Appunti corso di matematica e statistica, Dispense di Statistica

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Appunti del corso

di

Matematica e Statistica

Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Scienze

Nutraceutiche

Appunti del corso

di

matematica e statistica

a.a 2021/

• 1 Algebra lineare..............................................................................................................................................
  • 1.1 I vettori
    • 1.1.1 Vettori del piano
    • Grandezze scalari e grandezze vettoriali
    • Segmenti orientati e vettori.....................................................................................................................
  • 1.1.2 Operazioni con vettori
    • Addizione
    • Sottrazione
    • Moltiplicazione di un vettore per uno scalare
    • Vettori linearmente dipendenti e indipendenti
    • Combinazione lineare di vettori
  • 1.1.3 Vettori in 𝑅𝑛
  • 1.2 Matrici e Determinanti
    • 1.2.1 Matrici
    • Matrici particolari
    • Matrici quadrate
  • 1.2.2 Operazione con le matrici
    • L’addizione e la sottrazione
    • La moltiplicazione di una matrice per un numero reale
    • La moltiplicazione di una matrice riga per una matrice colonna
    • La moltiplicazione di una matrice 𝑚 × 𝑛 per una matrice 𝑛 × 𝑝
    • Le proprietà delle moltiplicazioni
  • 1.2.3 I Determinanti
    • Determinante di una matrice di ordine 3.............................................................................................
    • Regola di Sarrus
    • Determinante di una matrice di ordine n
    • Proprietà dei determinanti
    • Rango
    • Matrice inversa
  • 1.2.4 Sistemi lineari e matrici
  • Teorema di Rouchè-Capelli........................................................................................................................
  • Metodo di riduzione...................................................................................................................................
    • Sistemi di due equazioni in due incognite
    • Metodo risolutivo generale
    • Sistemi di m equazioni in n incognite
• 2 Funzioni elementari
  • 2.1 Grafico di una funzione
    • Classificazione delle funzioni
  • 2.2 Funzione iniettive, suriettive e biunivoche........................................................................................
    • Funzione iniettiva
    • Funzione suriettiva
    • Funzione Biunivoca
  • 2.3 Proprietà delle funzioni
    • 2.3.1 Funzioni crescenti, decrescenti e monotone
  • 2.4 Funzione esponenziale
    • Potenze con esponente intero o razionale
    • Potenze con esponente reale
    • Proprietà delle potenze con esponente reale......................................................................................
  • 2.4 Funzione esponenziale
    • Funzione esponenziale con base e.......................................................................................................
    • Crescita esponenziale
    • 2.4.1Il modello di Malthus
  • 2.5 Funzioni logaritmo
    • Definizione di logaritmo
    • Proprietà dei logaritmi
    • Formula del cambiamento di base
  • 2.6 Funzioni polinomiali di primo e secondo grado
    • 2.6.1 Funzione polinomiale di primo grado
    • 2.6.2 Funzione polinomiale di secondo grado
  • 3 Limiti
    • 3.1 Concetto di limite
  • 3.2 Intervalli e intorni
    • 3.2.1 Intervalli
    • 3.2.2 Intorni di un punto
    • 3.3 Massimi e minimi
  • 4 Derivate
    • 4.1 Derivata di una funzione.................................................................................................................
    • 4.2 Rapporto incrementale....................................................................................................................
  • 5 Statistica
    • 5.1 Introduzione alla statistica..............................................................................................................
  • 5.1.1 Definizioni fondamentali..............................................................................................................
  • 5.2 Indici di posizione e variabilità
  • 5.2.1 Medie di calcolo
  • 5.2.2 Medie di posizione.......................................................................................................................
  • 5.3 Scelta della media
  • 5.4 Indici di variabilità
  • 5.5 Rapporti statistici
  • 5.6 Indici di disperisone
• 6 Probabilità
  • 6.1 Eventi
  • 6.2 Concezione classica della probabilità
  • 6.3 Evento contrario
  • 6.4 Teorema di Bayes
  • 6.5 Concezione statistica della probabilità..........................................................................................
• TABELLA DEI SIMBOLI
• ALFABETO GRECO

equivalenza di x è l’insieme di tutti gli elementi di S che sono in relazione con x. Ogni segmento

orientato è equipollente a infiniti altri segmenti. L’insieme dei segmenti fra loro equipollenti è un

vettore

Possiamo usare più modi per indicare un vettore libero:

• Con una lettera minuscola sormontata da una freccia (𝑎, 𝑏

• Oppure uno dei segmenti orientati della classe (AB

e 𝐺𝐻

no, segmenti orientati equipollenti ( figura1).

Ogni segmento orientato appartenente a una medesima classe di

equivalenza è un particolare rappresentante di quella classe, cioè del

vettore, e si dice vettore applicato. Il primo estremo di un vettore

applicato si chiama punto di applicazione.

Un vettore 𝐴𝐵

è caratterizzato da:

• Il modulo, ossia la misura della lunghezza del segmento AB

rispetto a un’unità prefissata.

Il modulo di un vettore 𝑣 si indica con uno dei seguenti simboli:

• La direzione, cioè la direzione della retta a cui appartiene il segmento;
• Il verso.

Si chiama versore del vettore 𝑣 un vettore di modulo unitario con la stessa

direzione e verso di 𝑣.

Si chiama vettore nullo la classe di equivalenza

dei segmenti con estremi coincidenti. La sua

direzione e il suo verso sono indeterminate. Il

vettore nullo si rappresenta mediante un punto

e si indica con 0

oppure con 0.

Dato un vettore 𝑣 = 𝐴𝐵

, si chiama vettore opposto di 𝑣 , e si

indica con −𝑣 , il vettore avente lo stesso modulo e la stessa

direzione ma verso opposto di 𝑣 , cioè la classe di equivalenza

del segmento orientato 𝐵𝐴

DEFINIZIONE

Si chiama vettore libero, o semplicemente vettore , ogni classe di equivalenza relativa alla relazione di

equipollenza fra segmenti orientati.

Figura 1 : i quattro segmenti (AB,

CD, EF e GH) sono equipollenti tra

loro.

Esempio di versore di un

vettore v

1.1.2 Operazioni con vettori

Addizione

Dati due vettori 𝑢⃗ e 𝑣 , la loro somma 𝑠 = 𝑢⃗ + 𝑣 è un vettore che si ottiene nel modo descritto di

seguito: rappresentiamo 𝑢⃗ con il segmento 𝐴𝐵

e 𝑣 con il segmento 𝐵𝐶

consecutivo al primo (cioè la

«coda» del secondo coincide con la «punta» del primo).

• Se i vettori u⃗ e 𝑣 hanno la stessa direzione e verso (figura a), il vettore somma 𝑠 ha la stessa

direzione e lo stesso verso di 𝑢⃗ e 𝑣 e modulo uguale alla somma dei moduli:

• Se i vettori 𝑢⃗ e 𝑣 hanno la stessa direzione ma verso opposto (figura b), il vettore somma 𝑠 ha

la stessa direzione di 𝑢⃗ e 𝑣 , verso uguale a quello del vettore con modulo maggiore e modulo

pari alla differenza dei moduli:

se

• Se i vettori 𝑢⃗ e 𝑣 hanno direzioni diverse (figura c), il vettore somma 𝑠 è rappresentato dal

segmento 𝐴𝐶

che ha lunghezza e direzione del terzo lato del triangolo individuato dai vettori

𝑢⃗ e 𝑣 (regola del triangolo):

È equivalente considerare il vettore somma 𝑠 come la diagonale 𝐴𝐶

del parallelogramma determinato

dai due rappresentanti 𝐴𝐵

di 𝑢⃗ e 𝐴𝐷

di 𝑣 ⃗⃗ applicati entrambi in A (regola del parallelogramma) (figura

d).

DEFINIZONE

Il vettore somma 𝑠 di due vettori 𝑢⃗ e 𝑣 è rappresentato

da un segmento orientato che si ottiene raffigurando

consecutivamente i vettori dati e considerando come

primo estremo il primo estremo di 𝑢⃗ e come secondo il

secondo estremo di 𝑣.

In generale vale la seguente definizione.

L’operazione che ha come risultato questo prodotto viene detta moltiplicazione di un vettore per uno

scalare. Essa gode delle seguenti proprietà:

• Proprietà distributiva rispetto all’addizione dei numeri reali:

(𝑘 + 𝑝) ∙ 𝑣 = k ∙ 𝑣 + p ∙ 𝑣 , ∀𝑘, p ∈ 𝑅 e ∀ 𝑣 ∈ 𝑉 ;

• Proprietà distributiva rispetto all’addizione dei vettori:

• Proprietà associativa mista:

k ∙ (𝑝 ∙ 𝑣 ) = (𝑘𝑝) ∙ 𝑣, ∀𝑘, p ∈ 𝑅 e ∀ 𝑣 ∈ 𝑉;

• il numero 1 è l’elemento neutro:

Vettori linearmente dipendenti e indipendenti

Combinazione lineare di vettori

Consideriamo i vettori v 1

2

3

della figura a e i numeri 2 , 3 , −

1

2

, determiniamo il risultato (figura b)

della seguente espressione:

1

2

1

2

3

DEFINIZONE

Dato un vettore 𝑣 e un numero reale 𝑘 , si chiama prodotto di 𝑘 per 𝑣 il vettore 𝐾 ∙ 𝑣 che ha la

stessa direzione di 𝑣 , modulo uguale al prodotto del valore assoluto di 𝑘 per il modulo di 𝑣 e lo

stesso verso di 𝑣 se 𝑘 > 0 , verso opposto se 𝑘 < 0_._

Il vettore 𝑣 ottenuto è detto combinazione lineare dei vettori 𝑣 1

2

3

di coefficienti 2 , 3 , −

1

2

Cambiando la terna di numeri lineari o i loro ordine, otteniamo differenti combinazioni lineari dei

vettori dati.

In generale, diamo la seguente definizione.

Una combinazione lineare di vettori con coefficienti tutti nulli ha per risultato il vettore nullo.

Si può ottenere il vettore nullo anche se i coefficienti non sono tutti nulli.

Per esempio, con i vettori considerati prima, scegliendo i coefficienti

1

3

, otteniamo il vettore nullo

In questo caso i vettori 𝑣 1

2

3

, si dicono linearmente dipendenti.

In generale, diamo la seguente definizione.

Consideriamo ora due vettori del piano 𝑣 1

e 𝑣

2

non paralleli (figura a).

Qualsiasi combinazione lineare 𝑐

1

1

2

2

dei due vettori con coefficienti non tutti nulli è sempre

diversa del vettore nullo, perché la somma di 𝑐

1

1

e 𝑐

2

2

al variare di 𝑐

1

e 𝑐

2

è sempre rappresentata

dalla diagonale del parallelogramma formato da due vettori.

DEFINIZONE

Si dice che il vettore 𝑣 è combinazione lineare dei vettori 𝑣

1

2

𝑛

non tutti nulli, se

risulta:

1

1

2

2

𝑛

𝑛

dove i coefficienti 𝑐

1

2

𝑛

sono numeri reali.

DEFINIZIONE

I vettori 𝑣

1

2

𝑛

sono linearmente dipendenti se esistono n numeri reali 𝑐

1

2

𝑛

non tutti nulli tali che:

1

1

2

2

𝑛

𝑛

Matrici particolari

Matrice nulla

DEFINZIONE: Una matrice è detta nulla se tutti i suoi elementi sono uguali a 0 (la matrice nulla di

indica con O o 𝑂

𝑛𝑚

per precisare il numero di righe e di colonne).

[

]

Matrice riga

DEFINIZIONE: Una matrice formata da una sola riga si chiama matrice riga o vettore riga.

[ 1 3 − 2 4 ]

Matrice colonna

DEFINIZIONE: Una matrice formata da una sola colonna è detta matrice colonna o vettore colonna.

[

]

Matrici quadrate

Una generica matrice quadrata n × 𝑛 viene indicata nel modo seguente

[

11

12

13

1 𝑛

21

22

23

2 𝑛

31

32

33

3 𝑛

𝑛 1

𝑛 2

𝑛 3

𝑛𝑛

]

(𝑛 è 𝑖𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖 𝑟𝑖𝑔ℎ𝑒 𝑒 𝑑𝑖 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑛𝑛𝑒)

La diagonale principale è formata da tutti gli elementi che si trovano sulla

diagonale

di estremi 𝑎 11

𝑛𝑛

. Di conseguenza, tali elementi hanno i due indici uguali

fra loro (𝑎

11

22

33

La diagonale secondaria è formata da tutti gli elementi che si trovano sulla

diagonale

di estremi 𝑎

1 𝑛

e 𝑎

𝑛 1

. Di conseguenza, tali elementi hanno i due indici che

sommati danno sempre n + 1.

Esempio di

una matrice

nulla

Esempio di matrice

riga (vettore riga)

Esempio di matrice colonna

(vettore colonna)

• Abbiamo già visto

che una matrice è

quadrata quando il

numero di righe è

uguale al numero di

colonne.

DEFINIZONE

Ordine di una matrice quadrata

Si chiama ordine di una matrice quadrata il numero delle sue righe (o delle

colonne).

• La matrice di prima

era di ordine n

Figura 1 la diagonale

principale e la diagonale

secondaria di una matrice

La matrice identità di ordine n si indica con il simbolo 𝐼

𝑛

1.2.2 Operazione con le matrici

L’addizione e la sottrazione

La differenza di due matrici si può definire come somma della prima matrice con l’opposta della

seconda:

A − B = A + (−𝐵)

Poiché il risultato di un’addizione fra matrici dello stesso tipo è ancora una matrice dello stesso tipo,

l’addizione è un’operazione interna nell’insieme delle matrici dello stesso tipo.

Le proprietà dell’addizione

• proprietà associativa:

+ C = A +

• proprietà commutativa: A + B = B + A
• ammette come elemento neutro la matrice nulla dello stesso tipo: A + 0 = 0 + A = 0

per ogni matrice A

• matrice opposta: A +

+ A = Z (Z è l’elemento neutro)

• trasporto della somma:

′

′

′

Matrice identità

DEFINZIONE

Una matrice quadrata si dice identica (o matrice unità) quando gli elementi

della diagonale principale sono tutti uguali a 1 e gli altri elementi sono nulli.

ESEMPIO

La seguente matrice di ordine 3 è identica: 𝐼

3

= [

]

DEFINZIONE :

La somma di due matrici A e B dello stesso tipo è una terza matrice A + B dello stesso tipo i cui elementi

sono la somma degli elementi corrispondenti delle due matrici.

[

] + [

′

′

′

′

′

′

] = [

′

′

′

′

′

′

]

Se A e B sono due matrici qualsiasi, è possibile eseguire i prodotti A ∙ 𝐵 e B ∙ 𝐴 se e

solo se A è di tipo m × 𝑛 e B di tipo n × 𝑚. La condizione è verificata se, in

particolare, A e B sono matrici quadrate dello stesso ordine. Inoltre, una matrice può

moltiplicare se stessa soltanto se è quadrata.

ESEMPIO

Calcoliamo il prodotto fra una matrice 2 × 3 e una matrice 3 × 4. Scriviamo la matrice prodotto 2 × 4 con gli

elementi generici:

Determiniamo gli elementi della prima riga della matrice prodotto, moltiplicando la prima riga della prima

matrice per tutte le colonne della seconda matrice.

Calcoliamo 𝑎

11

:

Quindi 𝑎

11

= 2. Analogamente, si ottiene: 𝑎

12

= 1 , 𝑎

13

= 4 e 𝑎

14

= 3. Gli elementi della prima riga della matrice

prodotto sono: 2, 1, 4, 3. Determiniamo gli elementi della seconda riga della matrice prodotto, moltiplicando la

seconda riga della prima matrice per tutte le colonne della seconda matrice. Calcoliamo 𝑎

21

:

Quindi 𝑎

21

= − 11. Analogamente: 𝑎

22

= 5 , 𝑎

23

= − 17 e 𝑎

24

= 5. Gli elementi della

seconda riga sono: - 11, 5, - 17, 5. Possiamo scrivere:

• Applicando la

definizione di

prodotto di

matrici,

possiamo anche

calcolare la

potenza n -

esima di una

matrice

quadrata che

definiamo:

𝑛

𝑝𝑒𝑟 𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒

con 𝑛 ≥ 2

Le proprietà delle moltiplicazioni

In generale, la moltiplicazione fra matrici quadrate non è commutativa (A ∙

Enunciamo le proprietà di cui gode la moltiplicazione fra matrici:

• Proprietà associativa:

• proprietà distributiva (a sinistra e a destra) della moltiplicazione

rispetto all’addizione:

A ∙ (𝐵 + 𝐶) = A ∙ 𝐵 + A ∙ 𝐶; (𝐴 + 𝐵) ∙ 𝐶 = A ∙ 𝐶 + B ∙ 𝐶

Vale anche la proprietà distributiva della moltiplicazione di un numero rispetto all’addizione di matrici:

α ∙ (𝐴 + 𝐵) = α ∙ 𝐴 + α ∙ 𝐵 α ∈ 𝑅

Inoltre, se A e B sono matrici quadrate di ordine n:

• la moltiplicazione per la matrice nulla ha per prodotto la matrice nulla:

A ∙ 0 = 0 ∙ 𝐴 = 0

• la moltiplicazione per la matrice identità ha per prodotto la matrice stessa:

A ∙ 𝐼

𝑛

𝑛

∙ 𝐴 = A

quindi la matrice identica di ordine n, In, è l’elemento neutro della moltiplicazione fra matrici quadrate

di ordine n;

Non vale la legge di annullamento del prodotto. Infatti, la matrice prodotto A ∙ 𝐵 può essere la matrice

nulla O senza che siano nulle le matrici A e B.

Non vale la legge di cancellazione, ossia si può verificare che dà A ∙ B = A ∙ C non segua

necessariamente che B = C.

1.2.3 I Determinanti

A ogni matrice quadrata viene associato un numero reale, detto determinante

della matrice. Per indicare il determinante di una matrice si può scrivere «det»

davanti alla matrice, oppure scrivere gli stessi elementi della matrice,

delimitati da due righe verticali.

Prima di definire il determinante di una generica matrice n × 𝑛, prendiamo in esame i determinanti

delle matrici del primo, secondo e terzo ordine.

• Se 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴, allora

𝐴 e 𝐵si dicono

commutabili. Per

esempio, puoi verificare

che le matrici 𝐴 =

[

] e 𝐵 = [

]

sono commutabili

• Il determinante si

definisce solo per le

matrici quadrate

ESEMPIO

[

]

[

]

11

è detto complemento algebrico di 𝑎

11

12

21

23

31

33

12

è detto complemento algebrico di 𝑎

12

Osserva che il segno + o il segno - viene attribuito a seconda che l’elemento 𝑎 𝑖𝑗

sia di classe pari o

dispari. Definiamo allora per un elemento qualsiasi 𝑎

𝑖𝑗

il complemento algebrico nel modo seguente.

Si può dimostrare che la somma dei prodotti degli elementi di una riga (o colonna) per i rispettivi

complementi algebrici non dipende dalla riga (o colonna) considerata.

Regola di Sarrus

È possibile calcolare il determinante di una matrice del terzo ordine in un altro modo, facendo uso

della regola di Sarrus.

La regola di Sarrus è valida solo per calcolare i determinanti del terzo ordine.

Ripetiamo ora il procedimento per un elemento di classe dispari, per

esempio 𝑎

12

. In corrispondenza dell’elemento, sopprimiamo la prima riga e la

seconda colonna della matrice A.

DEFINIZIONE

Il complemento algebrico di un elemento 𝑎

𝑖𝑗

di una matrice A di ordine 3 è il determinante della

matrice di ordine 2 ottenuta da A sopprimendo la riga e la colonna cui l’elemento appartiene,

preceduto dal segno + o dal segno - a seconda che 𝑎

𝑖𝑗

sia di classe pari o dispari.

TEOREMA

Il determinante di una matrice del terzo ordine è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di

una qualunque riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici.

[

11

12

13

21

22

23

31

32

33

]

11

11

12

12

13

13

ESEMPIO

Calcoliamo il seguente determinante del terzo ordine. Per calcolare il determinante consideriamo gli

elementi della prima riga. Otterremmo lo stesso risultato partendo da qualunque riga o colonna.

In generale, per una matrice di ordine 3 qualsiasi A = [𝑎 𝑖𝑗

], con 1 ≤ 𝑖, j ≤ 3 , possiamo ricavare la

regola di Sarrus dal seguente schema:

e quindi ottenere:

11

12

13

21

22

23

31

32

33

11

12

13

12

23

31

13

21

32

13

22

31

11

23

32

12

21

33

Determinante di una matrice di ordine n

Se si esclude la regola di Sarrus, le definizioni e le regole date per calcolare un determinante del terzo

ordine possono essere estese anche a determinanti di ordine superiore al terzo.

Il calcolo del determinante di una matrice di ordine n, sviluppato rispetto agli elementi della prima

riga, è il seguente:

ESEMPIO

Calcoliamo il determinante dell’esempio precedente servendoci della regola di Sarrus, come illustrato nella

figura sotto.

DEFINIZIONE

Il determinante di una matrice di ordine n è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una

qualunque riga (o colonna) per i rispettivi complementi algebrici.