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Fisica e statistica

Docente: Ines Delfino

Testi: Taylor “introduzione all'analisi dell'errore + libro di fisica

Il Processo di misura

Il processo di misura è un procedimento sistematico che permette di quantificare le grandezze fisiche associate a un fenomeno. Ecco i passaggi chiave:

1. Individuare e definire il fenomeno da studiare: Comprendere il fenomeno e identificare le grandezze fisiche rilevanti.
2. Ricavare un valore: Utilizzare strumenti di misura per ottenere dati QUANTITATIVI.
3. Elaborare e confrontare i dati: Analizzare i dati ottenuti e confrontarli con altri dati aventi la stessa unità di misura e ricavati con lo stesso strumento.
4. Formulare e verificare leggi: Utilizzare i dati per formulare o verificare LEGGI FISICHE o modelli.

Affinché il processo di misura funzioni, è assolutamente necessario che le grandezze di misura siano:

• CONFRONTABILI : I dati devono poter essere paragonati tra loro.
• IMMUTABILI: Le condizioni di misura non devono cambiare.
• FACILMENTE RIPETIBILI: La misura deve essere semplice da ripetere.

Dunque, i dati devono essere al passo con le necessità, la tecnologia e i punti di riferimento del tempo. L’oggetto da misurare deve essere facilmente reperibile.

Misurare

Misurare significa descrivere in maniera quantitativa un oggetto, utilizzando il giusto strumento e unità di misura. Descrivere un processo di misura consiste anche nel:

• Conoscere il migliore strumento per misurare quell’oggetto.
• Descrivere come si utilizza.
• Ricavare il dato.
• Esprimere il dato con la giusta unità di misura.

Tipi di misure

• Dirette: Misure che si ottengono direttamente dal fenomeno.
• Indirette: Misure che si ottengono a partire da altre grandezze fondamentali.

Le potenze di 10 ci aiutano ad analizzare l'ordine di grandezza delle grandezze di interesse che abbiamo.

METRO Nel 1983, il metro fu definito come la lunghezza che la luce percorre nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299792458 secondi.

MASSA L'unità di misura è il chilogrammo (kg)

TEMPO L'unità di misura è il secondo (s)

Ripetere una misura

Per ripetere una misura è necessario prima

• Studiare il fenomeno.
• Conoscere i possibili fattori che potrebbero influenzare la misura

Scrittura delle misure

Le misure effettuate vengono scritte esplicitando l’incertezza, cioè la soglia dello strumento, indicando quindi l’intervallo in cui la misura reale si trova. Ciò viene indicato con la seguente formula:

Xbest ± ΔX

Che indica che il valore reale è compreso tra: ○ Xbest − ΔX (Valore ottenuto - valore minimo letto dallo strumento) ○ Xbest + ΔX (Valore ottenuto + valore minimo letto dallo strumento)

Il nostro valore quindi è compreso tra:

Xbest − ΔX < valore < Xbest + ΔX

Esempio: Una matita è lunga 122 mm. Solo scrivere ciò è un errore. ○ L= 122±1 mm

Dunque il valore vero è compreso tra 121 e 123:

121<valore reale<

Questo metodo di rappresentazione appartiene a un ERRORE ASSOLUTO: Un modo di dare informazione circa l’incertezza sperimentale.

Un ERRORE RELATIVO è un altro modo per esprimere l’incertezza ed è indicato con:

Dunque è un valore frazionario che può essere espresso anche in percentuale, dunque è adimensionale.

Per trovare l'errore assoluto, dobbiamo moltiplicare l'errore relativo per X Best

Comunque un errore sia scritto, deve essere strettamente maggiore di 0 ..

L’incertezza è contenuta nelle cifre significative tramite le quali è possibile esplicitare la soglia dello strumento.

Esempio:

• 1,7 m con un errore di 0,1 m
• 1,70 m con un errore di 0,01 m

Sono 2 misure diverse perché hanno intervalli molto diversi poiché prese con strumenti differenti, le quali possiedono diversi errore relativo:

• Nel primo caso abbiamo un errore del 6%
• Nel secondo caso del 1%, dunque è più precisa.

Gli errori di diverse misure si sommano sempre , non è possibile annullarli. Dunque, per evitare di aumentare di tanto l’errore relativo, cerco di prendere misure che tra loro sono il più comparabili possibile, le più precise possibile

Tipi di errore

I tipi di errori sono 3:

**- Massimo

• Statistici o casuali
• Sistematici**

ERRORE MASSIMO

È quello legato alla sensibilità dello strumento. Per avere una stima dell’incertezza si usa questa regola: Incertezza = sensibilità Errore massimo = sensibilità Si ha quando le misure sono tutte uguali

ERRORE STATISTICO O CASUALE

Nel caso in cui la variazione tra più misure effettuate è molto più grande della sensibilità. Si ha quando le misure NON sono tutte uguali.

Esempio pratico:

• Prendo 10 misure.
• Queste misure hanno un range di variazione che va da 13,0 a 13,6 cm.
• Una variazione di 6 è maggiore della sensibilità dello strumento che è 0,1 cm.

Si utilizzano metodi statistici per cercare il valore medio (media delle misure).

Si effettua la deviazione standard: Il calcolo delle deviazioni ci permette di vedere quanta differenza c'è tra il valore medio e il valore di quella misura. Sommo le deviazioni (valore medio - valori misurati) al quadrato e faccio la media. Il risultato che ottengo lo metto sotto radice e ottengo l ’incertezza , cioè l’errore assoluto. Chiamata DEVIAZIONE STANDARD o DEVIAZIONE QUADRATICA MEDIA.

si capisce il tipo di errore a cui siamo davanti facendo più MISURAZIONI.

ERRORE SISTEMATICO

L’errore sistematico intende dire che sistematicamente è stato fatto un errore , il risultato della misura è stato o sottostimato o sovrastimato.

Tacc = tempo di accensione

K 1 2 3 4 5 6 7 8

Tacc 1.75 1.92 2.62 2.35 3.09 3.15 2.53 1.

• Qual è la sensibilità dello strumento di misura? 1 centesimo di secondo ( 0.01 sec)

La misura che stiamo scrivendo è molto più grande della sensibilità dello strumento che stiamo utilizzando.

• Dobbiamo chiederci : è veramente una misura ripetuta? nel frattempo che ho preso le varie misure qualcosa può essere cambiato

Dobbiamo calcolare la media:

2,41 è il valore medio tra tutte le misurazioni

Somma di tutti i risultati : 2.0026 s^2

Le cifre significative

Sono cifre significative:

• Tutti i numeri diversi da 0
• tutti gli 0 che seguono i numeri diversi da 0

● REGOLA PER SCRIVERE L’ERRORE: nelle misure di laboratori didattico gli errori possono essere scritti con 1 o 2 cifre significative massimo.

● REGOLA PER SCRIVERE I RISULTATI : L’ultima cifra significativa di qualunque risultato deve essere dello stesso ordine di grandezza dell’errore.

Gli errori devono essere scritti di norma con 1 cifra significativa, se la prima cifra significativa è 1 o 2 allora può essere meglio tenere 2 cifre significative.

• es. 1 cifra significativa = 0.5 (troncamento)

Tutti i numeri usati in calcoli dovranno essere normalmente tenuti con una cifra significativa in più rispetto al risultato finale, ma nella risposta finale bisogna fare il troncamento o un arrotondamento (per eccesso nel caso in cui la cifra che segue è maggiore di 5 , o per difetto nel caso in cui è minore di 5 )

L'incertezza in qualunque grandezza misurata ha le stesse dimensioni della grandezza misurata, è quindi opportuno scrivere l'unità di misura (m/s, cm) sia dopo il risultato sia dopo l'incertezza. Se il numero misurato è molto grande o molto piccolo ed è espresso in notazione scientifica, dobbiamo porre l'incertezza alla stessa forma.

Es. G= 12543,57 G= 12543,6 土 2,4 G = 12544 土 2 ∆G = 2,

Esempi

Scrivi in modo corretto i risultati (j taylor introduzione all’analisi degli errori ) A. h = ( 5,03 土 0,04 ) m B. t = (19 土 1) s C. q = ( - 3,21 ⋅ 1019 土 0,267 ⋅ 10 -19^ ) C - (- 3,21 土 0,27 ) ⋅ 1019 C D. λ = ( 563 ⋅ 10 -9^ 土 7 ⋅ 10 -8^ ) m = ( 56,3 + 7) 10-8^ m E. p = ( 326,7⋅ 10 土 4,2 ⋅ 10 ) gm. cm /sec = (327 土 42 ) gm. cm /sec

Tipi di errore:

• ERRORE MASSIMO o di lettura
• ERRORE STATISTICO o casuale
• ERRORI SISTEMATICI

La proiezione di un modello è un'azione limitativa che non va fatta, perché immaginando già il risultato di un esperimento, ci precludiamo delle possibili soluzioni.

Prendere una misura significa ripetere la stessa operazione varie volte e confrontare le varie misure che abbiamo preso durante il protocollo. Se ottengo risultati tutti uguali, non vuol dire che quello è il risultato veritiero perchè comunque dovrò dare un incertezza che è data dalla sensibilità dello strumento → ERRORE MASSIMO

La miglior stima per la differenza tra (q - p) sarà qbest - pbest, mentre l'errore sarà dato da la somma deli errori (Δq + Δp)

p-q = -0,07 +- 0,09 kg • m/s

Se le grandezze x e y sono misurate con le incertezze Δx e Δy, nel momento in cui calcoliamo la differenza tra x e y, allora l'incertezza sarà data dalla somma delle incertezze.

MOLTIPLICAZIONE DI DUE MISURE Se vogliamo calcolare p= m • v, avendo misurato prima m e v, la miglior stima di p è = mbest • vbest e l'incertezza RELATIVA su p è la somma delle incertezze relative su m e su v. Una volta ricavato l'errore relativo su p esso andrà moltiplicato per il valore di p e in questo modo avremo ricavato l'errore assoluto.

SOMMA IN QUADRATURA

Se le incertezze originarie sono INDIPENDENTI E CASUALI , allora una stima più realistica, rispetto alla somma delle incertezze, è data dalla somma in quadratura. Questo perché se a e b sono misurati indipendentemente e i nostri errori sono casuali per natura, allora vi è un 50% di probabilità che facendo una normale somma delle incertezze essa venga o sottostimata o sovrastimata, la somma in quadratura ci permette di calcolare un’incertezza più piccola e precisa.

Quindi se ho 2 numeri a e b posso porre: a^2 + b^2 e poi fare la radice, otterrò un risultato più piccolo della somma semplice La SOMMA IN QUADRATURA da un risultato sempre più piccolo della somma semplice, si utilizza nel caso di errori casuali. Se la grandezza è q dobbiamo fare:

REGOLA DELLA RADICE QUADRATA PER UN ESPERIMENTO DI CONTEGGIO

Alcuni esperimenti implicano il conteggio di eventi che si presentano casualmente, ad esempio:

Un ricercatore misura la media delle nascite in un ospedale in un tempo di due settimane, nell'arco di questo periodo rileva 14 nascite, ovviamente questo numero è necessariamente effetto da errore e per trovarlo dobbiamo fare la radice quadrata del numero conteggiato.

Perciò essa sarà:

PRODOTTO DI UNA GRANDEZZA MISURATA PER UN NUMERO ESATTO

Se l'incertezza x è misurata con l'incertezza Δx ed è utilizzata per calcolare il prodotto: q= Bx Dove B non ha incertezza, allora l'incertezza in q si ricava facendo modulo di B per l'incertezza Δx

NELLE POTENZE

Se la grandezza x è misurata con l'incertezza Δx, e il valore misurato è utilizzato per calcolare la potenza q= x^2 allora l'incertezza relativa in q è n volte quella in x

ISTOGRAMMI E DISTRIBUZIONI

Dovrebbe essere chiaro che una seria analisi statistica di un esperimento ci richiede di fare molte misure. Il metodo più adeguato per ordinare un DATASET (insieme di misurazioni), è:

• ordinarlo in modo crescente
• registrare i valori in una tabella che tiene conto anche della frequenza con la quale si ripresentano. La distribuzione delle nostre misure può essere evidenziata da un istogramma. Per accertarsi che tutte le misure siano corrette, è necessario scartare le misurazioni che presentino andamenti particolari.

Prima di fare l'istogramma è necessario svolgere la SOMMA PESATA delle misure

LA SOMMA PESATA

È una media che si dimostra più conveniente da svolgere quando abbiamo un grosso numero di misurazioni da confrontare. Equivale a moltiplicare ogni valore per la sua frequenza (numero di volte in cui si presenta) per poi sommare tutto e dividere il risultato per N-1 (numero di misurazioni meno 1)

Se nk è il numero di volte in cui si presenta ogni misura, facendo la somma di tutti gli nk otterremo N, il numero di misurazioni complessive.

Se noi a questo punto dividiamo nk per N otteniamo la FREQUENZA Fk, essa specifica la distribuzione dei nostri risultati dal momento che descrive come le nostre misure sono distribuite fra i diversi valori. La sommatoria di tutte le funzioni Fk Dovrà fare necessariamente 1.

In termini della frazione Fk possiamo scrivere la formula della somma pesata come:

Esempio: abbiamo un DATASET di 10 valori p:

Li ordiniamo in una tabella che tenga conto della loro frequenza:

E facciamo la somma (o media) pesata usando la formula contratta:

Se sommiamo le frazioni Fk per tutti i possibili risultati di x dobbiamo ottenere 1. Qualunque insieme di numeri la cui somma è 1 è detta NORMALIZZATO.

Dopo di che si ricorre alla creazione di un istogramma

Vogliamo vedere, a partire dal numero di occorrenze quante volte ho ottenuto quel valore. Immaginiamo di voler rappresentare l'Fk di queste misure, mettendo per ogni misura una barra corrispondente all’ Fk, ne esce fuori un ISTOGRAMMA A BARRE, perchè per ogni valore c'è una barretta corrispondente al valore di FK. Notiamo che i valori più frequenti sono 24-25-26.

Da questo grafico non si evince il numero di misure fatte , per questo motivo va specificato in basso.

Questo genere di istogramma risulta appropriato quando i valori sono valori interi. Se cambiamo strumento e facciamo sempre le stesse misure ripetute, ma nell'ordine del millimetro troviamo:

La cosa migliore da fare è dividere la serie di valori in un numero conveniente di intervalli e di constatare quanti valori cadono in ciascun intervallo:

Questi dati poi messi in un grafico daranno origine ad un istogramma a intervalli

Se abbiamo un numero molto grande di misure, che tende quasi a infinito, sarebbe quasi impossibile ordinare calcolare la media e riporle in un istogramma, per risparmiare tempo per calcolare la media attesa facciamo:

e analogamente calcoleremo la deviazione standard facendo:

Misure di tendenza centrale

LA MEDIA → è la somma di tutti i valori diviso numero di prove fatte. Tutte le grandezze che calcoliamo sono GRANDEZZE CAMPIONARIE. PROPRIETÀ DELLA MEDIA:

• tiene conto di tutti i valori
• risente molto dei valori estremi, perciò se otteniamo dei valori tanto fuori scala sarebbe meglio non calcolarli
• ci aiuta a capire meglio dove si colloca il nostro dataset

È la miglior stima di un serie di valori.

LA MEDIANA → è il valore centrale di una serie di dati ordinati, se i dati sono dispari si procede facendo la media tra i due valori centrali PROPRIETÀ DELLA MEDIANA:

• non tiene peso del numero in cui si presentano i valori
• non risente dei valori estremi LA MODA → valore di un dataset che è stato visto più volte e quindi è di tendenza. PROPRIETÀ DELLA MODA:
• non tiene conto degli altri valori
• non esiste nessun modo di rappresentare l'intero dataset
• si trova subito non necessita di calcoli

moda: 2 mediana: 3 media: 5.

IL RANGE → rappresenta il valore minimo e valore massimo LA DISTANZA INTERQUARTILE → prendo una metà che divido a metà e ottengo dei quarti, la distanza tra un quartile e l’altro è la distanza interquartile

La moda non si applica nel caso in cui ci siano tutte misure diverse

RAPPRESENTAZIONE DELLA SCATOLA BAFFI

Questo diagramma a boxe è il modo più completo di rappresentare un dataset in maniera compattissima. È fatta utilizzando la mediana. la boxe rappresenta la mediana , il puntino la media. Primo e terzo quartile, range (+ a volte valori estremi, cioè valori a una distanza dalla scatola superiore a 1.5 volte la distanza interquartile)

Per costruire un box-plot dobbiamo:

• Calcolare il primo quartile
• Trovare il valore minimo
• Calcolare la mediana
• Trovare il valore massimo
• Calcolare il terzo quartile

LA PROBABILITÀ

L'unico modo per avere una proiezione sulla probabilità che uscirà un valore, piuttosto che un'altro in una misurazione, dipende dalle frequenze con cui si presentano queste misurazioni.

• Definizione in base alla frequenza relativa: fatti degli esperimenti, si calcola la frequenza relativa (numero di occorrenze diviso numero di prove), per avere la probabilità vera dovremmo fare il limite di n che tende a infinito del numero a diviso il numero di occorrenze.
• Definizione classica: nel caso del dado o delle monete gli eventi elementari sono noti, la probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti equiprobabili.

Lancio di 2 dadi:

• l’uscita di una faccia su un lato e l’uscita di una faccia sull’altro lato sono 2 eventi indipendenti
• la probabilità di uscita di una faccia è ⅙
• la probabilità della contemporanea occorrenza di eventi è moltiplicare la probabilità di ciascun caso

Immaginiamo la frequenza relativa alle occorrenze come quella che ci sembra la migliore approssimazione possibile alla probabilità: Possiamo trovare differenti tipi di ISTOGRAMMI che ci mostrano differenti distribuzioni di valori

• Uniforme
• A campana
• Asimmetrica
• Bimodale

Sotto abbiamo lo stesso dataset rappresentato in maniera diversa. Abbiamo 228 misure, vi è riportata la frequenza assoluta.

- Grafico 3: Ci sono 5 intervalli per 288 misure, essendo che il numero è grande sarebbe meglio ridurre la dimensione degli intervalli - Grafico 2: è stata dimezzata la larghezza dell’intervallo - Grafico 1: il più preciso, la larghezza dell’intervallo è stata dimezzata ulteriormente

Le variabili continue

○ Questo è un istogramma con dimensione del pallino FINITO ○ La curva che noi stiamo cercando è una curva CONTINUA

Si possono avere casi di:

• variabili discrete in un intervallo finito
• variabili discrete in un intervallo infinito
• variabili continue in un intervallo finito
• variabili continue in un intervallo infinito

Nel caso di variabili continue significa ridurre l’intervallo piccolo a piacere. Ma al valore non posso associare una probabilità: se ad ogni numero reale associo una probabilità, una somma di numeri infiniti positivi è sicuramente infinita. Non si può associare ad ogni valore di x una probabilità (perché sarebbe 0)

= p( Xj ) Δ𝑋 0

lim →

𝑃(𝑋𝑗Δ𝑋) Δ𝑋

La funzione p(Xj) è chiamata densità di probabilità