddivide il problema in vari sottoproblemi, che sono simili al problema originale, ma di dimensioni più piccole, risolvono i sottoproblemi in modo ricorsivo e, poi, combinano le soluzioni per creare una soluzione del problema originale. Divide : il problema viene diviso in un certo numero di sottoproblemi. Impera : i sottoproblemi vengono risolti in modo ricorsivo. Tuttavia, se i sottoproblemi hanno una dimensione sufficientemente piccola, possono essere risolti in maniera semplice. Combina : le soluzioni dei sottoproblemi vengono combinate per generare la soluzione del problema originale. Viene utilizzato prevalentemente in: Importante:
- Meglio 2 sottoproblemi di dim n/2 che uno di dim n
- Due round meglio di uno, e così via
- Divisioni bilanciate sono preferibili a quelle non bilanciate
Il tempo di esecuzione di un algoritmo Divide et Impera può essere espresso come ricorrenza:
- Se dim in input è piccola allora -> T(n)=Θ(1) (Cioè costante)
- Se # sottoproblemi = a ed ognuno ha dim 1/b volte l’originale -> aT(n/b), allora:
Albero di ricorsione Θ(n log n)
Metodo dell’esperto
Il metodo dell’esperto rappresenta un “ricettario” per risolvere le ricorrenze della forma: T(n) = aT(n/b) + f(n) ** Il metodo dell’esperto richiede la memorizzazione di tre casi, ma poi la soluzione di molte ricorrenze può essere facilmente determinata, spesso senza carta e penna. ** descrive il tempo di esecuzione di un algoritmo che divide un problema di dimensione n in a sottoproblemi, ciascuno di dimensione n/b, dove a e b sono costanti positive. I sottoproblemi vengono risolti in modo ricorsivo, ciascuno nel tempo T(n/b).
Elevamento a potenza Θ(log n)
Massimo sottoarray Può essere Θ(n) ma Θ(n logn)
Counting inversion Θ(n log n)
RICORDA: Per far si che sono invertibili deve rispettare: A[i]>A[j] e i<j
Quicksort O(n log n)
Prima faccio questa divisione e poi con il quick sort ordino i 2 sottoarray.
Counting sort Θ(n+k)
