Appunti di Calcolo Numerico: Numeri Macchina, Norme Vettoriali e Metodi Iterativi - Prof. , Appunti di Calcolo Numerico

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Appunti

Calcolo

Numerico

Un

numno

realesi

presenta

in macchina^ nella^

forwa

V. N. (^) e

riregula

mobile normalizzata

L'insieme dei (^) numeri macchina è costituito dai (^) numeri x R (^) nella

forma

F(B ,

m ,

L

,

Ul

B =

base di numerazione

m = (^) numero di^

cifre disponibili per

la mantissa

,

escluso il^

segno

1 =^ -

(B"

• e)

caratteristica

n

U =

B

• 1 x

( x b

. )^ -se bl =^ Underflow

Se b (^) > U^ = Orbeflow

Arrotondamento

·

Troncamento

f(

=

1

10

.^ C^

Az .... Am^

BP se Am fl()

=

0

. AAz^ ....^ Am^ B

i

10 .

AAz ..... (^) Am +^ BP

se

Amer

fl

si chiawa

rappresentazione

in floating

point

,

è

un numno reale "vicino" at X che lo^ sostituisce.

Precisione di Macchina^ :^ è la^ limitazione superiore

als (^) bezone relativo (^) commesso nel

rappresentare

un (^) numho x di (^) macchina .

| x

fl(x) Em

Em =

BI-m se l'elaboratore opha per

troncamento

1x

!

&

pl-M se l'elaboratore opra per

arrotondamento

Algoritmo

:

eps

= I

fintanto

che C +

eps

FI

e ps

:

ep

B

eps

= eps

B

Il (^) Alo

= max/Xil

• >

Valore massimo di

fec

in valore^ assoluto

I (^) Alla (An matiG) è^

il (^) massimo valore assoluto della (^) somma delle^ righe

di uno

matrice

, prese^

in Valore^ assoluto

.

Norma Matriciole

E una funzione

da RM-R che associa ad

ogni

matro AERM^ un numero

IAI + .

C.

1. (^) IIAll

e All^

= (^0) ( A = 0

/All (^) = La

. (^) HAll VER

1. IIA +^ BI

> All +^ Il BII^ F A

,

BERMan

1. VIA^

. BIIIAll

. IBLI (^) FA

,

BERMen

Norme Matricioli (^) Indotte

della (^) somma

Norma 1 r :

Il All

=

max

lij

(massimo (^) dei valori assoluti degli

elementidel e

colore) (^).

Algoritmo

Nowa A^ =^ -

Per

I

= 1

.....,

M

s (^) = 0

Per

i =^1

, ...., M

s (^) = S + ldij)

Se Nona ACS

,

allora Nowa A^

= (^) S

Norma 2 : (^) IlAll

= matti

(ATA) (autovalori di ATA

Norma : Il

Alle max

In laij

(massimo della somma

dei valori assolutie

degli

elementi delle

righe)

Algoritmo

Si scambiavo :

ej

in (^) quello

della munua 1

Norma di Frobenius

: I All

=

a :

(Somma (^) di Tutti

gli

elementi del

matric elevati al quachato e^ poi

la

radio del^ risultato

Algoritmo

S (^) = 0

Per

it

, e

.

...,

m

S (^) = S + aij

Norewa F= (^) US

Proprietà delle^ norve matricioli^ indotte^ :

IAXI All-III AzRMM

,

x

ERM

Dimostrazione :

Per definizione

lAlp-AXP

,

XER"

,

X FO^ -

Atp-slAll

• >I AxIl-Al^

e

1. II^

= (^1) I ERMM (MATRICE IDENTITA

pCA)

< IIAll

,

pCA)

=

max (Xi)^

> Raggio

Spettrale (massimo (^) autovalore di A^ in modulo

i = 2 , ...,^

M

Sia (^) X un

Valore esatto e E una

sera (^) approssimazione

Errore (^) Relativo : (^) Errore assoluto :

R =

(x - (^) E(Xed

A

= 1x - E - >

è influenzato

dall'ordine di

| x grandezza

del dato.

Tra (^) Vettori :^ ex =^

1X-Ill

Ep=

II X-XII

• gli

asterischi (^) indicano che può

estre una delle 3 nouve elencate

1/ Xll (^) * -prima.

X (^) = /O

Errori nella rappresentazione

:

=

I

,

xxo (Non

dipende

dalla Caratteristica ma dalla mantissa d

A = (X-fI

(Dipende dalla^

conatteristical

SISTEMI LINEARI (^) COL METODO DI (^) GAUSS

Per (^) ridurre una matric A^ au^ una matrice^ triangolone suphione^ applico^

il metodo di Gauss

.

~

Pivoting

Classico

Metodo (^) di Gauss -Senza

Piroting

Senza (^) scambio delle righe

Pivoting

parziale

o

↑Trovare il pivot

massimo in valore assoluto

2 : Scambiare le^

righe

in modo Tal che il^ Pivot sia sopra

5

.

Calcolare i

moltiplicatori

: m =^ Mo sotto al^ Pivot

PIVOT

Fare in modo^ che^ i^ numhi sotto al^ Pivot^ siamo &

Utilizzando

: x-(Pirot) (mxy)

I

numho che^ deve^ essere O

Ky (A)

= lIAll

Il (^) A-/

> (^) Condizionamento della matric A^ in (^) nonva 1

Ka(A)

= Il Allo

. IlA-Ya

• Condizionamento della (^) matric A^ in (^) norma co

Interpolazione

De polinomio interpolante

n +^ s punti (^4)

(Xi

,

o

è il^ polinomio

di

grado

al

più n^

tal (^) che

P(xi)

= Yi

=

00 +^ Ax +^ Azx .... +

Ap

x P ,

i = 1 ,...

M

Il polinomio interpolante

esiste ed^ è (^) unico quando

: modi xi (^) sono distinti.

Prendendo Tale^

polinomio

ed imponendone l'interpolazione

dei punti

otteniamo un sistema

nella forma

:

do

A to^

A2 to " +......

• (^) A to = Yo

E

nn

Sistema (^) lineare di met incognite

in

! - > n + 2

equazioni che^

rappresenta

do +^ A1Xm +^12 Xm2 +.....

An XnM^

= Ym

le

condizioni di

inthpolazione

In

forma

matriciale si saile come :

I

(^1) to to

"

...... A

a) i

i

i

Matrice di Vandermonde

Il polinomio (^) interpolante può essas^

shitto col (^) metodo di Lagrange

o col^ metodo^1 :^

Newt G

Metodo (^) di

Lagrange

: P(x) = (^) Co

140 +^ G^ (x41 +^ 22 (x)42 +....^ +^ m (xym

=

4 f(xy

f(x

=

T(t

ti)

=

(0(

( - x2)(X

• Xu) (to- 4....

(to

• x1)

(to-te) (to-43)

i Ej

fj(Xi)

=

d i^

= j

f(x) =^

( -^ x0)(x

• xz)(X - xz)

o altrimenti^ (x^

• x0)(X - xz)(Xx - xz)

....

fz(x) =^ (x - X0)(X - Xe)(X - X3) ....

OSS :^ È^ un metodo comodo (t

• x0)(Xz -

+1)(Xz

• ke)

se ho^

Tanti

Vi

= (^0)

Inoltre se i nodi di 2

gruppi

di punti

da interpolare sono^ uguali

= > Cj(x)

non cambiano.

Migliore approssimazione

ai (^) minimi quadrati

Dati

m punti

{(xi ,

yily 1 ,

Xi ,

y :

e

,

xi Ex

dei J,

Calcolge il

polinomio

P(x)

= (^) Ao +^ A, X (^) +.... + (^) Akx

di migliore approssimazione^

nel senso dei (^) minimi

quachati,

significa

Calcolare (^) Ao ,

A ....,

Ak in^ modo che^ sia^ minimo il^ quadrato della^ nora 2 del

vettore deviazione .

scao ,

d ...

ak) =^ Ide^

=(PCxi)-Yil

. (^) Vettore deviazione e

d = Co

,

da ....,

dm)

= (p(x)

• 41 ;

P(xz)

• 42

; P(xm)

• Ym) (^).

I

valori di 00 ,

as ...,

Ak si^ calcolano^

ponendo

a o il

gradiente

della funzione

contessa

s (Ao

,

Ax ....,

Akl

-Slao ,

an ....,

Ak)

AQo

US = as^ (Ao ,

a ...

ak) (^) = 0

da

V

i Si (^) mostra facilmente

che questa

condizione

-S (do , Ax^ ....,

af (^) conduce al sistema lineare

dak

d

• (^2)

ex

: tiz^

.... x k do 4

i

i = (^1) i = L

i

xi Ax xixi

= O

• 1 i^ =^1

E

ti E

.....

i

e

I

..... (^2) Az x

Gi

in ! m

m

K

k + 2 - 2 K

K,

i

xi .... 2 ti (^) Ak P(X)

= do +^ Ax X

i (^) = 1

La (^) setta di

migliore approssimazione^

nel (^) senso dei (^) minimi quachati schà^ determinato^

da (^) una malrio (^) 2x2.

La parabola

invece sarà determinata da^ una matio 3x3.

• > P(t)

= A

• A ,

X + (^) A

c

Data (^) unaTabella se una (^) variabile

dipende lineamente^ dall'altra^

> (^) è una retta di migliore approssimazione

I coefficienti

ao ,

as ...,

ak del (^) polinomio di migliore approssimazione^

risolvono questo problema

.

La

matric è simmetrica

,

è definita positiva^

> è invertibile e^ la^ soluzione esiste ed^ è unica.

Metodi iterativi^ per (^) equazioni non^

lineari

Metodo (^) di Bisezione

A

partire

da un intervallo^ [ao^ ,

bo]

Tale che

f(90) f(bo)

O ,

il (^) metodo di bisezione

genha

una successione di^ sottoinsiemi^ [9k ,

br] aventi^

le

seguenti

proprietà

:

8 (ar)f(bx)

<0 => L'intervallo

[ak

,

bus contiene una nadia^

dif

1. (^) [dk ,

br]

< [AK-1 (^) ; PK^ -E]

1. bx-Ak

=

bk-1-Ak-

2

Noto [ak-ibu-1) ,

l'interazione K-esima del^ metodo^ si può

descrivere nel (^) modo seguente

:

1. Si^ calcola il punto

medio Xk-

= Ak -^1

by-s

2

Se f(ar

• e) f(xk - 2)

0 ,

si pome

[ak ;

bk]

=

[ak-

1 :^

Xx- 2)

Per (^) costruzione

E

2 f(ak-1) (^) f (Xx -^2

0 ,

si pome

[Ak ;

bk]

=

[xx-

1 ; bk^

• lin

XK

=

linak

limby e

sf(ake)f(xk - 1)

= (^0) = x

= Xk -^1

↓ passo

devo

"restringere"

l'intervallo valutandone

gli

estremi e

facendo

in modo che^ sia

rispettato

il (^) Teorema degli

zei.*

I CRITERI (^) DI ARRESTO utilizzati (^) nella definizione

di

algoritmo per

il metodo della

BISEZIONE SOMO :

1) Impostazione di^ un^ numero Kmax^ di^ trazioni^

(CRITERIO (^) DI SALVAGUARDIAL

If(xk)/

< ta

Enct 11

Es Tem

1. Ibk - akle t

• > Controllo di^ tipo

assoluto

1. Ibk

akl Ezlak)

Em <^1

Vem - > controllo di^ Tipo

Relativo

1. Ibx - ak) - 4 21ak)

• (^) E2 - > controllo di tipo misto

Metodo di Newton

La

forma

della successione [Xx] (^) ,

XKER , generata^

dal (^) metodo di Newton applicato

al problema f(x)

= 0 è^

:

• Scelta dell'approssimazione

iniziale (^) to ,

Xkz

= Xx-f(A) , (^) '(k)

FO .

f'(k)

K = (^0) ,

2 .....,

M

Indicando con

x* una radice di

F.

Le (^) condizioni sufficienti per^

la

convergenza

della successione

generata

das metodo di Newton

,

ovvero lim^ Xk = x

Sono l^ seguenti

:

k

• > CA

Formule di quadratura

Dato

l'integrale definito^ If

fax)dx ;

dove

f

è

integrabile

su [a ,

b] ,

le

formul

del Punto^ Medio ,

del TRAPEZIO^ e di^ SIMPSON sono di^

tipo interpolatorio

e hanno^ rispettivamente la^ forma

:

Fpm[f)

= (b- a)

.

f)

b) (d

=

I

[8]

= ( 9(f(a)

f(b)

(d =

Fs(8)

=

(49(f(a)

4f(atb)^

f(b)

(d =

La

Regola

delle formule

di

quachatura composite^

consiste nell'applicare

le

formule

di

quadratura

a ciascuno degli integrali

nella somma (^).

To b

I(

= /Pg(xdx

= )^ f(xax

g(x)dx

e per

ciascun integre

e applichi

le

formule

di quachatena.

Gli estremi^ di^ integrazione

sono i^ modi e ce li indica il^ Testo.

GRADO DI^ PRECISIONE^

: Una

formula

di quadratura

ha grado

di

precisione (d)

se è esatta quando

la funzione integranda f(x)

è un (^) polinomio qualsiasi

di

grado

I (^) almeno un polinomio

di

grado

d + 1

per

ci l'errore^ Rn(f) risulta non nullo.

B (^) :

Ogni (^) formula

di quachatira

di tipo interpolatorio

su Cn +1) nodi ha^

gado

di

precisione

Almeno M (^).

se la^

funzione integranda

è continua nell'intervallo^

[a ,

b]

=> him I

=

I(F)

M - DC

Regola di quachatea composito

OCCHIO

: Sotto alle^

operazioni

logiche "for" (^) , "if", "dif",

else ci va

sempre

"end"

I

function

[noua]

=

my. Fun (x

,

P)

P31(scolo)

n = CenghT(x)

; (^) mi restituisce il^

xERM Chettore)

• tr

if PC

• > n° di componenti

di (^) un "^ xp

=

(Zw(xi/P) (^) sepfin

error (^) ('pminore di^ Il

Vettore

XIIn

=

max km)^

zep-inf

else

i =^1 ...

inf

if PN

= inf E

n-

norma =^0 ;

For i =^1 :^ M

nora-noma +^ abs(x(ill"p , e

ed valore

assoluto

nova

=

nona (1/P)

;

el (^) se

mona

= abs(X(1) (^) ;

Chiamata

For

i =^2 :^ m x

= (^) [ 2

,

2 ,

0]

if

abs (^) (X(i)) mona P

= 7

mona =^ abs(X(i)) (^) ; norwa

=

my

-Fum(x

,

P)

end

ench

end

end

end

function [4]^

= my-fumlA ,

) Soluzione^

del (^) sistema Ax =

Y

[m

,

n)

=

Size(A)

p

=

Emgh

(x)

if pr

= m

error/'le dimensioni^

della matric e^ del^

rettore non sono in^ accordo

y

= zaos (m

,

For

i = 1 : m

for

j

= 1 :^ m

y(i)

= y(i) +^

A(i ; j)

X(j) (^) ;

end

end

end

(^4) Function [p ,

9 ,

U]

=

my

-Fum(A)

p

= 0 ;

q

= 0 ;

I

numero

di (^) elementi positivi , negativi,

V (^) nelil

= 0 ;

[m

,

m]

= size (A)

Fori

= 1

: m

r

• or^

j

= 1im

if

A(i

,j)

> 0

p

=

p

(^1) ;

elseif Ali ;

)

0

9

=

9

• 1 ;

else

V

= r +^1

anch

end

end

Function [A

,

Condi

,

Cond

, cond_inf]

= myfun(h)

A =

Zeros (^) (n

,

n)

Matric (^) Hilbert

for i^ = 1 : M

for f

= (^) Lim

Ali

, j)^

= 1/(i + j

end

end

Condi

= Cond (A

,

La

funzione

"caud" (^) mi indica il (^) numho di (^) condizionamento

com

(A , 2)^ ;^

della (^) matric "A" (^) e accarto indico il numero della^ nona

Cond

inf

= CondCA

,

in

f);

• (^) -

end

6 Usando il^ comando x

= Alb si colcola la^ soluzione

numerica

del sistema lineone Ax

= b

Vettore (^) residuo :^ U

= b

• A

xC

La function dell (^) restituire :

1. xa

2. Numho di condizionamento di A^ in (^) monia z

Nona del lettore^ residuo

d

= KA

I

Function Ix ,

mond

,

morr , a)

= my-Fun

(A

,

b)

Xc

Alb

(Risoluzione (^) del sistema lineare)

mond

= cond (A

,

;

r

= b

A

xC ,

mormt

= morm

, 2)^ ,

• > La funzione

"nor" (^) mi colcola la nora

d

= (^) mond

mormt/norm (b ,

1. (^) ; del vettore" "^ e (^) accanto ci

end indico il^ tipo di^ nouva .

8 Les (^) esame 20/01/24)

fuction [A

,

d , p,

4 ,

z]

=

my -Fum(n)^

A

= Zeros (M , M)^ ;

for

i = 1im

for j

= 2 :^ m

if

J

< (^) = i

A Ci^

, )^

=

Ali

,

) + i/(i

2 +^ 5

• i) ;

elte Ali

,)^

= Ali ,j)^

log(i

1. (^) :

e

and

ha

e

S = 0 :

d = 0 ;

fore =^ iim

for K^ : 1 :^

K

s (^) = S + (^) Ale ,

K)

;

end

end

d =^ S/m' 2 ;

P

= 0 ;

= (^0) ;

E =^0 ,

già

fatto

· Ax =

,

A

triangolare inferiore,^

Xe RM

Fuction [4,

monu- ,

mone_inf]

=

my-fum

(A

,

x

[m

,

m]

= size (A) ;

p

= lught

(x) ;

if pr

= m

error l'il^ settore^ e^ la^ matrice (^) non hanno^ la^ stessa dimensione

Y

= Zeros (^) (m ,

;

For i^

= 1 : m

for j

= 1 : m

y(i)

=

y(i)

• Ali ; j)

x(j)

end

end

norm -

inf

= (^) max (abs (^) (4)) ;

Mona

= (^0)

fore

= 1 :^

K

nora =^ nova + (r(e)"2)^ ;

end

mona-z

= SqrT(monal

end

10 Fuction

[min A ,

now I]

= my-fun (A)

[m ,

n]

= (^) Size(Al

min A =^ Al

fori

= 1 :^ m

for j

= 1 :^ M

if

Ali

; j)

< minA

min A^

= Ali

; I)

e

e d

end

MONO

= -1 la^

posso

nonalizzare ad un qualunque

numno Co

Forj

= 1 :^ m

S

= (^0)

for

i =^1 : m

s =^ s + abs(A(i

;5))^ ;