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MATEMATICA DISCRETA E PROBABILITA’
Prodotto Cartesiano
alcune proprietà:
A x B x C = { (a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C }
|A x B x C| = |A| * |B| * |C|
A
n
= {(a 1, a 2,…,a n) : a 1
∈ A}
|A
n
| = |A|
n
Insieme delle parti
P(s) = insieme delle parti (sottoinsiemi)
Corrispondenza biunivoca
P({1,2,3}) e sequenza Bin {0,1}
3
- (il tre si riferisce al numero di elementi dell’insieme delle parti)
Es. Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {1,3}, {1,2,3} (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,1), (1,1,0), (1,0,1)
Proposizione
Se S è un insieme con ne elementi allora |P(s)| = 2
n
Dimostrazione
É la stessa del caso con n=3 * si stabilisci una biiezione tra P(s) e {0,1}
n
Principi fondamentali
Se A B allora |A| = |B| ( = corrispondenza biunivoca)
A, B, C = insiemi disgiunti allora |A U B U C| = |A| + |B| + |C|
|A x B| = |A| * |B|
Prodotti condizionati
C ⊆ A x B
- La prima coordinata di un elemento di C può essere scelta in n modi
- Una volta fissata la prima coordinata di C la seconda può essere scelta in m modi
Perciò diciamo che C è un prodotto condizionato di tipo (n, m)
Es. A = {1, …, 10} B = {1,…,15} C = {(x, x) ∈ A x B}
La prima coordinata la posso scegliere in 10 modi La seconda coordinata la posso scegliere in 1 modo
Perciò C è un prodotto condizionato del tipo (10, 1) |C| = 10 C = {(1,1), (2,2)……(10,10)}
In generale se C è prodotto condizionato del tipo (n, m) |C| = nm*
Invece se C non è un prodotto condizionato?
Es. A = {1,…,10}
C = {(x, y) : x – y = ± 1}
- La prima coordinata posso sceglierla in 10 modi
- Nella seconda coordinata il numero di scelte è variabile (dipende dalla prima)
Altri tipi di prodotto cartesiano
A
1, A2,…., Ak
C ⊆ A
1
x A 2
x….x A k
Diciamo che C è un prodotto condizionato del tipo (n 1, n2, …, nk)
- n 1
scelte per la prima coordinata
- Fissata la prima coordinata ho n 2
scelte per la seconda
k. Fissate le prime k-1 coordinate ho n k
scelte per k-esima coordinata
|C| = n 1n 2*
*** …·n k*
Disposizioni e Permutazioni
Definizione
Una disposizione di lunghezza k in {1, 2, …, n} è una sequenza (a 1, a 2,…,a k) dove ai {1,…,n}
∀i = 1,…,k e
ai ≠ aj per i ≠ j
Le disposizioni di lunghezza k in {1,2,…,n} formano un prodotto condizionate di tipo (n, n-1,..,n-k+1) e
quindi sono n*(n-1) … (n-k+1) = (n) k
(fattoriale discendete)
Dimostrazione
n scelte per la prima coordinata
n-1 scelte per la seconda coordinata
n-2 scelte per la terza coordinata
n-k+1 scelte per la k-esima coordinata
Proposizione
Una disposizione di lunghezza n in {1,2, …,n} si dice permutazione. Le permutazioni di lunghezza n sono
(n) n
= n*(n-1) *(n-n+1) = n!
Es. n = 3 6 permutazioni = 3!
n = 4 24 permutazioni = 4!
Un anagramma è una permutazione senza ripetizioni
Es. Qual è l’anagramma della parola “PAROLA” (considero che la “A” si ripete due volte)
Totale permutazioni = 6! = 720 ma la A è doppia, perciò, il risultato è la metà 6!/2 = 360
Combinazioni di tipo (a,b)
Es. (4,5) e 01001011 {1,3,4,6}{2,5,7,8,9} (i numeri corrispondono al numero di 0 e 1)
Per questo motivo chiamiamo combinazione di tipo (a,b) anche una coppia ordinata di sottoinsiemi (A,B) di
{1,…,n} con |A| = a e |B|=b
A U B = {1,2,…,n}
Definizione
Cos’è una combinazione di tipo (a,b,c)? É una terna ordinata (A,B,C) di sottoinsiemi di {1,2,…,n} t.c.
A U B U C = {1,…,n} dove n = a+b+c
Es. una combinazione ordinata di tipo (2,3,2) è ({2,6},{1,3,7},{4,5})
Proposizione
Le combinazioni di tipo (a,b,c) sono un prodotto condizionato di tipo ( �
𝒏𝒏
𝒂𝒂
𝒏𝒏−𝒂𝒂
𝒃𝒃
Quanti sono? n!/(a!b!c!) �
𝒏𝒏
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄
� Coefficiente multinomiale
Dimostrazione
A la prima coordinata posso sceglierla in �
𝒏𝒏
𝒂𝒂
� modi
B la seconda coordinata posso sceglierla in �
𝑛𝑛−𝑎𝑎
𝑏𝑏
� modi
C le rimanenti coordinate (complementari) posso sceglierle in un modo solo
Perciò questo tipo di combinazioni si risolvono n! / a!b!c!
Anagramma di tipo (a,b,c)
Definizione
É una sequenza a + b + c in {0,1,2} Con a volte 0, b volte 1, c volte 2
Proposizione
Esiste una corrispondenza binaria tra combinazioni di tipo (a,b,c) e anagrammi di tipo (a,b,c)
Dimostrazione
Dato un anagramma formiamo una combinazione (A,B,C) scegliendo A={pos 0} B={pos 1} C={pos 2}.
Questa funzione è la biiezione cercata.
Es. Anagramma (2,1,1) ({1,2},{3},{4}) 0, 0, 1, 2
Es2. Quanti sono gli anagrammi della parola “ATTACCA” tipo (a,b,c)?
Contiamo gli anagrammi di tipo (
A
T
C
Formula cammini reticolari = �
𝒄𝒄−𝒂𝒂+𝒃𝒃−𝒅𝒅
𝒄𝒄−𝒂𝒂
Combinazioni di tipo (a,b)
É una coppia (A,B) di sottoinsiemi di {1,…,n} n = a+b con |A| = a & |B| = b A ∩ B = Ø
Similmente abbiamo definito combinazioni di tipo (a,b,c) �
𝒏𝒏
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄
Formula di Stifel per calcolare questi numeri ricorsivamente
𝒏𝒏
𝒂𝒂
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂−𝟏𝟏
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂
� ∀ a ≤ n -1 ∀ n ≥ 1 Notazione a due indici �
𝒏𝒏
𝒂𝒂 b
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂−𝟏𝟏 b
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂 𝒃𝒃−𝟏𝟏
Dimostrazione
Se (a,b) è una combinazione di tipo (a,b)
n ∈ A
n ∈ B
Le combinazioni della forma (1)
Scelti tra {1,...,n-1} di tipo (a-1,b)
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂−𝟏𝟏 𝒃𝒃
Simmetricamente nella forma (2)
Avremo �
𝑛𝑛−
𝑎𝑎 𝑏𝑏−
Sfrutto il triangolo di tartaglia
Preso un triangolo a caso i suoi due elementi superiori sono la somma dell’elemento in quel punto
Formula di Stifel generalizzata
𝒏𝒏
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂−𝟏𝟏 𝐛𝐛 𝐜𝐜
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂 𝒃𝒃−𝟏𝟏 𝒄𝒄
𝒏𝒏−𝟏𝟏
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄−𝟏𝟏
Dimostrazione
(A, B, C) combinazione di tipo (a, b, c)
n ∈ A
n ∈ B
n ∈ C
A
Altri a - 1 numeri Altri b numeri
B
n
Se abbiamo n insiemi?
Notazione intersecativa
Con I ⊆ {1,2,…,n} è l’intersezione degli A con i ∈ I
Es. I = {2,4,7}
= A
2
∩ A
4
∩ A
7
Principio d’inclusione-esclusione (1)
A1, A2,…,An insiemi allora |A1 ∩ A2 ∩… An| = ∑ (−1)
| 𝐼𝐼
|
0≠𝐼𝐼⊆{ 1 ,..,𝑛𝑛}
Principio inclusione-esclusione (2)
A1,…, An ⊂ U
|(A1 U A2 U … An)
c
|𝐼𝐼|
𝐼𝐼⊆{ 1 ,..,𝑛𝑛}
Dove = U Insieme universo
Dimostrazione
|(A1 U A2 U … An)
c
| = |U| -|(A1 U A2 U … An)| - - ∑ (− 1 )
|𝐼𝐼|+
0≠𝐼𝐼⊆{ 1 ,..,𝑛𝑛}
Es.
A1={multipli di 2}
A2={multipli di 3} = 50-25-16-10+8+5+3-1 = 14
A3={multipli di 5}
Funzioni tra
F:{1,..,n} {1,…,n}
Quante sono le funzioni?
M = 2 e N=3 N
M
=3^2=3*3=
Funzione iniettiva?
Una funzione si dice iniettiva se elementi distinti del dominio
dell'insieme su cui la funzione è definita hanno immagini distinte.
Funzione suriettiva?
Una funzione che raggiunge ogni elemento del codominio da uno o
più elementi del dominio, o equivalentemente diciamo che una
funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di
almeno un elemento del dominio.
𝑖𝑖∈𝐼𝐼
𝑖𝑖∈𝐼𝐼
𝑖𝑖∈𝐼𝐼
𝑖𝑖≠ 0
𝑖𝑖≠ 0
𝑖𝑖≠ 0
𝑖𝑖∈𝐼𝐼
Scombussolamento
N.B. lo scombussolamento è una permutazione di {1,…,n} in cui nessun elemento rimane al proprio posto
Proposizione
Formula generale: j=n-1 � (−1)
𝑛𝑛−𝑗𝑗
𝑗𝑗
𝑛𝑛
𝑗𝑗=
Partizioni di un insieme
Una partizione di un insieme A è una collezione di sottoinsiemi {
A1,…,An} t.c:
- U Ai = A
- Ai ∩ Aj = 0 ∀ i ≠ j
Partizioni finite
Se ho un elemento solo avrò una partizione sola, se ho 2 elementi avrò 2 partizioni, se ho 3 elementi avrò 5
partizioni e così via. (Le mie partizioni sono il numero di combinazioni)
Es. {3 elementi}
Partizione infinti blocchi
A = ℕ
Numero di Bell
Definizione
Chiamiamo B n
il numero di Bell il numero di partizione di un insieme con n elementi
Proposizione
Se n>1 B n
𝑛𝑛−
ℎ
𝑛𝑛−
ℎ=
dove B 0
Dimostrazione
I° tipo n forma un blocco da solo
II° tipo n forma un blocco con un altro elemento
III° tipo n forma un blocco con altri 2 elementi
N° tipo n forma un blocco con altri n-1 elementi
A
A
A
A
A
A
A
primi
*di 2
primi
*di 3
primi
Statistica Descrittiva
Nomenclatura Statistica
Popolazione insieme finito o infinito sui si esegue un’indagine (es.{studenti di ISI}{possibili lanci dadi})
Carattere proprietà di ogni elemento della popolazione (es. voto di maturità, occhiali o no…)
Campione Sottoinsieme rappresentativo della popolazione su cu possiamo effettuare un’indagine
Modalità i valori che può assumere il carattere
Frequenza numero di volte in cui la nostra modalità occorre nel campione
Es.
Campione = {10 studenti di MDP}
Carattere = “voto ottenuto allo scritto”
15, 21, 24, 26, 16, 24, 21, 18, 15 dati grezzi
Se le modalità sono numerose o infinte può essere una buona idea quella di raggruppare in classi.
Es.
Campione = {studenti ISI}
Carattere = “voto di maturità”
Classi
Nuova modalità
Istogramma = sono dei rettangoli la cui area è proporzionale alla frequenza della classe corrispondente. La
base è proporzionale all’ampiezza della classe
Voti Frequenza
Voti Frequenza
Reddito Frequenza
50k 10
20k – 50k 30
10k – 20k 40
<10k 64
Accenni sulle proprietà delle sommatorie
�(𝑎𝑎𝐴𝐴 + 𝑏𝑏𝐴𝐴) → � 𝑎𝑎𝐴𝐴 + � 𝑏𝑏𝐴𝐴
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
� 𝑐𝑐 → 𝑛𝑛 ∗ 𝑐𝑐
� �� 𝑎𝑎𝐴𝐴 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝑗𝑗=
� → � 𝑎𝑎𝐴𝐴 ∗ � 𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
Indici di centralità o di posizioni
Sono singoli valori che rappresentano sinteticamente i valori della distribuzione
Moda = modalità con la maggiore frequenza, ha senso anche per i caratteri qualitativi (es. colore)
Se X è carattere quantitativo posso:
Media campionaria = 𝑥𝑥 =
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖 𝑣𝑣𝑎𝑎𝑣𝑣𝑠𝑠𝑣𝑣𝑖𝑖 𝑐𝑐ℎ𝑒𝑒 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑚𝑚𝑒𝑒
𝑁𝑁𝑡𝑡𝑚𝑚𝑒𝑒𝑣𝑣𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑣𝑣𝑒𝑒𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝑡𝑡𝑖𝑖
dove x,…, xn sono i caratteri sugli n elementi campioni. Se i dati sono raggruppato in classi si sceglie un
valore rappresentativo della classe solitamente il valore centrale
Es. riferito al reddito
X = reddito 𝑥𝑥 =
(10∗70000+26∗40000….)
200
Proprietà cambio di caratteri di primo grado
x, y due caratteri definiti sulla stessa popolazione es. y = ax + b
Proposizione
La media di 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 ∀ i N.B. 𝑦𝑦
𝑖𝑖
𝑖𝑖
Dimostrazione
X assume x,.., x n
valori
Y assume y,.., y n
valori
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑏𝑏
𝑖𝑖=
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑛𝑛
𝑖𝑖=
Proposizione
x, y, z caratteri definiti su un certo campione t.c. z = ax + by 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 media lineare
Dimostrazione
Prendo un campione con n elementi
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
Es.
x assume i valori: 180, 190, 150, 210, 250, 160, 140, 140, 210, 220
Osservazione
Valori intorno a 200
Sono tutti multipli di 10
𝑥𝑥−
10
1
10
𝑥𝑥 − 20 Una volta sostituito a x tutti i valori = 𝑥𝑥 = 185
Formula comoda per il calcolo della varianza
σ
𝑥𝑥
2
2
2
Dimostrazione
1
𝑛𝑛
2
1
𝑛𝑛
1
2
2
2
Es.
x che assume valori 1, -2, 3, -
1−2+3−
4
3
4
2
1+4+9+
4
39
4
σ
𝑥𝑥
2
39
4
9
16
147
16
Analisi qualitativa della varianza
Si considera σx i valori del carattere si trovano all’incirca in un intervallo ampio tra 5 e 10 volte √x
Cambi di variabili?
y = ax + b …. σ
𝑦𝑦
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
σ
𝑥𝑥
2
Correlazione
Siano x e y due caratteri definiti sullo stesso campione la correlazione studia il legame tra essi
Es.
Campione = 7 studenti
x = ore di studio
Ore di
studio
voto
La retta ai minimi quadrati è quella che minimizza la media dei quadrati degli errori (segmenti verdi)
y = ax + b dove a, b rendono minimo 𝑆𝑆
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑛𝑛 2
𝑖𝑖=
Lemma
𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥,𝑦𝑦
2
dove 𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
10
10
Siccome nei primi tre termini non compare b facciamo in modo che il quarto sia zero, cioè che 𝑏𝑏 = 𝑦𝑦� − 𝑎𝑎𝑥𝑥
Inoltre per rendere minima la somma dei primi tre termini, che è di secondo grado, devo scegliere
𝑖𝑖
In conclusione, la retta ai minimi quadrati che : 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 dove 𝑎𝑎 =
𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
𝜎𝜎
𝑥𝑥
2
Co-varianza = 𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
Lemma
𝑥𝑥,𝑦𝑦
Dimostrazione
𝑥𝑥,𝑦𝑦
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑥𝑥,𝑦𝑦
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
1
𝑛𝑛
𝑖𝑖
Es.
255
7
152
7
2
10925
7
𝑥𝑥,𝑦𝑦
𝑥𝑥
2
𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
𝜎𝜎
𝑥𝑥
2
152
7
255
7
Segno del coefficiente angolare a è il segno della covarianza
a > 0
a < 0
Il carattere di dice positivamente ( o direttamente) correlato se 𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
0 (e quindi a > 0) viceversa si dico
negativamente (o indirettamente) correlati 𝜎𝜎 𝑥𝑥,𝑦𝑦
< 0 (e quindi a < 0)
Indice di correlazione
𝜑𝜑
𝑥𝑥,𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
É invariante se cambiamo unità di misura x o y
Inoltre, se riprendiamo l’errore minimo S(a,b) con i valori ottenuti per a e b otteniamo
𝑦𝑦
2
𝑥𝑥
𝑥𝑥,𝑦𝑦
𝑦𝑦
2
𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
2
𝜎𝜎
𝑥𝑥
2
2𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
2
𝜎𝜎
𝑥𝑥
2
𝜎𝜎
𝑥𝑥,𝑦𝑦
2
𝜎𝜎
𝑥𝑥
2
𝑦𝑦
2
(1 − 𝜑𝜑
2
Deduciamo che − 1 ≤ 𝜑𝜑
𝑥𝑥,𝑦𝑦
≤ 1 (Altrimenti la somma dei quadrati degli errori sarebbe negativa)
Inoltre, se 𝜑𝜑 𝑥𝑥,𝑦𝑦
= 1, -1 l’errore è 0 e quindi dati sono allineati
2
xy
Il segno è dato dalla covarianza
Non tutti i sottoinsiemi di Ω saranno eventi però vogliamo che soddisfino le proprietà di unione,
intersezione e complementare
Definizione
Una famiglia coerente di eventi è una collezione di sottoinsiemi di Ω che indichiamo con Λ
Sia Ø che Ω sono eventi
Se E ∈ s allora anche E
c
Se E1 e E2, … sono eventi allora E1 ∩ E2 ∩ … è ancora un evento
Es.
Lancio dado Ω ={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Λ = {Ø, Ω,{1,2},{3,4,5,6}} famiglia coerente di eventi
B= { Ø, Ω,{1,2},{3,4},{5,6}} famiglia incoerente di eventi
Valutazione di probabilità definita sulla famiglia di eventi
P: Λ ℝ t.c.
- P(E) ≥ 0 2) P( Ω ) = 1 3) E1, E2 sono eventi disgiunti allora la probabilità è della loro unione
ovvero la somma delle rispettive probabilità P(E1 U E2…) = P(E1)+P(E2)…
Modellazione del problema
Costruire Ω , Λ, P che rappresentano il fenomeno aleatorio. I tre insieme formano lo spazio di probabilità.
Es.
3 urne
Fenomeno = estrazione di una pallina
Ω ={1, 2, 3, 4} Λ = {Ø, Ω,{1,2},{3,4}} P{ Ω }=1 P{Ø} = 0 P({1,2}) = 1/3 e così anche gli altri
Spazi di probabilità uniformi
Ω finito
Ω = {a1, a2, a3, …,an} Λ={tutti i sottoinsiemi di Ω}
Inoltre, richiediamo P(a1) = P(a2)=…=P(an)
Osservazione
Ω = {a1} U {a2} U {a3}… U {an} per proprietà (3) Λ=P(Ω)=P(a1)+P(a2)…+P(an) =
𝑛𝑛
𝑛𝑛
1
𝑛𝑛
𝟏𝟏
𝒏𝒏
Inoltre, se E ⊆ Ω P(E)?
E={ai1, ai2,…,aik} P(E)=P(ai1)+P(ai2)+…+P(aik) =
𝑘𝑘
𝑛𝑛
La probabilità di un evento è il n° di risultati favorevoli fratto il n° di risultati possibili
Es.
Qual è la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado?
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} con probabilità uniforme E={2, 4, 6} P(E) =
|𝐸𝐸|
|Ω|
3
6
1
2
Calcolare la probabilità d’indovinare un terno al lotto?
Ω = {combinazione di lunghezza 5} da {1≤ a ≤ 90}
E = {tutte le combinazioni di lunghezza 5 in cui compaiono le terne}
P(E) =
|𝐸𝐸|
|Ω|
�
87
2
�
�
90
5
�
1
11748
Qual è la probabilità che esca un numero puntato?
Λ = {combinazione di lunghezza 5 in cui compare un numero}
P(Λ) =
�
89
4
�
�
90
5
�
1
18
In alternativa?
Ω = {disposizioni di lunghezza 5} da {1 a 90}
E = {tutte le disposizioni di lunghezza 5 con terne, ovvero l’unione di eventi} {A1 U A2 U A3 U A5}
Questi eventi non possono accadere simultaneamente
A1 = tutte le disposizioni in cui il mio numero è al primo posto
Sono eventi disgiunti perché lo stesso numero non può essere estratto due volte
P(A) = P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)+P(A5) P(A1) =
1
90
1
90
1
90
1
90
1
90
1
18
Spazi di probabilità non uniformi
1
2
3
Estraiamo una pallina a caso? Qual è P(viola)?
Ω = insieme 7 palline A1={4 palline 1° urna} A2={3 palline 2° urna} V={3 insieme palline viola}
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3+
12
5
12
A 2
A 3
A 1
B
A 1
A 2
Es.
Estraiamo una pallina per volta, quattro pallino in totale (b = bianche r=rosse)
Qual è la probabilità che la prima estratta sia bianca?
Qual è la probabilità che la seconda estratta sia bianca?
Qual è la probabilità che la terza estratta sia bianca?
Qual è la probabilità che la quarta estratta sia bianca?
B1, B2, B3, B4….Bi = “i-esima estratta è bianca”
1
𝑏𝑏
𝑏𝑏+𝑣𝑣
1
2
1
2
1
1
2
1
1
2
1
𝑅𝑅
2
𝐵𝐵+𝑅𝑅
𝐵𝐵
𝐵𝐵+(𝑅𝑅−1)
𝐵𝐵
𝐵𝐵+
𝐵𝐵−
𝐵𝐵+𝑅𝑅−
𝐵𝐵
2
+𝐵𝐵(𝐵𝐵−1)
(𝐵𝐵+𝑅𝑅)(𝐵𝐵+𝑅𝑅−1)
𝐵𝐵(𝑅𝑅+𝐵𝐵−1)
(𝐵𝐵+𝑅𝑅)(𝐵𝐵+𝑅𝑅−1)
𝐵𝐵
𝐵𝐵+𝑅𝑅
Formula di Bayes
Se A, B sono eventi P(A|B)=
𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴) 𝑃𝑃
( 𝐴𝐴
)
𝑃𝑃
( 𝐵𝐵
)
Dimostrazione
𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
P(A)
𝑃𝑃(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)𝑃𝑃(𝐴𝐴)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)
𝑃𝑃
( 𝐴𝐴∩𝐵𝐵
)
𝑃𝑃
( 𝐴𝐴
)
P(B)
𝑃𝑃
( 𝐴𝐴∩𝐵𝐵
) 𝑃𝑃
( 𝐵𝐵
)
𝑃𝑃
( 𝐴𝐴
)
Dividendo per P(B) otteniamo la formula di Bayes
Es.
40 % fumatori, 25% soffre di malattie e il 7% non fumatori malati
Qual è la probabilità che una persona scelta a caso sia malata?
Qual è la probabilità che una persona malata sia un fumatore
Ω = {l’intera popolazione} F={fumatori} M={malati} N={non fumatori}
1) P(M)=? P(M|N)=0,
2) P(F)=0,4 P(M|F)=0,
3) P(M)=P(F)P(M|F) + P(N)P(M|N) = 0,400,25+0,600,70 = 14%
4) P(F|M)=
𝑃𝑃(𝑀𝑀|𝐹𝐹)𝑃𝑃(𝐹𝐹)
𝑃𝑃(𝑀𝑀)
0 ,4∗0, 25
0 , 142
= 70% fra i malati il 70% sono fumatori
Eventi indipendenti
A, B sono indipendenti se P(A|B)=P(A)
𝑃𝑃
( 𝐴𝐴∩𝐵𝐵
)
𝑃𝑃
( 𝐵𝐵
)
Es.
Lanciamo una moneta tre volte, qual è la probabilità che dia testa?
1
2
3
1
2
3
3
Variabili aleatorie
É funzione: x: Ω ℝ ( associa ) è una quantità che dipende dal risultato. Se un fenomeno è un lancio
è costituito da tre lanci di una moneta. X=#teste ottenute Y=max numero di lanci consecutivi (TCC e TCT)
F N
M
Definizione
Una funzione x: Ω ℝ si dice variabile aleatoria se {w ∈ Ω : x(w) ≤ a} per ogni a appartenente a ℝ
Ω = ℕ A ={Ø, ℕ , 2ℕ, 2ℕ+1} x: Ω ℝ x(n) = n É una variabile aleatoria? No
a = 5={ w ∈ Ω : x(w) ≤ 5} Y= Ω ℝ y(n)=
( −1)
𝑛𝑛
{ 𝑤𝑤 ∈ Ω: y(w) ≤ 5
} = {ℕ} É una variabile aleatoria? SI
w ∈ Ω ∶ x
w
≤ t
"𝑥𝑥 ≤ 𝑡𝑡" l’evento in cui tutti i risultati sono inferiori a t
Variabili aleatorie discrete
Cioè variabili aleatorie x che possono assumere valori finiti o numerabili
Densità di una variabile aleatoria discreta
X: w ∈ Ω px: ℝ ℝ px(k)= P(x=k)
Per ogni numero reale ci dice che le probabilità che la x assuma quel valore
Es.
Lanciando due dadi 𝑃𝑃𝑥𝑥
𝑘𝑘−
36
𝑏𝑏−𝑘𝑘
36
X = somma di due risultati
Px(1)=0 Px(2) = 1/36 Px(3)=2/
Px(4)=1/12 Px(5)=4/36 Px(8)=5/
Per gli altri casi funziona inverso
Se x è una variabile aleatoria discreta allora la sua densità soddisfa questa condizione
𝑑𝑑𝑒𝑒𝑛𝑛𝑠𝑠𝐴𝐴𝑡𝑡à 𝑑𝑑𝐴𝐴𝑠𝑠𝑐𝑐𝑎𝑎𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑎𝑎𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡𝑎𝑎 = �
𝑘𝑘∈𝑛𝑛
ma >0 solo su una quantità numerabile di valori k
Variabili multidimensionali
𝑥𝑥 = (𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) dove x, y, z sono variabili aleatorie definite su sé stesso Ω, è una variabile bi-dimensionale
3
→ ℝ densità
Es.
Estraiamo due palline senza rimpiazzo x = # rosse estratte y = # verdi estratte
d(x, y)(h, k) =? Valori possibili? (0,0), (1,0), (2,0), (1,1), (0,1), (0,2)
6
2
se
(h, k), (0,0), (0,2), (2,0)
se
(h, k), (0,1), (1,0), (1,1)
0 altrimenti
