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VARIABILI CASUALI DISCRETE
Il calcolo delle probabilità ci permette di conoscere a priori la funzione di probabilità relativa ai risultati del precedente esperimento. Essa è la seguente: Se costruiamo la cumulata della funzione di probabilità otteniamo la cosiddetta Funzione di Ripartizione che ci fornisce la probabilità di ottenere una modalità del carattere fino ad xi compreso. N. risposte esatte Funzione di probabilit à Funzione di riparti- zione xi (carattere) f(xi) F(xi) 0 0,03 0, 1 0,16 0, 2 0,31 0, 3 0,31 0, 4 0,16 0, 5 0,03 1, TOTALE 1.00 ////// La precedente tabella di valori relativi al carattere x rappresenta una variabile casuale discreta (detta anche variabile aleatoria discreta o, come nel vostro testo, distribuzione discreta, sottintendendo distribuzione di probabilità associata ad una variabile aleatoria discreta). VARIABILE CASUALE (O ALEATORIA O STOCASTICA O DISTRIBUZIONE) DISCRETA Una variabile casuale discreta X è una variabile che può assumere i valori x 1 , x 2 , …xn corrispondenti ad eventi aleatori (cioè dipendenti dal caso) E 1 , E 2 , …En, non impossibili, che si escludono a vicenda e tali che sicuramente uno di essi si verifichi (da Bergamini M., Trifone A, Barozzi G. 4s Matematica.verde , Zanichelli Editore, Bologna, 2012). FUNZIONE DI PROBABILITA’ DI UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA Data una variabile casuale discreta X, con valori x 1 , x 2 , …xn, la successione delle probabilità p 1 , p 2 , … pn ad essi associate si chiama funzione di probabilità della variabile X (Adattato da Bergamini M., Trifone A, Barozzi G. 4s Matematica.verde , Zanichelli Editore, Bologna, 2012) N. risposte esatte Funzione di probabilità xi (carattere) f(xi) 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, TOTALE 1.
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE DI UNA VARIABILE CASUALE DISCRETA
Si chiama funzione di ripartizione di una variabile casuale X la funzione F(x) che fornisce la probabilità che X assuma un valore non superiore (o fino a … compreso) ad un valore prefissato x: F(xi) = P (X< xi) = p 1 + p 2 + … + pi =
k = 1 i pk (Adattato da Bergamini M., Trifone A, Barozzi G. 4s Matematica.verde , Zanichelli Editore, Bologna, 2012) Calcolo di MEDIA, VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD PER TABELLE DI FREQUENZA E PER VARIABILI CASUALI Consideriamo ora la prima seriazione (tabella di frequenza riguardante caratteri quantitativi) considerata durante la precedente lezione: NUMERO DI MASCHI NELLE FAMIGLIE xi Frequenz e Assolute fi Frequenze relative f (^) i
∑ f^ i
= f (^) i n 0 5 0, 1 12 0, 2 30 0, 3 25 0, 4 19 0, 5 6 0, 6 2 0, 7 1 0, Totali 100 1, Per farlo, di solito, nei corsi base di statistica psicometrica propongono di completare la tabella di frequenza come segue utilizzando poi i totali delle nuove colonne nelle formule precedenti, cioè: NUMERO DI MASCHI NELLE FAMIGLIE xi Frequenz e Assolute fi Frequenze relative f (^) i
∑ f^ i
= f (^) i n xi ⋅ f (^) i x i ⋅ f (^) i n
x
i^2 xi^2 ⋅ f (^) i n 0 5 0, 1 12 0, 2 30 0, 3 25 0, 4 19 0, 5 6 0, 6 2 0, 7 1 0, Totali 100 1, M =
∑ xi ⋅ f^ i
n (^) =
M =
∑ xi ⋅
f (^) i
n =^2 ,^^72
Le formule per calcolare la media aritmetica, la varianza e la deviazione standard sono le seguenti: M =
∑ xi ⋅ f^ i
n (^) =
∑ xi ⋅
f (^) i n Var =
M ( x
i^2 )
− M
2 [il primo simbolo di questa riga indica la media dei quadrati!]
Dev. St. = √^
M ( x
i^2 )
− M^2
Esempio N. risposte esatte N. prove X (carattere) fi (freq. assol. 0 1 1 2 2 9 3 7 4 1 5 0 TOTALE 20 Di solito, ma non necessariamente, i risultati degli esperimenti si avvicinano al modello teorico che li rappresentano (variabile casuale) TABELLE DI FREQUENZA (carattere quantitativo discreto) Consideriamo le seguenti associazioni: Distribuzione di frequenze relative ----------------> Distribuzione di frequenze relative cumulate -----> Ricordiamo alcune formule per il calcolo della Media Aritmetica, della Varianza e della deviazione standard utilizzabili nel caso di tabelle di frequenza: M = ∑ xi ⋅ f^ i n (^) = ∑ xi ⋅ f (^) i n ---------------------------> Var = M (^) ( x i^2 )
− M
2 ---------------------------------------> Per il calcolo della media dei quadrati nelle tabelle di frequenza si possono usare le frequenze relative VARIABILE CASUALE DISCRETA (o aleatoria, o stocastica) La probabilità che si verifichino le modalità del carattere si conoscono a priori, prima di effettuare l’esperimento. E’ un modello teorico noto. Esempio N. risposte esatte Funzione di probabilità Funzione di Ripartizio- ne N. prove CORRISPND E ALLE FREQ. RELATIVE CORRISPON DE ALLE FREQ. RELAT. CUMUL. CORRISPONDE ALLE FREQ. ASSOL. PREVISTE DALMODELLO TEORICO CON N = 20 xi (carattere) f(xi) F(xI) 20 x f(xi) 0 0,03 0,03 0. 1 0,16 0,19 3. 2 0,31 0,50 6. 3 0,31 0,81 6. 4 0,16 0,97 3. 5 0,03 1,00 0. TOTALE 1.00 //////// 20 VARIABILI CASUALI DISCRETE Funzione di probabilità Funzione di ripartizione
μ = ∑^ xi ⋅ p (^ xi^ )
σ^2 = M (^) ( x i^2 ) − μ 2 [M(x^2 ) = MEDIA DEI QUADRATI] con le variabili casuali si usano le probabilità
ESERCIZIO
Data la variabile aleatoria X e la sua funzione di probabilità calcolare valore medio, varianza e deviazione standard DISTRIBUZIONI DI PROBABILITA’ PIU’ COMUNI RELATIVE A VARIABILI CASUALI DISCRETE Le distribuzioni di probabilità più comuni relative a variabili casuali discrete sono la distribuzione uniforme discreta (se tutti i suoi valori hanno uguale probabilità), la binomiale (che approfondiremo), la Poisson (modello teorico che rappresenta importanti fenomeni in fisica, in medicina e in campo economico). ESERCIZIO PER CASA Calcolare la Media Aritmetica (sinonimo di Valore Medio), la Varianza e la Deviazione Standard della variabile casuale che segue: X 9 12 15 18 21 p(x) 0,1 0,2 0,4 0,2 0,
X -3 -2 -1 0 1
P(x) 1/8 3/8 2/8 1/8 1/ X^2 9 4 1 0
μ = ∑^ xi ⋅ p (^ xi^ )^ =
σ^2 = M (^) ( x i^2 ) − μ^2 M (^) ( x i^2 )
σ^2 = 3 – (- 1,25)^2 = 3 – 1,5625 = 1,
